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2024七年级数学下册第03讲平行线的性质核心考点讲与练试题（附解析浙教版）
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这是一份2024七年级数学下册第03讲平行线的性质核心考点讲与练试题（附解析浙教版），共72页。
第03讲平行线的性质（核心考点讲与练）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．考点一：平行线的性质【例题1】（宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练1】（宁波期末）如图，已知AB∥CD，则下列结论中正确的是（ ）A．∠EAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠DCA C．∠ADB＝∠DBC【分析】根据平行线的性质判断求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练2】（浙江模拟）如图，三根木条相交形成∠1，∠2，∠3，∠4（∠1为锐角）固定木条b，c，转动木条a，则可能和∠1相等的角是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．不存在【分析】根据平行线的性质求解即可．【解答】解：转动木条，当a∥b时，∠1＝∠2，故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．【变式训练3】（鄞州区月考）如图，AB∥CD，∠A＝25°，∠E＝80°，则∠C的度数是 55° ．【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C，然后根据∠A＝25°，∠AEC＝80°计算即可得解．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠A＝25°，∠CEF＝∠C，又∵∠AEC＝80°，∴∠C＝∠CEF＝80°﹣25°＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式训练4】（温州期末）一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中∠A＝45°，∠D＝30°．若DF∥BC，则∠AGE等于 75° ．【分析】根据平行线的性质得到∠DEB＝∠D＝30°，再根据三角形的外角性质即可得解．【解答】解：根据题意可得，∠B＝45°，∵DF∥BC，∠D＝30°，∴∠DEB＝∠D＝30°，∴∠AGE＝∠B+∠DEB＝75°，故答案为：75°．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练5】（温州月考）已知：如图，直线m∥n，将Rt△ABC按如图方式放置，其中点C在直线n上，点A在直线m上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 40° ．【分析】根据平角的定义得出∠3＝40°，再根据平行线的性质即可得解．【解答】解：如图，∵∠1＝50°，∠ACB＝90°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵m∥n，∴∠2＝∠3＝40°，故答案为：40°．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练6】（上虞区期末）如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C在直尺的一边上，若∠1＝63°，则∠2的度数为 27° ．【分析】根据平行线的性质和∠ACB＝90°，可以计算出∠2的度数．【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝63°，∴∠1＝∠3＝63°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠ACB＝∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣63°＝27°，故答案为：27°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是熟记平行线的性质，明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练7】（琼海期末）一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）A．95° B．105° C．115° D．125°【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．【解答】解：由题意得∠ADF＝45°，∵FD∥AB，∠B＝30°，∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式训练8】（浙江模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示位置摆放，∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，点D在边AC上，若EF∥BC，则∠ADE的度数为（ ）A．60° B．65° C．75° D．80°【分析】由平行线的性质可得∠DGC＝∠E＝30°，则可求∠BGD的度数，利用四边形的内角和即可求得∠ADE的度数．【解答】解：如图，∵EF∥BC，∠E＝30°，∴∠DGC＝∠E＝30°，∴∠BGD＝180°﹣∠DGC＝150°，∵∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，在四边形ABGD中，∠ADE＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BGD＝75°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．【变式训练9】（义乌市模拟）如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角α为64°，则第二次转过的角β为 116 °．【分析】由已知条件可先求得∠BAC，再利用平行线的性质可得到β的度数．【解答】解：∵∠α＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠α＝116°，∵AB∥CD，∴∠β＝∠BAC＝116°，故答案为：116．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式训练10】（柯桥区期末）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝125°，则∠BAC的度数为（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣125°），再根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图，∵直线MN∥AB，∴OD＝OE＝OF，∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×（180°﹣125°）＝110°，∴∠BAC＝70°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质及三角形内心的判定及性质，利用平行线间的距离处处相等判定点O是△ABC的内心是解题的关键．【变式训练11】（平阳县期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝ 115 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝ 158 度．【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH＝∠EFH＝65°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度数，从而可求∠ABC的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q＝∠EFH＝68°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K，如图所示：∵BC∥EF，∠EFH＝65°，∴∠BKH＝∠EFH＝65°，∵AB∥GH，∴∠ABK＝∠BKH＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABK＝115°；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图所示：∵AB平行FH，∠EFH＝68°，∴∠Q＝∠EFH＝68°，∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，∴∠BPQ＝90°，∴∠ABC＝∠BPQ+∠Q＝90°+68°＝158°，故答案为：115，158．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．【变式训练12】（嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ 40° ．【分析】延长BO，交CD于点M，根据平行线的性质得∠ABM＝∠BMC，然后根据三角形外角性质及平角定义可得∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，再由角平分线定义可得答案．【解答】解：延长BO，交CD于点M，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∵∠BOC＝∠BMC+∠OCM，∠OCM＝180°﹣∠OCD，∴∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，∵∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，∴∠ABM＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴100°＝2∠1+180°﹣2∠2，∴∠2﹣∠1＝40°．故答案为：40°．【点评】此题考查的是平行线的性质，利用三角形外角性质得到角的和差关系是解决此题关键．【变式训练13】（嵊州市期末）如图，将长方形纸片沿EB，CF折叠成图1，使AB，CD在同一直线上，再沿BF折叠成图2，使点D落在点D'处，BD'交CF于点P，若∠CEB＝37°，则∠CPB的度数为（ ）A．110° B．111° C．112° D．113°【分析】由题意可得：EG∥HF，利用平行线的性质可得：∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，再结合折叠的性质可得：∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，利用三角形的外角性质可求解．【解答】解：如图所示由题意得：EG∥HF，∴∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，由折叠性质得：∠HBE＝∠CBE＝∠CBH，∠FCG＝∠BCF＝∠BCG，∴∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，∴∠DBF＝∠CBH＝74°，在图2中，由折叠的性质得：∠BFP＝∠BFC＝37°，∠FBD'＝∠DBF＝74°，∴∠CPB＝∠FBD'+∠BFP＝111°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．【变式训练14】（诸暨市期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝ 40° ．【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝65°，结合图形求得∠GFH的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，∴∠GFB＝∠FED＝65°．∵∠HFB＝25°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．考点二：平行线的判定与性质【例题2】（浦江县期末）如图是小聪同学的作业，在※处填的理由是（ ）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定和性质即可得到结论．【解答】解：已知∠A+∠D＝180°，根据（同旁内角互补，两直线平行），得AB∥CD又根据（两直线平行，同位角相等）得∠DCE＝∠B，故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．【变式训练1】（拱墅区期末）如图，能判定BE∥CD的条件是（ ）A．∠BAD+∠2＝180° B．∠1＝∠B C．∠BAD+∠B＝180° D．∠1＝∠D【分析】利用平行线的判定条件，对各个选项进行分析，不难得出结果．【解答】解：A．∠BAD与∠2不属于是同旁内角，当∠BAD+∠2＝180°时，故不能判定BE∥CD，则A不符合题意；B．∠1与∠B属于同位角，当∠1＝∠B时，则AD∥BC，故B不符合题意；C．∠BAD与∠B属于是同旁内角，当∠BAD+∠B＝180°时，则AD∥BC，故C不符合题意；D．∠1与∠D属于是内错角，当∠1＝∠D时，则BE∥CD，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的判定条件，解答的关键是结合图形，明确清楚各角之间的关系，结合平行线的判定条件进行判断．【变式训练2】（拱墅区期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，则∠3＝ 40° ．【分析】由∠1＝∠2，判定AB∥CD，得到∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，再由角平分线的定义得到∠2＝2∠4，可求出∠4＝40°，即可得解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，∵EG是∠AEF的角平分线，∴∠AEF＝∠2＝2∠4，∵∠2+∠4＝120°，∴∠4＝40°，∴∠3＝40°，故答案为：40°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练3】（镇海区期中）如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴ l1 ∥ l2 （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠3+∠4＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝ 125° ．【分析】根据平行线的判定定理及性质定理解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝125°，故答案为：l1；l2；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；125°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．【变式训练4】（鹿城区校级期中）如图，已知a，b，c，d四条直线，若∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝65°，则∠4＝ 65 度．【分析】由对顶角的性质和已知条件得到∠2+∠5＝180°，由平行线的判定推出a∥b，根据平行线的性质即可求出∠4．【解答】解：∵∠5＝∠1＝105°，∠2＝75°，∴∠2+∠5＝180°，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据∠2+∠5＝180°，推出a∥b是解决问题的关键．【变式训练5】（金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【变式训练6】（椒江区校级开学）如图，AD与BC交于点O，点E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1+∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度数．【分析】根据平行线的判定得出BC∥EF，进而利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠C＝∠3，∴BC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，∵∠2＝80°，∴∠1＝100°，∵∠1+∠3＝140°，∴∠3＝40°，∵∠C＝∠3，∴∠C＝40°，∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C＝40°．【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．【变式训练7】（嵊州市期末）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E．（1）若∠1＝∠A，判断DF与AC是否平行，并说明理由；（2）若DF∥AC，∠B+∠C＝120°，求∠1的度数．【分析】（1）依据DE∥AB，可得∠A＝∠DEC，再根据∠1＝∠A，即可得到∠1＝∠DEC，进而得出DF∥AC；（2）依据DF∥AC，DE∥AB，即可得到∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，再根据∠B+∠C＝120°及平角定义可得答案．【解答】解：（1）DF∥AC．理由如下：∵DE∥AB，∴∠A＝∠DEC，又∵∠1＝∠A，∴∠1＝∠DEC，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，DE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，∵∠B+∠C＝120°，∴∠CDE+∠BDF＝120°，∴∠1＝180°﹣（∠CDE+∠BDF）＝60°．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【变式训练8】（任丘市期末）如图，直线l1，l2被l3所截，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③l1∥l2，其中能判断AC∥BD的条件是 ① ．【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断AC∥BD．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：①．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质．【变式训练9】（温州三模）如图，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．（1）请说明BD∥FG的理由．（2）若D是AC的中点，F是BC的中点，已知AB＝4，BC＝3，求FG的长度．【分析】（1）由AB⊥BC，DE⊥AB可得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠1＝∠DBC结合∠1＝∠2可得结论；（2）利用勾股定理先求出AC的长，再根据斜边与其中线的关系求出BD的长，最后利用中位线定理求出FG．【解答】解：（1）BD∥FG的理由如下：∵AB⊥BC，DE⊥AB，∴DE∥BC．∴∠1＝∠DBC．∵∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠2．∴BD∥FG．（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5．∵D是AC的中点，∴BD＝AC＝．∵F是BC的中点，BD∥FG，∴FG是△CBD的中位线．∴FG＝BD＝．【点评】本题考查了平行线的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、中位线的性质等知识点，综合性较强，学会分析，综合利用各个知识点是解决本题的关键．【变式训练10】（长兴县月考）如图，已知CF∥AG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠1＝32°，说明：AB∥CD．【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵CF∥AG，∴∠FCH＝∠2＝58°，∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；（2）当∠1＝32°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝32°，∵∠1＝32°，∴∠1＝∠DCE，∴AB∥CD．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．类型一、平行线的性质 例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【答案与解析】解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）A．132° B．134° C．136° D．138°【答案】B 解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.类型二、两平行线间的距离例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．【思路点拨】根据两平行线间的距离相等，即可解答．【答案与解析】解：∵直线l1∥l2，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．即S1=S2=S3．【总结升华】本题考查了平行线之间的距离，解本题的关键是明确两平行线间的距离相等．【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、平行的性质与判定综合应用例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2【答案】B例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【答案与解析】解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．以①②③为例，说明如下已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝.【答案】115°例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【答案与解析】解：（1）75°；（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( ) A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】D题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（上虞区期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1为x度，用关于x的代数式表示α，则表示正确的是（ ）A．α＝120°﹣x B．α＝90°﹣x C．α＝60°+x D．α＝45°+x【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝x，∠3＝∠α，由折叠的性质得到，∠3＝∠4＝（180°﹣∠2）＝90°﹣x，∴α＝∠3＝90°﹣x．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理及折叠的性质．2．（北仑区期末）如图，平行直线a，b被直线c所截，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由两直线平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根据∠2和∠3互为邻补角求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝120°，∴∠3＝120°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．故选：B．【点评】此题考查了两直线平行，同位角相等，以及邻补角的概念，熟记定理与概念是解此题的基础．3．（西湖区期末）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1＝60°，若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（ ）A．60° B．40° C．30° D．20°【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵b⊥c，∴∠2＝90°．∵∠1＝60°，a∥b，∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数为：90°﹣60°＝30°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质定理，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．4．（拱墅区期中）下列语句中正确的是（ ）A．经过一点有只有一条直线与已知直线平行 B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；B、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行线公理及推论等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．5．（奎文区一模）如图，若∠A+∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3【分析】先根据∠A+∠ABC＝180°，得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．6．（曹县期末）如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（ ）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠2，再由∠1＝∠DFE，得出∠2＝∠DFE，由内错角相等，两直线平行即可得出DF∥BC．【解答】解：要使DF∥BC，只需再有条件∠1＝∠DFE；理由如下：∵EF∥AB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠DFE，∴∠2＝∠DFE，∴DF∥BC；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）7．（拱墅区期末）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠D＝2∠B+30°，则∠C的度数为 50 °．【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到∠B＝∠C，再利用两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D＝180°，然后利用等量代换得到∠B+∠D＝180°，由∠D＝2∠B+30°，可得∠B的度数，易得∠C．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵CB∥DE，∴∠C+∠D＝180°，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝2∠B+30°，∴∠B+2∠B+30°＝180°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是解得∠B的度数．8．（镇海区校级期末）如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠A＝60°，∠B＝76°，则∠EDC的度数为 22° ．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出∠BCD的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣76°＝44°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝22°．∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝22°．故答案为：22°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的性质定理及三角形内角和是180°是解答此题的关键．9．（宁波模拟）如图，AB⊥CD于点B，BE∥AC，∠DBE＝40°，则∠A的度数为 50 度．【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠DBA＝∠DBE+∠ABE＝90°,∵∠DBE＝40°，∴∠ABE＝90°﹣∠DBE＝50°，∵BE∥AC，∴∠A＝∠ABE＝50°,故答案为：50．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟记平行线的性质定理是解题关键．10．（江干区模拟）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝35°，∠EFC＝120°，则∠A＝ 25° ．【分析】直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF＝60°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠ABF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝35°，∴∠A＝25°．故答案为：25°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠ABF＝60°是解题关键．11．（如皋市期末）如图，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝70°，则∠4＝ 110° ．【分析】由∠1，∠2互补及邻补角互补可得出∠2＝∠5，利用“同位角相等，两直线平行”可得出l1∥l2，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3＝∠6，再结合∠3的度数及∠4，∠6互补可求出∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝80°，∠2＝100°，∴∠1+∠2＝180°．∵∠1+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴l1∥l2，∴∠3＝∠6．∵∠4+∠6＝180°，∠3＝∠6＝70°，∴∠4＝110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的性质，求出∠6的度数是解题的关键．12．（下城区期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4＝ 130° ．【分析】首先证明b∥c，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3+∠6＝180°，进而可以计算出∠6的度数，再根据对顶角相等可得∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠5＝∠2，∴b∥c，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝50°，∴∠6＝130°，∴∠4＝130°．故答案为：130°．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质定理．三．解答题（共8小题）13．（宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．【分析】由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠EDC和∠BDC的大小．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∴∠DCB＝∠ACD＝41°，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝41°，在△BCD中，∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为41°、91°．【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．14．（鹿城区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠B＝60°，∠FCG＝90°，CF平分∠BCE，求∠BCG的度数．【分析】根据题意和平行线的性质可以求得∠BCE的度数，然后根据CF平分∠BCE，即可得到∠FCB的度数，再根据∠FCG＝90°，即可得到∠BCG的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BCE＝120°，∵CF平分∠BCE，∴∠FCB＝60°，∵∠FCG＝90°，∴∠BCG＝∠FCG﹣∠FCB＝90°﹣60°＝30°，即∠BCG＝30°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（椒江区校级月考）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度数．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C＝∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠C．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠C＝∠1＝70°，∵AF∥BC，∴∠2＝∠C＝70°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．16．（嘉兴期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．【点评】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键．17．（慈溪市期末）如图，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，说明AD∥BC的理由．【分析】由平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，等量代换得到∠CDA+∠BCD＝180°，即可判定AD∥BC．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠CDA，∴∠CDA+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．18．（双辽市期末）如图所示，AD与BE相交于点F，∠A＝∠C，∠1与∠2互补．证明：AB∥CE．【分析】先由∠1＝∠BFD得出∠BFD+∠2＝180°，故可得出AD∥BC，故可得出∠ADE＝∠C，据此可得出∠A＝∠ADE，进而得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠BFD，∠1+∠2＝180°，∴∠BFD+∠2＝180°，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠ADE，∴AB∥CE．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质定理是解答此题的关键．19．（鹿城区校级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，试说明∠ACB＝∠DEB．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵ ∠1 +∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝ ∠5 （同角的补角相等），∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠3＝ ∠4 （两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴ ∠3 ＝∠A（等量代换），∴ DE ∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ），∴∠ACB＝∠DEB（ 两直线平行，同位角相等 ）．【分析】应用平行线的性质与判定进行求解即可得出答案．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠1+∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝∠5（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴∠3＝∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠1；∠5；内错角相等，两直线平行；∠4；∠3；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练应用平行线的性质与判定进行求解是解决本题的关键．20．（拱墅区期中）如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝60°，求∠BDE的度数，请把下面的解答过程补充完整．解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝ ∠DCB （ 两直线平行，同位角相等 ）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝ ∠DCB （ 等量代换 ），∴BC∥ DE （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠B+ ∠BDE ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．又∵∠B＝60°（已知），∴∠BDE＝ 120° （ 等式的性质 ）．【分析】由FG∥CD可得出∠1＝∠2，结合∠1＝∠3可得出∠3＝∠2，利用“内错角相等，两直线平行”可得出BC∥DE，再利用“两直线平行，同旁内角互补”结合∠B＝50°即可求出∠BDE的度数．【解答】解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝∠DCB（两直线平行，同位角相等）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠DCB（等量代换），∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行），∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠B＝50°（已知），∴∠BDE＝120°（等式的性质）．故答案为：∠DCB；两直线平行，同位角相等；∠DCB；等量代换；DE；内错角相等，两直线平行；∠BDE；两直线平行，同旁内角互补；120°；等式的性质．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质的运用，能够利用“两直线平行，同旁内角互补”，找出∠B+∠BDE＝180°是解题的关键．声题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（浦江县期末）如图，AD∥BE，AC与BC相交于点C，且∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA．若∠C＝45°，则n＝（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】过C点作CF∥BE，根据平行线的性质可得CF∥AD∥BE，再根据平行线的性质可得∠1+∠2＝45°，∠DAB+∠EBA＝180°，依此即可求解．【解答】解：如图，过C点作CF∥BE，∵AD∥BE，∴CF∥AD∥BE，∴∠1＝∠ACF，∠2＝∠BCF，∠DAB+∠EBA＝180°，∴∠1+∠2＝∠ACF+∠BCF＝∠C＝45°，∵∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA，∴∠1+∠2＝∠DAB+∠EBA＝（∠DAB+∠EBA）＝45°，∴n＝4．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．2．（椒江区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，AD∥BC，∠BDC＝90°，∠A与∠C的数量关系为（ ）A．∠A+∠C＝180° B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝90°【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质、角平分线的性质，可以得到∠A和∠C的关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠A+2∠DBC＝180°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠C＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C，∴∠A+2（90°﹣∠C）＝180°，∴∠A﹣2∠C＝0，即∠A＝2∠C，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质、直角三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（望城区期末）将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）A．35° B．45° C．50° D．55°【分析】由平行线的性质及三角形内角和作答．【解答】解：如图，∵∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝55°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．4．（启东市模拟）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）A．136° B．102° C．122° D．112°【分析】根据折叠的性质和平角的定义，可以得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF的度数．【解答】解：由折叠的性质可得，∠2＝∠3，∵∠1＝44°，∴∠2＝∠3＝68°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠3＝180°，∴∠AEF＝112°，故选：D．【点评】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（奉化区校级期末）如图，将一副三角板如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，则有BC∥AE；③如果∠2＝30°，则有DE∥AB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（ ）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【分析】根据平行线的性质和判定、等腰直角三角形和三角形内角和定理逐个判断即可．【解答】解：如图，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAD﹣∠2＝∠CAB﹣∠2，∴∠1＝∠3，故①正确；∴∠1＝∠3＝45°，∵△CAB是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∴∠B+∠1+∠2+∠3＝180°，∴BC∥AE，故②正确；∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∵∠D＝30°，∴∠1≠∠D，∴DE和AB不平行，故③错误；∵∠2＝45°，∠D＝30°，∴∠CMD＝∠2+∠D＝75°，∵∠C＝45°，∴∠4＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠4＝∠E，故④正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．6．（奉化区校级期末）如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的判定得出GH∥BC，根据平行线的性质得出∠1＝∠HGM，∠1＝∠D，再逐个判断即可．【解答】解：∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，故①正确；∴∠1＝∠HGM，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGM，∴DE∥GF，∵GF⊥AB，∴HE⊥AB，故④正确；∵GF∥DE，∴∠D＝∠1，∵∠1＝∠CMF，根据已知条件不能推出∠F＝∠CMF，即不能推出∠D＝∠F，故②错误；∵∠AHG＝∠2+∠AHE，根据已知不能推出∠2＝∠AHE，故③错误；即正确的有2个，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．7．（奉化区校级期末）如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．【解答】解：A、根据∠2＝∠4不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3＝∠4能推出AB∥CD，故本选项符合题意；C、根据∠5＝∠6不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；D、根据∠2+∠3+∠6＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．二．填空题（共9小题）8．（深圳模拟）将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为 12° ．【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝42°，再根据三角形的外角性质可得答案．【解答】解：由题意知DE∥AF，∠CDE＝42°，∴∠AFD＝∠CDE＝42°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．9．（奉化区校级期末）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若∠1＝55°，则∠2的度数是 35° ．【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以求得∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：∵图中的直线互相平行，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答．10．（东阳市期末）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为 PB′⊥QC′ ；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 15秒或63秒或135 秒时，PB′∥QC′．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【解答】解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝（4t）°﹣180°，∠CQC'＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝（4t）°﹣360°，∠CQC′＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点评】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．11．（平阳县期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝40°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是 110° ．【分析】过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝30°，根据平角的定义可求∠ADB＝25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝115°．【解答】解：过D点作DI∥EF，如图，∵∠F＝150°，∴∠FDI＝30°，∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°﹣40°＝20°，∴∠ABH＝90°﹣20°＝70°．∵GH∥AB，∴∠H＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110°．【点评】考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（海曙区期末）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝ 30°或120°或165° ．【分析】分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可．【解答】解：如图，CD∥AB，∠BCD＝∠B＝30°，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°；如图2，DE∥AB时，延长EC交AB于F，则∠AFC＝∠E＝45°，在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠A﹣∠AFC，＝180°﹣60°﹣45°＝75°，则∠BCF＝90°﹣∠ACF＝90°﹣75°＝15°．∴∠ACD＝180°﹣∠BCF＝180°﹣15°＝165°；如图3，CD∥CE∥AB时，∠ACD＝30°，故答案为：30°或120°或165°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是根据旋转角的逐渐增大分别作出图形．13．（滨江区校级期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72 °．【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．14．（奉化区校级期末）如图，C为∠AOB的边OA上一点，过点C作CD∥OB交∠AOB的平分线OE于点F，作CH⊥OB交BO的延长线于点H，若∠EFD＝α，现有以下结论：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正确的是 ①②③④ （填序号）．【分析】根据平行线的性质可得∠EOB＝∠EFD＝α，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；偶平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④．【解答】解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，∴∠EOB＝∠EFD＝α，∵OE平分∠AOB，∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；∠AOB＝2α，∵∠AOB+∠AOH＝180°，∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；∵CD∥OB，CH⊥OB，∴CH⊥CD，故③正确；∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．故答案为①②③④．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．15．（奉化区校级期末）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 30或110 秒，两灯的光束互相平行．【分析】设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．【解答】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°，∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．16．（奉化区校级期末）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝．其中正确的有 ①②④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】求出∠EBD+∠ABC＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝EBG＝，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判断④．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，∵BD平分∠EBG，∴∠EBD＝∠DBG，∴∠ABC＝∠GBC，即BC平分∠ABG，故①正确；∵AE∥CF，∴∠ABC＝∠BCG，∵CB平分∠ACG，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠ABC＝∠GBC，∴∠ACB＝∠GBC，∴AC∥BG，故②正确；与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误；∵AC∥BG，∠A＝α，∴∠EBG＝∠A＝α，∵∠EBD＝∠DBG，∴∠EBD＝EBG＝，∵AB∥CF，∴∠EBD+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．三．解答题（共9小题）17．（温州期末）如图，AB∥CD，E是CD上一点，AE交BC于点F，且∠ABE＝∠DBC，∠ABC＝∠AEB．（1）试判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（2）若BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）由∠ABE＝∠DBC，可得∠ABC＝∠DBE，再由∠ABC＝∠AEB，从而得到∠AEB＝∠DBE，即可说明AE∥BD；（2）由BE平分∠CBD，得∠CBE＝∠DBE，结合题中的条件可求得∠ABC＝40°，再利用平行线的性质，可求得∠D的度数．【解答】解：（1）AE∥BD，理由：∵∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC+∠CBE＝∠CBE+∠DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵∠ABC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DBE，∴AE∥BD；（2）∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，∵∠DBE＝∠AEB，∠ABC＝∠AEB，∴∠ABC＝∠CBE＝∠DBE＝∠AEB＝40°，∵AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣3∠ABC＝60°．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．18．（诸暨市月考）推理填空：如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．将求∠AGD的过程及依据填写完整．∵EF∥AD，∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ），又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（ 等量代换 ），∴AB∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠BAC+ ∠AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝ 110° ．【分析】根据平行线的性质求出∠2＝∠3，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出AB∥DG，根据平行线的性质得出∠BAC+∠AGD＝180°，再代入求出答案即可．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠AGD，两直线平行，同旁内角互补，110°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．19．（鹤城区期末）如图，E，G是分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行，即可判断AD与EF的位置关系；（2）结合（1）根据角平分线定义可得∠ADC＝2∠1＝70°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】解：（1）AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠1＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°，∵AD∥EF，∴∠EFB＝∠ADB＝110°，∵∠BEF＝180°﹣∠2＝35°，∴∠B＝180°﹣∠EFB﹣∠BEF＝180°﹣110°﹣35°＝35°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．20．（拱墅区月考）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．21．（奉化区校级期末）如图，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，延长CP交AB于点Q，且∠PBC+∠PCB＝90°．（1）求证：AB∥CD．（2）探究∠PBC与∠PQB的数量关系．【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可；（2）根据角平分线的定义解答即可．【解答】（1）证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC．∵CP平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠PCB，∴∠ABC+∠BCD＝2∠PBC+2∠PCB，又∵∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．（2）∵CP平分∠DCB，∴∠PCD＝∠PCB．∵AB∥CD，∴∠PCD＝∠PQB，∴∠PCB＝∠PQB．又∵∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠PBC+∠PQB＝90°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行．22．（奉化区校级期末）如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．（1）DF与AC平行吗？请说明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠EDF，求出∠1+∠EDF＝180°，再根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠EDF，根据角平分线定义求出∠FDB，再根据平行线的性质得出即可．【解答】解：（1）DF∥AC理由：∵DE∥AB，∴∠2＝∠EDF，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠EDF＝180°，∴DF∥AC；（2）∵∠1＝110°，DF∥AC，∴∠EDF＝70°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝∠EDF＝70°，又∵DF∥AC，∴∠C＝∠BDF＝70°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．23．（北仑区期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝50°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．（1）∠BOC的度数是 130° ，图1中与它互补的角是 ∠AOC ．（2）三角尺旋转的度数可表示为 15t度或15°t （用含t的代数式表示）：当t＝ 或 时，MO⊥OC．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，OM⊥OE，并说明理由？（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤t≤，是否存在某个时刻，使得∠COM与∠COE中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用邻补角的定义解答即可；（2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为40°或220°即可求得结论；（3）分两种情况：①当OM在OE左侧时，②当OM在OE右侧时，分别用含t的代数式表示出OM，OE旋转的度数，利用∠MOE＝90°列出方程，解方程即可求得结论；（4）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当OM在OC左侧时，②当OM在OC右侧时，分别用含t的代数式表示出∠COM与∠COE的度数，利用∠COM：∠COE＝2或∠COM：∠COE＝，列出方程，解方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°；∵∠AOC与∠BOC为邻补角，∴图1中于∠BOC互补的角为∠AOC．故答案为：130°；∠AOC；（2）∵三角尺旋转的度数等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间，∴三角尺旋转的度数可用15t度或15°t表示，故答案为：15t度或15°t；若MO⊥OC，则OM需旋转40°或220°，∴15t＝40或15t＝220，解得：t＝或t＝．故答案为：或t＝．（3）①如图①当OM在OE左侧时，∠BOE＝（130+5t）度，∠BOM＝15t度．∵OM⊥OE，∴∠MOE＝90°．由题意得：130+5t＝90+15t，解得：t＝4．②如图②当OM在OE右侧时，三角尺旋转的角度为15t度，直尺旋转的角度为5t度．∵OM⊥OE，∴∠MOE＝90°．由题意得：130+5t+90＝15t，解得：t＝22．综上所述，当t＝4或22时，OM⊥OE．（4）当OM在OC左侧时，（ⅰ）∠COM：∠COE＝2：1，如图，由题意得：2×5t＝130﹣15t，解得：．（ⅱ）∠COM：∠COE＝1：2，如图，由题意得：5t＝2（130﹣15t），解得：．②当OM在OC右侧时，（ⅰ）∠COM：∠COE＝1：2，如图，由题意得：15t＝2（15t﹣130），解得：．（ⅱ）∠COM：∠COE＝2：1，因为，所以不存在．∴综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍．【点评】本题主要考查了余角和补角的性质，角平分线的定义，垂直的性质，图象的旋转，由题意用含t的代数式表示出相应角度的值是解题的关键．24．（诸暨市期末）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．（1）如图1，∠BAH＝40°，则：①∠FDB＝ 50 °；②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝ 15 °．（2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝ °（用含n的式子表示）．【分析】（1）过点B作BN∥FG，得∠FDB+∠BAH＝90°，①由∠BAH＝40°求∠FDB；②由角平分线的定义求∠IDG和∠IAK，记AI与直线FG交于点M，由△DMI的外角性质求∠I；（2）设∠FDB＝α，利用（1）中的思路用含有α的式子表示角，根据∠I的大小列出关于α的方程，解方程求出∠FDB的大小；（3）根据比例关系和（2）中思路表示出∠I．【解答】解：（1）①如图，过点B作BN∥AG，则BN∥HK，∴∠FDB＝∠DBN，∠BAH＝∠ABN，∴∠FDB+∠HAB＝∠DBA＝90°，∵∠BAH＝40°，∴∠FDB＝50°，故答案为：50°；②记AI与直线FG的交点为M，∵∠FDB＝50°，∴∠CDG＝∠FDB＝50°，∵∠BAH＝40°，∠BAC＝60°，∴∠CAK＝80°，∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，∴∠IDG＝25°，∠IAK＝40°，∵FG∥HK，∴∠DMG＝∠IAK＝40°，∵∠DMG是△DMI的外角，∴∠I＝∠DMG﹣∠IDG＝40°﹣25°＝15°，故答案为：15°；（2）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∵∠BAC＝60°，∴∠CAK＝α+30°，∵点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，∴∠IDG＝，∠IAK＝（α+30°），∵FG∥HK，∴∠DMA＝∠IAK＝（α+30°），∵∠I＝35°，∴35°+＝（α+30°），∴α＝50°；（3）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∠CAK＝α+30°，∵∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，∴∠IDG＝，∠IAK＝，∵FG∥HK，∴∠DMA＝∠IAK＝，∴∠I＝∠DMA﹣∠IDG＝﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，正确理解并应用角平分线的定义和n等分线的定义是解决本题的关键．25．（嵊州市期末）如图，直线AB、CD被DQ所截，AB∥CD，∠BDC＝50°，点E是直线CD上的动点（点E与点D不重合），连结BE，作∠ABE的角平分线交直线CD于点F．（1）如图1，点E在点D左侧，若∠DBE＝20°，求∠EBF的度数．（2）射线BG平分∠EBQ．①如图2，点E在点D左侧，求∠FBG的度数．②若F′是BF反向延长线上的一点，求∠F′BG的度数．【分析】（1）由AB∥CD，∠BDC＝50°，得∠ABD＝180°﹣∠BDC＝130°，故∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝110°．由BF平分∠ABE，得∠EBF＝＝55°．（2）①由又∵BF平分∠ABE，得∠EBF＝．由BG平分∠EBQ，得∠GBE＝，进而求得∠FBG＝∠GBE﹣∠EBF＝25°．②如图2，∠F′BG＝180°﹣∠FBG＝155°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠BDC＝50°，∴∠ABD+∠BDC＝180°．∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝180°﹣50°＝130°．∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝130°﹣20°＝110°．又∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝＝55°．（2）①由（1）知：∠ABD＝130°．∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝130°﹣∠DBE．又∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝．∵BG平分∠EBQ，∴∠GBE＝．∴∠FBG＝∠GBE﹣∠EBF＝＝25°．②如图2．由①得：∠FBG＝25°．∴∠F′BG＝180°﹣∠FBG＝180°﹣25°＝155°．【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及平角的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及平角的性质是解决本题的关键．题组C 培优拔尖练一．解答题（共8小题）1．（罗湖区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM＝90° ；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1＝180°，再由角的互余关系即可得出结果；（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：则PG∥CD，∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，∵∠1+∠2＝∠P＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）证明：如图②所示：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHF＝180°，∵∠P＝90°，∴∠BHF+∠2＝90°，∵∠2＝∠AEM，∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）如图③所示：∵∠P＝90°，∴∠PHE＝90°﹣∠FEB＝90°﹣15°＝75°，∵AB∥CD，∴∠PFC＝∠PHE＝75°，∵∠PFC＝∠N+∠DON，∴∠N＝75°﹣30°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．2．（临邑县期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．（河北区期末）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）试说明：AB∥CD；（2）若∠2＝35°，求∠BFC的度数．【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．（2）已知∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°，那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系，由邻补角的定义求得∠BFC的度数．【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）解：（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠FDE；∵∠1+∠2＝90°，∴∠BED＝∠DEF＝90°；∴∠3+∠FDE＝90°；∴∠2+∠3＝90°．∵∠2＝35°，∴∠3＝55°，∴∠BFC＝180°﹣55°＝125°．【点评】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及平行线的判定，难度不大．解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．4．（饶平县校级期末）如图，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE．【分析】（1）由平行线的性质求得∠BDC＝∠1＝35°，然后由邻补角的定义求得∠2的度数即可；（2）由平行线的性质可知：∠A+∠ADC＝180°，然后由∵∠A＝∠C，再证得∠C+∠ADC＝180°，从而可证得BC∥AD；（3）由AE∥CF可证明∠BDF＝∠DBE，由BC∥AD，可证明∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义可知，∠ADB＝∠BDF，从而可证明∠DBC＝∠EBD．【解答】解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC＝∠1＝35°，又∵∠2+∠BDC＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；（2）BC∥AD．理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠C+∠ADC＝180°，∴BC∥AD．（3）∵AE∥CF，∴∠BDF＝∠DBE．∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠DBC．∵AD平分∠BDF，∴∠ADB＝∠BDF，∴∠DBC＝∠EBD．∴BC平分∠DBE．【点评】本题主要考查的是平行线的性质的应用，掌握平行线的性质是解题的关键．5．（九龙坡区期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ∠BME＝∠MEN﹣∠END ；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ∠BMF＝∠MFN+∠FND ；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．6．（越城区期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）利用（1）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是 ∠P＝2∠P1 ．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是 140° ．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）①结论：∠P＝2∠P1；理由：由（1）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，∴∠P＝2∠P1．故答案为：∠P＝2∠P1；②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP）＝180°﹣（∠DAP+∠FBP）＝180°﹣∠APB＝180°﹣80°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．7．（奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC．【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC；（3）∠AKC＝∠APC．理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．8．（金华期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC、CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B＝60°，∠C＝85°，∠D＝25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C＝∠D＝25°，调整线段AB、BC使得AB∥CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C＝85°，∠D＝25°，AB∥DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【解答】解：（1）AB∥DE，理由是：如图2，过点C作CF∥AB，∴∠B＝∠BCF＝60°，∵∠BCD＝85°，∴∠CDF＝25°，∵∠D＝25°，∴∠D＝∠DCF＝25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如图3，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD＝25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣25°＝155°；（3）如图2，由（1）得：∠B＝85°﹣25°＝60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD＝∠D＝25°，∵∠BCD＝85°，∴∠BCF＝85°﹣25°＝60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∴∠B＝120°；如图6，∵∠C＝85°，∠D＝25°，∴∠CFD＝180°﹣85°﹣25°＝70°，∵AB∥DE，∴∠B＝∠CFD＝70°，如图7，同理得：∠B＝25°+85°＝110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算． 如图，∠A+∠D＝180°，则∠DCE＝∠B．完成下面的说理过程．解：已知∠A+∠D＝180°，根据（同旁内角互补，两直线平行），得AB∥CD又根据（※）得∠DCE＝∠B如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．
第03讲平行线的性质（核心考点讲与练）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．考点一：平行线的性质【例题1】（宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练1】（宁波期末）如图，已知AB∥CD，则下列结论中正确的是（ ）A．∠EAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠DCA C．∠ADB＝∠DBC【分析】根据平行线的性质判断求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练2】（浙江模拟）如图，三根木条相交形成∠1，∠2，∠3，∠4（∠1为锐角）固定木条b，c，转动木条a，则可能和∠1相等的角是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．不存在【分析】根据平行线的性质求解即可．【解答】解：转动木条，当a∥b时，∠1＝∠2，故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．【变式训练3】（鄞州区月考）如图，AB∥CD，∠A＝25°，∠E＝80°，则∠C的度数是 55° ．【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C，然后根据∠A＝25°，∠AEC＝80°计算即可得解．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠A＝25°，∠CEF＝∠C，又∵∠AEC＝80°，∴∠C＝∠CEF＝80°﹣25°＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式训练4】（温州期末）一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中∠A＝45°，∠D＝30°．若DF∥BC，则∠AGE等于 75° ．【分析】根据平行线的性质得到∠DEB＝∠D＝30°，再根据三角形的外角性质即可得解．【解答】解：根据题意可得，∠B＝45°，∵DF∥BC，∠D＝30°，∴∠DEB＝∠D＝30°，∴∠AGE＝∠B+∠DEB＝75°，故答案为：75°．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练5】（温州月考）已知：如图，直线m∥n，将Rt△ABC按如图方式放置，其中点C在直线n上，点A在直线m上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 40° ．【分析】根据平角的定义得出∠3＝40°，再根据平行线的性质即可得解．【解答】解：如图，∵∠1＝50°，∠ACB＝90°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵m∥n，∴∠2＝∠3＝40°，故答案为：40°．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练6】（上虞区期末）如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C在直尺的一边上，若∠1＝63°，则∠2的度数为 27° ．【分析】根据平行线的性质和∠ACB＝90°，可以计算出∠2的度数．【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝63°，∴∠1＝∠3＝63°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠ACB＝∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣63°＝27°，故答案为：27°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是熟记平行线的性质，明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练7】（琼海期末）一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）A．95° B．105° C．115° D．125°【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．【解答】解：由题意得∠ADF＝45°，∵FD∥AB，∠B＝30°，∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式训练8】（浙江模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示位置摆放，∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，点D在边AC上，若EF∥BC，则∠ADE的度数为（ ）A．60° B．65° C．75° D．80°【分析】由平行线的性质可得∠DGC＝∠E＝30°，则可求∠BGD的度数，利用四边形的内角和即可求得∠ADE的度数．【解答】解：如图，∵EF∥BC，∠E＝30°，∴∠DGC＝∠E＝30°，∴∠BGD＝180°﹣∠DGC＝150°，∵∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，在四边形ABGD中，∠ADE＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BGD＝75°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．【变式训练9】（义乌市模拟）如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角α为64°，则第二次转过的角β为 116 °．【分析】由已知条件可先求得∠BAC，再利用平行线的性质可得到β的度数．【解答】解：∵∠α＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠α＝116°，∵AB∥CD，∴∠β＝∠BAC＝116°，故答案为：116．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式训练10】（柯桥区期末）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝125°，则∠BAC的度数为（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣125°），再根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图，∵直线MN∥AB，∴OD＝OE＝OF，∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×（180°﹣125°）＝110°，∴∠BAC＝70°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质及三角形内心的判定及性质，利用平行线间的距离处处相等判定点O是△ABC的内心是解题的关键．【变式训练11】（平阳县期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝ 115 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝ 158 度．【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH＝∠EFH＝65°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度数，从而可求∠ABC的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q＝∠EFH＝68°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K，如图所示：∵BC∥EF，∠EFH＝65°，∴∠BKH＝∠EFH＝65°，∵AB∥GH，∴∠ABK＝∠BKH＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABK＝115°；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图所示：∵AB平行FH，∠EFH＝68°，∴∠Q＝∠EFH＝68°，∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，∴∠BPQ＝90°，∴∠ABC＝∠BPQ+∠Q＝90°+68°＝158°，故答案为：115，158．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．【变式训练12】（嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ 40° ．【分析】延长BO，交CD于点M，根据平行线的性质得∠ABM＝∠BMC，然后根据三角形外角性质及平角定义可得∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，再由角平分线定义可得答案．【解答】解：延长BO，交CD于点M，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∵∠BOC＝∠BMC+∠OCM，∠OCM＝180°﹣∠OCD，∴∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，∵∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，∴∠ABM＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴100°＝2∠1+180°﹣2∠2，∴∠2﹣∠1＝40°．故答案为：40°．【点评】此题考查的是平行线的性质，利用三角形外角性质得到角的和差关系是解决此题关键．【变式训练13】（嵊州市期末）如图，将长方形纸片沿EB，CF折叠成图1，使AB，CD在同一直线上，再沿BF折叠成图2，使点D落在点D'处，BD'交CF于点P，若∠CEB＝37°，则∠CPB的度数为（ ）A．110° B．111° C．112° D．113°【分析】由题意可得：EG∥HF，利用平行线的性质可得：∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，再结合折叠的性质可得：∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，利用三角形的外角性质可求解．【解答】解：如图所示由题意得：EG∥HF，∴∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，由折叠性质得：∠HBE＝∠CBE＝∠CBH，∠FCG＝∠BCF＝∠BCG，∴∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，∴∠DBF＝∠CBH＝74°，在图2中，由折叠的性质得：∠BFP＝∠BFC＝37°，∠FBD'＝∠DBF＝74°，∴∠CPB＝∠FBD'+∠BFP＝111°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．【变式训练14】（诸暨市期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝ 40° ．【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝65°，结合图形求得∠GFH的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，∴∠GFB＝∠FED＝65°．∵∠HFB＝25°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．考点二：平行线的判定与性质【例题2】（浦江县期末）如图是小聪同学的作业，在※处填的理由是（ ）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定和性质即可得到结论．【解答】解：已知∠A+∠D＝180°，根据（同旁内角互补，两直线平行），得AB∥CD又根据（两直线平行，同位角相等）得∠DCE＝∠B，故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．【变式训练1】（拱墅区期末）如图，能判定BE∥CD的条件是（ ）A．∠BAD+∠2＝180° B．∠1＝∠B C．∠BAD+∠B＝180° D．∠1＝∠D【分析】利用平行线的判定条件，对各个选项进行分析，不难得出结果．【解答】解：A．∠BAD与∠2不属于是同旁内角，当∠BAD+∠2＝180°时，故不能判定BE∥CD，则A不符合题意；B．∠1与∠B属于同位角，当∠1＝∠B时，则AD∥BC，故B不符合题意；C．∠BAD与∠B属于是同旁内角，当∠BAD+∠B＝180°时，则AD∥BC，故C不符合题意；D．∠1与∠D属于是内错角，当∠1＝∠D时，则BE∥CD，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的判定条件，解答的关键是结合图形，明确清楚各角之间的关系，结合平行线的判定条件进行判断．【变式训练2】（拱墅区期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，则∠3＝ 40° ．【分析】由∠1＝∠2，判定AB∥CD，得到∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，再由角平分线的定义得到∠2＝2∠4，可求出∠4＝40°，即可得解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，∵EG是∠AEF的角平分线，∴∠AEF＝∠2＝2∠4，∵∠2+∠4＝120°，∴∠4＝40°，∴∠3＝40°，故答案为：40°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式训练3】（镇海区期中）如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴ l1 ∥ l2 （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠3+∠4＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝ 125° ．【分析】根据平行线的判定定理及性质定理解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝125°，故答案为：l1；l2；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；125°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．【变式训练4】（鹿城区校级期中）如图，已知a，b，c，d四条直线，若∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝65°，则∠4＝ 65 度．【分析】由对顶角的性质和已知条件得到∠2+∠5＝180°，由平行线的判定推出a∥b，根据平行线的性质即可求出∠4．【解答】解：∵∠5＝∠1＝105°，∠2＝75°，∴∠2+∠5＝180°，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据∠2+∠5＝180°，推出a∥b是解决问题的关键．【变式训练5】（金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【变式训练6】（椒江区校级开学）如图，AD与BC交于点O，点E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1+∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度数．【分析】根据平行线的判定得出BC∥EF，进而利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠C＝∠3，∴BC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，∵∠2＝80°，∴∠1＝100°，∵∠1+∠3＝140°，∴∠3＝40°，∵∠C＝∠3，∴∠C＝40°，∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C＝40°．【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．【变式训练7】（嵊州市期末）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E．（1）若∠1＝∠A，判断DF与AC是否平行，并说明理由；（2）若DF∥AC，∠B+∠C＝120°，求∠1的度数．【分析】（1）依据DE∥AB，可得∠A＝∠DEC，再根据∠1＝∠A，即可得到∠1＝∠DEC，进而得出DF∥AC；（2）依据DF∥AC，DE∥AB，即可得到∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，再根据∠B+∠C＝120°及平角定义可得答案．【解答】解：（1）DF∥AC．理由如下：∵DE∥AB，∴∠A＝∠DEC，又∵∠1＝∠A，∴∠1＝∠DEC，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，DE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，∵∠B+∠C＝120°，∴∠CDE+∠BDF＝120°，∴∠1＝180°﹣（∠CDE+∠BDF）＝60°．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【变式训练8】（任丘市期末）如图，直线l1，l2被l3所截，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③l1∥l2，其中能判断AC∥BD的条件是 ① ．【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断AC∥BD．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：①．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质．【变式训练9】（温州三模）如图，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．（1）请说明BD∥FG的理由．（2）若D是AC的中点，F是BC的中点，已知AB＝4，BC＝3，求FG的长度．【分析】（1）由AB⊥BC，DE⊥AB可得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠1＝∠DBC结合∠1＝∠2可得结论；（2）利用勾股定理先求出AC的长，再根据斜边与其中线的关系求出BD的长，最后利用中位线定理求出FG．【解答】解：（1）BD∥FG的理由如下：∵AB⊥BC，DE⊥AB，∴DE∥BC．∴∠1＝∠DBC．∵∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠2．∴BD∥FG．（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5．∵D是AC的中点，∴BD＝AC＝．∵F是BC的中点，BD∥FG，∴FG是△CBD的中位线．∴FG＝BD＝．【点评】本题考查了平行线的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、中位线的性质等知识点，综合性较强，学会分析，综合利用各个知识点是解决本题的关键．【变式训练10】（长兴县月考）如图，已知CF∥AG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠1＝32°，说明：AB∥CD．【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵CF∥AG，∴∠FCH＝∠2＝58°，∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；（2）当∠1＝32°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝32°，∵∠1＝32°，∴∠1＝∠DCE，∴AB∥CD．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．类型一、平行线的性质 例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【答案与解析】解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）A．132° B．134° C．136° D．138°【答案】B 解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.类型二、两平行线间的距离例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．【思路点拨】根据两平行线间的距离相等，即可解答．【答案与解析】解：∵直线l1∥l2，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．即S1=S2=S3．【总结升华】本题考查了平行线之间的距离，解本题的关键是明确两平行线间的距离相等．【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、平行的性质与判定综合应用例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2【答案】B例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【答案与解析】解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．以①②③为例，说明如下已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝.【答案】115°例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【答案与解析】解：（1）75°；（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( ) A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】D题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（上虞区期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1为x度，用关于x的代数式表示α，则表示正确的是（ ）A．α＝120°﹣x B．α＝90°﹣x C．α＝60°+x D．α＝45°+x【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝x，∠3＝∠α，由折叠的性质得到，∠3＝∠4＝（180°﹣∠2）＝90°﹣x，∴α＝∠3＝90°﹣x．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理及折叠的性质．2．（北仑区期末）如图，平行直线a，b被直线c所截，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由两直线平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根据∠2和∠3互为邻补角求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝120°，∴∠3＝120°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．故选：B．【点评】此题考查了两直线平行，同位角相等，以及邻补角的概念，熟记定理与概念是解此题的基础．3．（西湖区期末）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1＝60°，若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（ ）A．60° B．40° C．30° D．20°【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵b⊥c，∴∠2＝90°．∵∠1＝60°，a∥b，∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数为：90°﹣60°＝30°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质定理，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．4．（拱墅区期中）下列语句中正确的是（ ）A．经过一点有只有一条直线与已知直线平行 B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；B、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行线公理及推论等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．5．（奎文区一模）如图，若∠A+∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3【分析】先根据∠A+∠ABC＝180°，得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．6．（曹县期末）如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（ ）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠2，再由∠1＝∠DFE，得出∠2＝∠DFE，由内错角相等，两直线平行即可得出DF∥BC．【解答】解：要使DF∥BC，只需再有条件∠1＝∠DFE；理由如下：∵EF∥AB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠DFE，∴∠2＝∠DFE，∴DF∥BC；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）7．（拱墅区期末）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠D＝2∠B+30°，则∠C的度数为 50 °．【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到∠B＝∠C，再利用两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D＝180°，然后利用等量代换得到∠B+∠D＝180°，由∠D＝2∠B+30°，可得∠B的度数，易得∠C．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵CB∥DE，∴∠C+∠D＝180°，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝2∠B+30°，∴∠B+2∠B+30°＝180°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是解得∠B的度数．8．（镇海区校级期末）如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠A＝60°，∠B＝76°，则∠EDC的度数为 22° ．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出∠BCD的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣76°＝44°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝22°．∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝22°．故答案为：22°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的性质定理及三角形内角和是180°是解答此题的关键．9．（宁波模拟）如图，AB⊥CD于点B，BE∥AC，∠DBE＝40°，则∠A的度数为 50 度．【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠DBA＝∠DBE+∠ABE＝90°,∵∠DBE＝40°，∴∠ABE＝90°﹣∠DBE＝50°，∵BE∥AC，∴∠A＝∠ABE＝50°,故答案为：50．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟记平行线的性质定理是解题关键．10．（江干区模拟）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝35°，∠EFC＝120°，则∠A＝ 25° ．【分析】直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF＝60°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠ABF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝35°，∴∠A＝25°．故答案为：25°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠ABF＝60°是解题关键．11．（如皋市期末）如图，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝70°，则∠4＝ 110° ．【分析】由∠1，∠2互补及邻补角互补可得出∠2＝∠5，利用“同位角相等，两直线平行”可得出l1∥l2，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3＝∠6，再结合∠3的度数及∠4，∠6互补可求出∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝80°，∠2＝100°，∴∠1+∠2＝180°．∵∠1+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴l1∥l2，∴∠3＝∠6．∵∠4+∠6＝180°，∠3＝∠6＝70°，∴∠4＝110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的性质，求出∠6的度数是解题的关键．12．（下城区期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4＝ 130° ．【分析】首先证明b∥c，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3+∠6＝180°，进而可以计算出∠6的度数，再根据对顶角相等可得∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠5＝∠2，∴b∥c，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝50°，∴∠6＝130°，∴∠4＝130°．故答案为：130°．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质定理．三．解答题（共8小题）13．（宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．【分析】由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠EDC和∠BDC的大小．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∴∠DCB＝∠ACD＝41°，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝41°，在△BCD中，∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为41°、91°．【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．14．（鹿城区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠B＝60°，∠FCG＝90°，CF平分∠BCE，求∠BCG的度数．【分析】根据题意和平行线的性质可以求得∠BCE的度数，然后根据CF平分∠BCE，即可得到∠FCB的度数，再根据∠FCG＝90°，即可得到∠BCG的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BCE＝120°，∵CF平分∠BCE，∴∠FCB＝60°，∵∠FCG＝90°，∴∠BCG＝∠FCG﹣∠FCB＝90°﹣60°＝30°，即∠BCG＝30°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（椒江区校级月考）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度数．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C＝∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠C．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠C＝∠1＝70°，∵AF∥BC，∴∠2＝∠C＝70°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．16．（嘉兴期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．【点评】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键．17．（慈溪市期末）如图，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，说明AD∥BC的理由．【分析】由平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，等量代换得到∠CDA+∠BCD＝180°，即可判定AD∥BC．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠CDA，∴∠CDA+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．18．（双辽市期末）如图所示，AD与BE相交于点F，∠A＝∠C，∠1与∠2互补．证明：AB∥CE．【分析】先由∠1＝∠BFD得出∠BFD+∠2＝180°，故可得出AD∥BC，故可得出∠ADE＝∠C，据此可得出∠A＝∠ADE，进而得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠BFD，∠1+∠2＝180°，∴∠BFD+∠2＝180°，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠ADE，∴AB∥CE．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质定理是解答此题的关键．19．（鹿城区校级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，试说明∠ACB＝∠DEB．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵ ∠1 +∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝ ∠5 （同角的补角相等），∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠3＝ ∠4 （两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴ ∠3 ＝∠A（等量代换），∴ DE ∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ），∴∠ACB＝∠DEB（ 两直线平行，同位角相等 ）．【分析】应用平行线的性质与判定进行求解即可得出答案．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠1+∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝∠5（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴∠3＝∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠1；∠5；内错角相等，两直线平行；∠4；∠3；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练应用平行线的性质与判定进行求解是解决本题的关键．20．（拱墅区期中）如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝60°，求∠BDE的度数，请把下面的解答过程补充完整．解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝ ∠DCB （ 两直线平行，同位角相等 ）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝ ∠DCB （ 等量代换 ），∴BC∥ DE （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠B+ ∠BDE ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．又∵∠B＝60°（已知），∴∠BDE＝ 120° （ 等式的性质 ）．【分析】由FG∥CD可得出∠1＝∠2，结合∠1＝∠3可得出∠3＝∠2，利用“内错角相等，两直线平行”可得出BC∥DE，再利用“两直线平行，同旁内角互补”结合∠B＝50°即可求出∠BDE的度数．【解答】解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝∠DCB（两直线平行，同位角相等）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠DCB（等量代换），∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行），∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠B＝50°（已知），∴∠BDE＝120°（等式的性质）．故答案为：∠DCB；两直线平行，同位角相等；∠DCB；等量代换；DE；内错角相等，两直线平行；∠BDE；两直线平行，同旁内角互补；120°；等式的性质．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质的运用，能够利用“两直线平行，同旁内角互补”，找出∠B+∠BDE＝180°是解题的关键．声题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（浦江县期末）如图，AD∥BE，AC与BC相交于点C，且∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA．若∠C＝45°，则n＝（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】过C点作CF∥BE，根据平行线的性质可得CF∥AD∥BE，再根据平行线的性质可得∠1+∠2＝45°，∠DAB+∠EBA＝180°，依此即可求解．【解答】解：如图，过C点作CF∥BE，∵AD∥BE，∴CF∥AD∥BE，∴∠1＝∠ACF，∠2＝∠BCF，∠DAB+∠EBA＝180°，∴∠1+∠2＝∠ACF+∠BCF＝∠C＝45°，∵∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA，∴∠1+∠2＝∠DAB+∠EBA＝（∠DAB+∠EBA）＝45°，∴n＝4．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．2．（椒江区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，AD∥BC，∠BDC＝90°，∠A与∠C的数量关系为（ ）A．∠A+∠C＝180° B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝90°【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质、角平分线的性质，可以得到∠A和∠C的关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠A+2∠DBC＝180°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠C＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C，∴∠A+2（90°﹣∠C）＝180°，∴∠A﹣2∠C＝0，即∠A＝2∠C，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质、直角三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（望城区期末）将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）A．35° B．45° C．50° D．55°【分析】由平行线的性质及三角形内角和作答．【解答】解：如图，∵∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝55°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．4．（启东市模拟）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）A．136° B．102° C．122° D．112°【分析】根据折叠的性质和平角的定义，可以得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF的度数．【解答】解：由折叠的性质可得，∠2＝∠3，∵∠1＝44°，∴∠2＝∠3＝68°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠3＝180°，∴∠AEF＝112°，故选：D．【点评】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（奉化区校级期末）如图，将一副三角板如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，则有BC∥AE；③如果∠2＝30°，则有DE∥AB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（ ）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【分析】根据平行线的性质和判定、等腰直角三角形和三角形内角和定理逐个判断即可．【解答】解：如图，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAD﹣∠2＝∠CAB﹣∠2，∴∠1＝∠3，故①正确；∴∠1＝∠3＝45°，∵△CAB是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∴∠B+∠1+∠2+∠3＝180°，∴BC∥AE，故②正确；∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∵∠D＝30°，∴∠1≠∠D，∴DE和AB不平行，故③错误；∵∠2＝45°，∠D＝30°，∴∠CMD＝∠2+∠D＝75°，∵∠C＝45°，∴∠4＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠4＝∠E，故④正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．6．（奉化区校级期末）如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的判定得出GH∥BC，根据平行线的性质得出∠1＝∠HGM，∠1＝∠D，再逐个判断即可．【解答】解：∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，故①正确；∴∠1＝∠HGM，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGM，∴DE∥GF，∵GF⊥AB，∴HE⊥AB，故④正确；∵GF∥DE，∴∠D＝∠1，∵∠1＝∠CMF，根据已知条件不能推出∠F＝∠CMF，即不能推出∠D＝∠F，故②错误；∵∠AHG＝∠2+∠AHE，根据已知不能推出∠2＝∠AHE，故③错误；即正确的有2个，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．7．（奉化区校级期末）如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．【解答】解：A、根据∠2＝∠4不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3＝∠4能推出AB∥CD，故本选项符合题意；C、根据∠5＝∠6不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；D、根据∠2+∠3+∠6＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．二．填空题（共9小题）8．（深圳模拟）将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为 12° ．【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝42°，再根据三角形的外角性质可得答案．【解答】解：由题意知DE∥AF，∠CDE＝42°，∴∠AFD＝∠CDE＝42°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．9．（奉化区校级期末）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若∠1＝55°，则∠2的度数是 35° ．【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以求得∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：∵图中的直线互相平行，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答．10．（东阳市期末）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为 PB′⊥QC′ ；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 15秒或63秒或135 秒时，PB′∥QC′．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【解答】解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝（4t）°﹣180°，∠CQC'＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝（4t）°﹣360°，∠CQC′＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点评】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．11．（平阳县期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝40°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是 110° ．【分析】过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝30°，根据平角的定义可求∠ADB＝25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝115°．【解答】解：过D点作DI∥EF，如图，∵∠F＝150°，∴∠FDI＝30°，∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°﹣40°＝20°，∴∠ABH＝90°﹣20°＝70°．∵GH∥AB，∴∠H＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110°．【点评】考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（海曙区期末）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝ 30°或120°或165° ．【分析】分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可．【解答】解：如图，CD∥AB，∠BCD＝∠B＝30°，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°；如图2，DE∥AB时，延长EC交AB于F，则∠AFC＝∠E＝45°，在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠A﹣∠AFC，＝180°﹣60°﹣45°＝75°，则∠BCF＝90°﹣∠ACF＝90°﹣75°＝15°．∴∠ACD＝180°﹣∠BCF＝180°﹣15°＝165°；如图3，CD∥CE∥AB时，∠ACD＝30°，故答案为：30°或120°或165°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是根据旋转角的逐渐增大分别作出图形．13．（滨江区校级期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72 °．【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．14．（奉化区校级期末）如图，C为∠AOB的边OA上一点，过点C作CD∥OB交∠AOB的平分线OE于点F，作CH⊥OB交BO的延长线于点H，若∠EFD＝α，现有以下结论：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正确的是 ①②③④ （填序号）．【分析】根据平行线的性质可得∠EOB＝∠EFD＝α，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；偶平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④．【解答】解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，∴∠EOB＝∠EFD＝α，∵OE平分∠AOB，∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；∠AOB＝2α，∵∠AOB+∠AOH＝180°，∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；∵CD∥OB，CH⊥OB，∴CH⊥CD，故③正确；∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．故答案为①②③④．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．15．（奉化区校级期末）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 30或110 秒，两灯的光束互相平行．【分析】设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．【解答】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°，∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．16．（奉化区校级期末）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝．其中正确的有 ①②④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】求出∠EBD+∠ABC＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝EBG＝，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判断④．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，∵BD平分∠EBG，∴∠EBD＝∠DBG，∴∠ABC＝∠GBC，即BC平分∠ABG，故①正确；∵AE∥CF，∴∠ABC＝∠BCG，∵CB平分∠ACG，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠ABC＝∠GBC，∴∠ACB＝∠GBC，∴AC∥BG，故②正确；与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误；∵AC∥BG，∠A＝α，∴∠EBG＝∠A＝α，∵∠EBD＝∠DBG，∴∠EBD＝EBG＝，∵AB∥CF，∴∠EBD+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．三．解答题（共9小题）17．（温州期末）如图，AB∥CD，E是CD上一点，AE交BC于点F，且∠ABE＝∠DBC，∠ABC＝∠AEB．（1）试判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（2）若BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）由∠ABE＝∠DBC，可得∠ABC＝∠DBE，再由∠ABC＝∠AEB，从而得到∠AEB＝∠DBE，即可说明AE∥BD；（2）由BE平分∠CBD，得∠CBE＝∠DBE，结合题中的条件可求得∠ABC＝40°，再利用平行线的性质，可求得∠D的度数．【解答】解：（1）AE∥BD，理由：∵∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC+∠CBE＝∠CBE+∠DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵∠ABC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DBE，∴AE∥BD；（2）∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，∵∠DBE＝∠AEB，∠ABC＝∠AEB，∴∠ABC＝∠CBE＝∠DBE＝∠AEB＝40°，∵AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣3∠ABC＝60°．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．18．（诸暨市月考）推理填空：如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．将求∠AGD的过程及依据填写完整．∵EF∥AD，∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ），又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（ 等量代换 ），∴AB∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠BAC+ ∠AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝ 110° ．【分析】根据平行线的性质求出∠2＝∠3，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出AB∥DG，根据平行线的性质得出∠BAC+∠AGD＝180°，再代入求出答案即可．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠AGD，两直线平行，同旁内角互补，110°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．19．（鹤城区期末）如图，E，G是分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行，即可判断AD与EF的位置关系；（2）结合（1）根据角平分线定义可得∠ADC＝2∠1＝70°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】解：（1）AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠1＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°，∵AD∥EF，∴∠EFB＝∠ADB＝110°，∵∠BEF＝180°﹣∠2＝35°，∴∠B＝180°﹣∠EFB﹣∠BEF＝180°﹣110°﹣35°＝35°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．20．（拱墅区月考）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．21．（奉化区校级期末）如图，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，延长CP交AB于点Q，且∠PBC+∠PCB＝90°．（1）求证：AB∥CD．（2）探究∠PBC与∠PQB的数量关系．【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可；（2）根据角平分线的定义解答即可．【解答】（1）证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC．∵CP平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠PCB，∴∠ABC+∠BCD＝2∠PBC+2∠PCB，又∵∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．（2）∵CP平分∠DCB，∴∠PCD＝∠PCB．∵AB∥CD，∴∠PCD＝∠PQB，∴∠PCB＝∠PQB．又∵∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠PBC+∠PQB＝90°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行．22．（奉化区校级期末）如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．（1）DF与AC平行吗？请说明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠EDF，求出∠1+∠EDF＝180°，再根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠EDF，根据角平分线定义求出∠FDB，再根据平行线的性质得出即可．【解答】解：（1）DF∥AC理由：∵DE∥AB，∴∠2＝∠EDF，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠EDF＝180°，∴DF∥AC；（2）∵∠1＝110°，DF∥AC，∴∠EDF＝70°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝∠EDF＝70°，又∵DF∥AC，∴∠C＝∠BDF＝70°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．23．（北仑区期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝50°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．（1）∠BOC的度数是 130° ，图1中与它互补的角是 ∠AOC ．（2）三角尺旋转的度数可表示为 15t度或15°t （用含t的代数式表示）：当t＝ 或 时，MO⊥OC．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，OM⊥OE，并说明理由？（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤t≤，是否存在某个时刻，使得∠COM与∠COE中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用邻补角的定义解答即可；（2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为40°或220°即可求得结论；（3）分两种情况：①当OM在OE左侧时，②当OM在OE右侧时，分别用含t的代数式表示出OM，OE旋转的度数，利用∠MOE＝90°列出方程，解方程即可求得结论；（4）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当OM在OC左侧时，②当OM在OC右侧时，分别用含t的代数式表示出∠COM与∠COE的度数，利用∠COM：∠COE＝2或∠COM：∠COE＝，列出方程，解方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°；∵∠AOC与∠BOC为邻补角，∴图1中于∠BOC互补的角为∠AOC．故答案为：130°；∠AOC；（2）∵三角尺旋转的度数等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间，∴三角尺旋转的度数可用15t度或15°t表示，故答案为：15t度或15°t；若MO⊥OC，则OM需旋转40°或220°，∴15t＝40或15t＝220，解得：t＝或t＝．故答案为：或t＝．（3）①如图①当OM在OE左侧时，∠BOE＝（130+5t）度，∠BOM＝15t度．∵OM⊥OE，∴∠MOE＝90°．由题意得：130+5t＝90+15t，解得：t＝4．②如图②当OM在OE右侧时，三角尺旋转的角度为15t度，直尺旋转的角度为5t度．∵OM⊥OE，∴∠MOE＝90°．由题意得：130+5t+90＝15t，解得：t＝22．综上所述，当t＝4或22时，OM⊥OE．（4）当OM在OC左侧时，（ⅰ）∠COM：∠COE＝2：1，如图，由题意得：2×5t＝130﹣15t，解得：．（ⅱ）∠COM：∠COE＝1：2，如图，由题意得：5t＝2（130﹣15t），解得：．②当OM在OC右侧时，（ⅰ）∠COM：∠COE＝1：2，如图，由题意得：15t＝2（15t﹣130），解得：．（ⅱ）∠COM：∠COE＝2：1，因为，所以不存在．∴综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍．【点评】本题主要考查了余角和补角的性质，角平分线的定义，垂直的性质，图象的旋转，由题意用含t的代数式表示出相应角度的值是解题的关键．24．（诸暨市期末）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．（1）如图1，∠BAH＝40°，则：①∠FDB＝ 50 °；②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝ 15 °．（2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝ °（用含n的式子表示）．【分析】（1）过点B作BN∥FG，得∠FDB+∠BAH＝90°，①由∠BAH＝40°求∠FDB；②由角平分线的定义求∠IDG和∠IAK，记AI与直线FG交于点M，由△DMI的外角性质求∠I；（2）设∠FDB＝α，利用（1）中的思路用含有α的式子表示角，根据∠I的大小列出关于α的方程，解方程求出∠FDB的大小；（3）根据比例关系和（2）中思路表示出∠I．【解答】解：（1）①如图，过点B作BN∥AG，则BN∥HK，∴∠FDB＝∠DBN，∠BAH＝∠ABN，∴∠FDB+∠HAB＝∠DBA＝90°，∵∠BAH＝40°，∴∠FDB＝50°，故答案为：50°；②记AI与直线FG的交点为M，∵∠FDB＝50°，∴∠CDG＝∠FDB＝50°，∵∠BAH＝40°，∠BAC＝60°，∴∠CAK＝80°，∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，∴∠IDG＝25°，∠IAK＝40°，∵FG∥HK，∴∠DMG＝∠IAK＝40°，∵∠DMG是△DMI的外角，∴∠I＝∠DMG﹣∠IDG＝40°﹣25°＝15°，故答案为：15°；（2）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∵∠BAC＝60°，∴∠CAK＝α+30°，∵点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，∴∠IDG＝，∠IAK＝（α+30°），∵FG∥HK，∴∠DMA＝∠IAK＝（α+30°），∵∠I＝35°，∴35°+＝（α+30°），∴α＝50°；（3）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∠CAK＝α+30°，∵∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，∴∠IDG＝，∠IAK＝，∵FG∥HK，∴∠DMA＝∠IAK＝，∴∠I＝∠DMA﹣∠IDG＝﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，正确理解并应用角平分线的定义和n等分线的定义是解决本题的关键．25．（嵊州市期末）如图，直线AB、CD被DQ所截，AB∥CD，∠BDC＝50°，点E是直线CD上的动点（点E与点D不重合），连结BE，作∠ABE的角平分线交直线CD于点F．（1）如图1，点E在点D左侧，若∠DBE＝20°，求∠EBF的度数．（2）射线BG平分∠EBQ．①如图2，点E在点D左侧，求∠FBG的度数．②若F′是BF反向延长线上的一点，求∠F′BG的度数．【分析】（1）由AB∥CD，∠BDC＝50°，得∠ABD＝180°﹣∠BDC＝130°，故∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝110°．由BF平分∠ABE，得∠EBF＝＝55°．（2）①由又∵BF平分∠ABE，得∠EBF＝．由BG平分∠EBQ，得∠GBE＝，进而求得∠FBG＝∠GBE﹣∠EBF＝25°．②如图2，∠F′BG＝180°﹣∠FBG＝155°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠BDC＝50°，∴∠ABD+∠BDC＝180°．∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝180°﹣50°＝130°．∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝130°﹣20°＝110°．又∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝＝55°．（2）①由（1）知：∠ABD＝130°．∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝130°﹣∠DBE．又∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝．∵BG平分∠EBQ，∴∠GBE＝．∴∠FBG＝∠GBE﹣∠EBF＝＝25°．②如图2．由①得：∠FBG＝25°．∴∠F′BG＝180°﹣∠FBG＝180°﹣25°＝155°．【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及平角的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及平角的性质是解决本题的关键．题组C 培优拔尖练一．解答题（共8小题）1．（罗湖区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM＝90° ；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1＝180°，再由角的互余关系即可得出结果；（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：则PG∥CD，∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，∵∠1+∠2＝∠P＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）证明：如图②所示：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHF＝180°，∵∠P＝90°，∴∠BHF+∠2＝90°，∵∠2＝∠AEM，∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）如图③所示：∵∠P＝90°，∴∠PHE＝90°﹣∠FEB＝90°﹣15°＝75°，∵AB∥CD，∴∠PFC＝∠PHE＝75°，∵∠PFC＝∠N+∠DON，∴∠N＝75°﹣30°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．2．（临邑县期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．（河北区期末）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）试说明：AB∥CD；（2）若∠2＝35°，求∠BFC的度数．【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．（2）已知∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°，那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系，由邻补角的定义求得∠BFC的度数．【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）解：（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠FDE；∵∠1+∠2＝90°，∴∠BED＝∠DEF＝90°；∴∠3+∠FDE＝90°；∴∠2+∠3＝90°．∵∠2＝35°，∴∠3＝55°，∴∠BFC＝180°﹣55°＝125°．【点评】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及平行线的判定，难度不大．解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．4．（饶平县校级期末）如图，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE．【分析】（1）由平行线的性质求得∠BDC＝∠1＝35°，然后由邻补角的定义求得∠2的度数即可；（2）由平行线的性质可知：∠A+∠ADC＝180°，然后由∵∠A＝∠C，再证得∠C+∠ADC＝180°，从而可证得BC∥AD；（3）由AE∥CF可证明∠BDF＝∠DBE，由BC∥AD，可证明∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义可知，∠ADB＝∠BDF，从而可证明∠DBC＝∠EBD．【解答】解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC＝∠1＝35°，又∵∠2+∠BDC＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；（2）BC∥AD．理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠C+∠ADC＝180°，∴BC∥AD．（3）∵AE∥CF，∴∠BDF＝∠DBE．∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠DBC．∵AD平分∠BDF，∴∠ADB＝∠BDF，∴∠DBC＝∠EBD．∴BC平分∠DBE．【点评】本题主要考查的是平行线的性质的应用，掌握平行线的性质是解题的关键．5．（九龙坡区期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ∠BME＝∠MEN﹣∠END ；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ∠BMF＝∠MFN+∠FND ；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．6．（越城区期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）利用（1）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是 ∠P＝2∠P1 ．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是 140° ．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）①结论：∠P＝2∠P1；理由：由（1）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，∴∠P＝2∠P1．故答案为：∠P＝2∠P1；②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP）＝180°﹣（∠DAP+∠FBP）＝180°﹣∠APB＝180°﹣80°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．7．（奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC．【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC；（3）∠AKC＝∠APC．理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．8．（金华期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC、CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B＝60°，∠C＝85°，∠D＝25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C＝∠D＝25°，调整线段AB、BC使得AB∥CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C＝85°，∠D＝25°，AB∥DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【解答】解：（1）AB∥DE，理由是：如图2，过点C作CF∥AB，∴∠B＝∠BCF＝60°，∵∠BCD＝85°，∴∠CDF＝25°，∵∠D＝25°，∴∠D＝∠DCF＝25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如图3，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD＝25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣25°＝155°；（3）如图2，由（1）得：∠B＝85°﹣25°＝60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD＝∠D＝25°，∵∠BCD＝85°，∴∠BCF＝85°﹣25°＝60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∴∠B＝120°；如图6，∵∠C＝85°，∠D＝25°，∴∠CFD＝180°﹣85°﹣25°＝70°，∵AB∥DE，∴∠B＝∠CFD＝70°，如图7，同理得：∠B＝25°+85°＝110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算． 如图，∠A+∠D＝180°，则∠DCE＝∠B．完成下面的说理过程．解：已知∠A+∠D＝180°，根据（同旁内角互补，两直线平行），得AB∥CD又根据（※）得∠DCE＝∠B如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．
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