2024七年级数学下册培优专项1.3平行线经典模型必刷试题（附解析浙教版）

这是一份2024七年级数学下册培优专项1.3平行线经典模型必刷试题（附解析浙教版），共22页。
专项1.3 平行线经典模型必刷1.（朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝　　度．【答案】135【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，∴∠1＝45°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．故答案为：135．2．（博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．3.（大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（　　）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】D【解答】解：如图，作EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故选：D．4.（东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是　　．【答案】α+β﹣γ＝90°【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，由①②得：α+β﹣γ＝90°．故答案为：α+β﹣γ＝90°．5．（肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为　　．【答案】94°【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，∴∠APE＝∠CAP＝36°，∵BD∥EF，∠DBP＝58°，∴∠BPE＝∠DBP＝58°，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．故答案为：94°．6．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是　　．【答案】110°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠A＝50°，∵∠C＝60°，∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．故答案为：110°．7．（泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是　　．【答案】155°【解答】解：过点B作BE∥AD，∵AD∥CF∴AD∥BE∥CF，∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，∴∠2的度数为155°．故答案为：155°．8.（九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．【解答】解：过点C作CF∥BA，如图，∵CF∥BA，∴∠BCF＝∠B＝30°，∵BA∥DE，CF∥BA，∴CF∥DE．∵∠D＝40°，∴∠FCD＝∠D＝40°，∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．9.（兴城市期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．【解答】解：过C作CF∥AD，∵BE∥AD∴∠ACF＝∠A＝52°，∵CF∥BE∴∠BCF＝∠B＝43°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，∴从C岛看A，B的视角∠ACB为95°．10.（天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，①求∠GPH的度数；②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，∴∠BGM＝2×25°＝50°，∵AB∥CD，∴∠GPH＝∠BGM＝50°；②如图1，过点O作ON∥AB，则∠MON＝∠BOM＝50°，∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，∴∠EHD＝∠BGE＝75°，∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，∵AB∥CD，ON∥AB，∴ON∥CD，∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：如图2，过点Q作QN∥AB，则∠GQN＝∠AGQ，∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，∴∠AGS＝2∠FGS，∵GQ平分∠AGP，∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，∵AB∥CD，∴∠GIH＝∠IHC，∵HQ平分∠IHC，∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，∵QN∥AB，AB∥CD，∴QN∥CD，∴∠NQH＝∠QHC，∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．11.（黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）成立，理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；（2）如图2，过点E作EH//AB，∵AB//CD，∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴，∵AB//CD，∴AB//CD//EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）如图3，过点E作EG//AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，∴，，∵AB//CD，∴AB//CD//EG，∴，，∴．12.（平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．【解答】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；（2）∠BED＝2∠F，理由如下：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥CD，∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，∴∠BED＝2（∠2+∠3），∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，∴∠BED＝∠BED+∠F，∴∠BED＝2∠F；（3）如图，延长DE交BF于点M，则有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，∴∠EBM+∠MDF＝35°，∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．13.（驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．14.（鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，过点F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，FG∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）结论：∠E+6∠M＝360°，证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．15.（铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，∵AG∥CD，∴∠CDE＝∠AGE＝60°，∵AF∥DE，∴∠BAF＝∠AGE＝60°；方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，∵AF∥DE，∴BM∥CN，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，∴∠3＝∠4，∴∠BAF＝∠CDE＝60°．∴∠BAF的度数为60°．16.（江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．【解答】解：（1）如图：设CD与AP相交于点E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，∵∠1是△CEP的一个外角，∴∠1＝∠C+∠P，∴∠A＝∠C+∠P，∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，∴∠P的度数为46°；（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，由（1）得：∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD＝∠PAB﹣∠PCD，＝（∠PAB﹣∠PCD）＝∠P＝×46°＝23°，∴∠AQC的度数为23°；（3）∵CP∥AQ，∴∠PCQ＝∠AQC，∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，由（2）得：∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，∴2∠PCQ＝∠PAB，∴∠PCQ＝∠PAB．17.（南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝18．（潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．【解答】（1）证明：由角平分线性质可知，∠ABE＝∠EBC，∵AB∥DC，∠ABE＝∠BEC，∴∠EBC＝∠BEC．（2）证明：由（1）可知，∠EBC＝∠BEC，由外角性质可知，∠FEC＝∠F+∠FDC又∵∠EBC﹣∠F＝45°，∴∠FEC＝∠F+45°，∴∠FDC＝45°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∴DF平分∠ADC．（3）解：如图，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，①当H在PB之间时，设∠PCE＝α，则∠BCP＝3α，∠BCD＝4α，∵CB＝CE，∴∠CBE＝，又∵∠CBE＝∠MDC∴∠ADM＝90°﹣＝2α，∴∠BCH＝α，∠ECH＝3α，∴＝＝．同理，当H点位于H′时，∠DCH′＝α，＝＝5，∴的值为或5．