2024七年级数学下册培优专项1.2平行线性质与判定30道精选题试题（附解析浙教版）

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专项1.2 平行线性质与判定（30道精选题）1．（吉州区期末）如图，已知CD⊥DA，AB⊥DA，∠1＝∠2，试判断直线DF与AE关系，并说明理由．【解答】DF∥AE，证明：∵CD⊥DA于点D，AB⊥DA于点A，∴∠CDA＝∠DAB＝90°，∵∠1＝∠2．∴∠3＝∠4，∴DF∥AE．2．（海珠区校级期中）如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．【解答】解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM＝90°，∠MCB＝30°，∴CD与CB的夹角为90°+30°＝120°；（2）环湖路的长＝AB+BC﹣CD＝3km；（3）不能判定DC∥AB．加上的条件可以是：∠B＝60°．证明：∵∠BCM＝30°，∠B＝60°，∴∠CMB＝90°，即CM⊥AB．又∵CM⊥CD，∴DC∥AB．3．（点军区校级期末）如图，E、F分别在AB、CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF，垂足为G．求证：AB∥CD．【解答】证明：∵EC⊥AF，∴∠1+∠C＝90°，又∵∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠D，∴∠2＝∠D，∴AB∥CD．4．（黄埔区期末）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2．（1）若∠1＝55°，求∠2的度数；（2）求证：AE∥FP．【解答】（1）解：∵∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2又∵∠AOE＝∠FOP（对顶角相等），∴∠1＝∠2∵∠1＝55°，∴∠2＝55°；（2）证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∴∠EAO＝∠FPO，∴AE∥PF．5．（牡丹区期末）如图，已知AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，且∠1与∠2互余，求证：PQ∥MN．【解答】证明：∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，又∵AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，∴∠BAQ＝2∠1，∠ABN＝2∠2，∴∠BAQ+∠ABN＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，∴PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）．6．（市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∵∠1＝∠4（对顶角相等）∴∠2+∠4＝180°（等量代换）∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）7．（碑林区校级期中）如图，已知：CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠1＝∠2．求证：DG∥BC．【解答】证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF+∠EFD＝180°，∴CD∥EF，∴∠2＝∠DCE，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCE，∴DG∥BC．8．（铁岭期中）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，DE和BC平行吗？如果平行，请说明理由．【解答】解；DE∥BC，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠DFH，∴∠2+∠DFH＝180°，∴AB∥EH，∴∠3+∠BDE＝180°，∵∠B＝∠3，∴∠B+∠BDE＝180°，∴DE∥BC．9．（浚县期末）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：①BD∥CE②DF∥AC．【解答】证明：∵∠1＝∠4，∠1＝∠2，∴∠2＝∠4，∴BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，∵∠C＝∠D，∴∠D＝∠DBA，∴AC∥DF．10．（黑山县期中）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN，判断图中有哪些直线平行，并给予证明．【解答】解：AB∥CD，EF∥HL．理由如下：∵∠1＝∠AMN，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠AMN＝180°，∴AB∥CD；延长EF交CD与G，如图，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGN，∵∠AEF＝∠HLN，∴∠EGN＝∠HLN，∴EF∥HL．11．（洪山区期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　　；（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是　　．【解答】解：如图1，∵OM⊥ON，∴∠CON＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，AB∥CD；【尝试探究】（1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝α，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣a）﹣180°＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α；（2）如图4，B＝2a，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，∴β＝2a．故答案为：β＝2a．12．（泰安期中）如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．（1）填空：∠OEC+∠OFC＝　　；（2）求证：EG∥FH．【解答】解：（1）在四边形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，因为∠MEC＝180°﹣∠OEC，∠NFC＝180°﹣∠OFC，所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）＝360°﹣180°＝180°，因EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC，所以∠CEG＝∠MEC，∠CFH＝∠NFC，所以∠CEG+∠CFH＝（∠MEC+∠NFC）＝×180°＝90°，过C点作CD∥EG，所以∠CEG＝∠DCE，因为∠DCE+∠DCF＝90°，∠CEG+∠CFH＝90°，所以∠DCF＝∠CFH，所以CD∥FH，又因为CD∥EG，所EG∥FH．13．（西华县期中）如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD？【解答】解：∠BAF应为55度．理由是：∵∠ADB＝20°，四边形ABCD是长方形，∴∠ABD＝70°．∵要使AB′∥BD，需使∠BAB′＝110°，由折叠可知∠BAF＝∠B′AF，∴∠BAF应为55度．14．（城关区校级期末）问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．【解答】解：（1）过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．15．（思明区校级期末）如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵PD∥CF，∴∠PDC＝∠DCF，∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC，∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF；（2）∵CD平分∠ECF，∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD，设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，设∠HPF＝∠HFP＝β，∵PD∥CF，∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β，∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β，∵PQ平分∠EPH，∴∠HPQ＝＝α+β，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD＝α，∵∠HPQ+∠AEC＝90°，∴（α+β）+α＝90°，∴2α+β＝90°，∴∠EPF+∠HFP＝90°，∴∠EPF＝∠CPF＝90°，∴PF＜EF．16．（武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠BEF＝α，∠FHD＝β．（1）直接写出∠EFH的度数为　　；（2）如图2，若HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，证明：∠EFH+2∠M＝180°；（3）如图3，若∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，则∠M＝　　．（用含有n，α，β的式子表示）【解答】（1）解：过F点作FG∥AB，∴∠BEF＝∠EFG，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠GFH＝∠FHD，∴∠EFH＝∠BEF+∠FHD，∵∠BEF＝α，∠FHD＝β，∴∠EFH＝α+β，故答案为：α+β；（2）证明：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD，∵AB∥CD，∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD，∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN，∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，∵HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，∴∠AHF＝∠CHF，∠BEN＝∠BEF，∵∠CHF＝180°﹣∠FHD，∴∠AHF＝90°﹣∠FHD，∴∠M+90°﹣∠FHD+∠FHD+∠BEF＝180°，即∠M+（∠FHD+∠BEF）＝90°，∴∠M+∠EFH＝90°，即∠EFH+2∠M＝180°；（3）解：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD，∵AB∥CD，∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD，∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN，∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，∵∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，∠CHF＝180°﹣∠FHD，∴∠AHF＝∠CHF＝（180°﹣∠FHD），∴∠M+（180°﹣∠FHD）+∠FHD+∠BEF＝180°，即∠M+（∠FHD+∠BEF）＝×180°，∴∠M+∠EFH＝，∵∠EFH＝α+β，∴∠M＝﹣（α+β）．故答案为：﹣（α+β）．17．（武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求的值．（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝　（结果用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB，∴∠EPH＝∠AEP．∵AB∥CD，∴GH∥CD．∴∠FPH＝∠CFP．∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝90°，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；（2）如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，HL∥CD，∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK．∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），∵∠AEG＝4∠AEH，∴∠CFG＝4∠HFC，∴＝；（3）如图3，由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．当M在F点右侧时，∠EMF＝180﹣2α．故答案为：2α或180﹣2α．18．（王益区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　　°；（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN，∴∠DEF＝∠NDE＝45°，∵∠CED＝90°，∴∠FEC＝45°，∵MN∥OB，∴EF∥OB，∴∠BCE＝∠FCE＝45°，∵AO∥CE，∴∠AOB＝∠ECB＝45°，则α＝45°，故答案为：45；（2）①∵DF∥OA，∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°，∵MN∥OB，∴∠MDF＝∠DFC，∵DF平分∠MDC，∴∠CDF＝∠MDF＝60°，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，∴∠CDF＝∠DCE，∴CE∥DF，∵DF∥OA，∴CE∥OA；②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，∴∠DCB＝60°+α，∵MN∥OB，∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF，∵DF平分∠MDC，∴，∴．19．（南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB＝∠CED，∴AC∥DF，∴∠A＝∠DFB，∵∠A＝∠D，∴∠DFB＝∠D，∴AB∥CD；（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥HN∥CD，∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∵BG平分∠ABE，∴∠ABG＝ABE，∵AB∥HN，∴∠2＝∠ABG，∵CF∥HN，∴∠2+∠β＝∠3，∴ABE+∠β＝∠3，∵DH平分∠EDF，∴∠3＝EDF，∴ABE+∠β＝EDF，∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，∵∠DEB比∠DHB大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°；（3）∠PBM的度数不变，理由如下：如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，∠CDN＝∠EDN＝CDE，∵ES∥CD，AB∥CD，∴ES∥AB∥CD，∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，由（2）可知：∠DEB＝100°，∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，∵BP∥DN，∴∠CDN＝∠G，∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK＝∠EBK﹣CDE＝（∠EBK﹣∠CDE）＝80°＝40°．20．（广陵区期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝　70　°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D＝∠AHE＝40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，故答案为：70；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，∴∠EDK＝α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，即3α＝22°+2α﹣4°，解得α＝18°，∴∠EDK＝16°，∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．21．（井研县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；（2）求证：CE平分∠OCA；（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．【解答】解：（1）∵AB∥ON∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）∵∠O＝50°∴∠MCB＝50°∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义）∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°又∵CD平分∠ACM∴∠DCM＝65°（角平分线定义）∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°（2）证明：∵CE⊥CD∴∠DCE＝90°∴∠ACE+∠DCA＝90°又∵∠MCO＝180°（平角定义）∴∠ECO+∠DCM＝90°∵∠DCA＝∠DCM∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）即CE平分∠OCA（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分①当∠O＝36°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝36°∴∠ACM＝144°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝72°∴∠ACO＝∠ACD即CA分∠OCD成1：2两部分②当∠O＝90°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝90°∴∠ACM＝90°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝45°∴∠ACD＝∠ACO即CA分∠OCD成1：2两部分22．（前郭县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝　　．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．23．（兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，所以AM∥　　（　　）．所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（　　）．所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．求证：∠DEB＝∠DBE；（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图①，过点B作BG∥MC，因为l1∥l2，所以AM∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行）．所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（两直线平行，内错角相等）．所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；（2）证明：如图②，过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，所以AM∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．又∠DBC＝∠BAM，所以∠ABC＝∠DBC+∠BCN．因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．所以∠ABD＝∠BCN，所以∠ABD＝∠CBG，因为BE平分∠ABC．所以∠ABE＝∠EBC，所以∠DBE＝∠EBG，所以∠DEB＝∠DBE；（3）解：∠BAM＝3∠BCN，理由如下：因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，所以∠EBF＝∠DEB，因为BF平分∠CBE，所以∠CBF＝∠EBF，由（2）知：∠DEB＝∠DBE，所以∠DBC＝3∠FBC，因为CN∥l1，所以CN∥BF，所以∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，而∠BAM＝∠DBC，所以∠BAM＝3∠BCN．24．（桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）；（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可）【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的补角＝﹣．25．（金牛区校级月考）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．【解答】解：（1）如图1，过点E作ER∥AB，∵AB∥CD，∴ER∥CD，∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，∴∠ABE＝∠BER＝30°答：∠ABE的度数为30°．（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，设∠CEB＝β，则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝，∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，∴2×+180﹣β＝190，∴α＝10，∴∠ABE＝30°．答：∠ABE的度数为30°．（3）如图3，过点P作PJ∥AB，∵AB∥CD，∴PJ∥CD，∵PK平分∠BPH，∴∠KPH＝∠KPB＝x，∵HN∥PK，∴∠NHP＝x，设∠MHN＝y，∴∠MHP＝x+y，∵HM平分∠DHP，∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，∵∠DHQ＝2∠DHN，∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，∴∠PHQ＝30°答：∠PHQ的度数为30°．26．（青白江区期末）已知：射线OP∥AE（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数．（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．（3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．【解答】解：（1）如图1，∵OP∥AE，∴∠A＝∠1，∵∠BOP＝58°，OB是∠AOP的角平分线，∴∠AOP＝2∠BOP＝116°∴∠1＝180°﹣116°＝64°，∴∠A＝∠1＝64°；（2）如图2，∵OP∥AE，∴∠POD＝∠ADO＝39°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠BOC，∵OD平分∠COP，∴∠COP＝2∠DOP＝78°，∴∠ABO﹣∠AOB＝∠COP＝78°；（3）如图3，由（1）可知，∠ABO＝（180°﹣m），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣m），∠AB2O＝（180°﹣m），…则∠ABnO＝．27．（平阴县期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝　　；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．28．（北海期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　　．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝120°，∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP，∴∠CBD＝∠ABN＝60°；（2）不变化，∠APB＝2∠ADB．证明：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB；（3）∵AD∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，∴∠ABC＝（120°﹣60°）＝30°，故答案为：30°．29．（沙坪坝区校级期末）已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．【解答】解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，∴∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，∴∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，又∵DF∥AO，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AO；（2）如图2，连接OC，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，∴∠DOE＝∠DCE，∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外角，∴∠CDB＝∠COD+∠OCD，∠AEC＝∠EOC+∠ECO，∴∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；（3）图3中，∠CDB＝∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．理由：如图3，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，∴∠DOE＝∠DCE，∵∠CDB是△ODG的外角，∴∠CDB＝∠DOG+∠DGO，∵∠DGO是△CEG的外角，∴∠DGO＝∠AEC+∠C，∴∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；如图4，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，∴∠DOE＝∠DCE，∵∠AEC是△OEH的外角，∴∠AEC＝∠DOE+∠OHE，∵∠OHE是△CDH的外角，∴∠OHE＝∠CDB+∠C，∴∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．30．（渠县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝　　°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．