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2024七年级数学下册第01讲平行与三线八角核心考点讲与练试题（附解析浙教版）
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这是一份2024七年级数学下册第01讲平行与三线八角核心考点讲与练试题（附解析浙教版），共25页。
第01讲平行与三线八角（核心考点讲与练）一、平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.二、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释： (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．三、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 考点一：平行线【例题1】（余姚市月考）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【考点】相交线；垂线；平行线．版权所有【专题】推理能力．【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式训练1】（桐乡市期中）下列说法正确的是（ ）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行 C．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直 D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等【考点】平行线．版权所有【分析】A、B根据平行线的性质定理即可作出判断；C、根据已知条件可以判定这两条直线平行，则它们的角平分线必互相垂直；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【解答】解：A、两条被截直线平行时，内错角相等，故本选项错误；B、如果两条相互平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，故本选项错误；C、如果同旁内角互补，那么这个角的两条边相互平行，则它们的角平分线必互相垂直，故本选项正确；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．【变式训练2】（覃塘区期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（ ）A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定【考点】相交线；平行线．版权所有【专题】推理填空题．【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系． 故选：A．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式训练3】如图，在立方体中和AB平行的棱有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】认识立体图形；平行线．版权所有【分析】根据平行的定义，结合图形直接找出和棱AB平行的棱即可．【解答】解：由图可知，和棱AB平行的棱有A1B1、C1D1、CD，共3条．故选：C．【点评】主要考查直正方体的概念和特性：在同一平面内，两直线的位置关系是平行和相交．【变式训练4】平面上有10条直线，其中有4条直线是互相平行，那么这10条直线最多将平面分成 50 个部分．【考点】平行线．版权所有【分析】先计算出6条不平行的直线所能将平面分成的部分，然后再计算加入第一条平行线所增加的平面数量，从而可得出第二、第三、第四条加上后的总数量．【解答】解：6条不平行的直线最多可将平面分成2+2+3+4+5+6＝22个部分，加入第一条平行线后，它与前面的6条直线共有6个交点，它被分成7段，每一段将原有的部分一分为二，因此增加了7个部分，同理每增加一条平行线就增加7个部分，故这10条直线最多将平面分成22+7×4＝50．故答案为50．【点评】本题考查直线相交所产生平面个数的问题，有一定难度，注意先计算6条不平行的直线所分成的平面数量．考点二：同位角、内错角、同旁内角【例题2】（萧山区月考）如图，∠1是同位角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角的定义即可求出答案．【解答】解：两条直线BE，CD被第三条直线AC所截，在截线AC的同旁，被截两直线BE，CD的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．即∠3是∠1的同位角．故选：B．【点评】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟练理解同位角的定义，本题属于基础题型．【变式训练1】（上城区期末）如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据内错角的边构成“Z”形判断即可．【解答】解：由图可知：能看作∠1的内错角的是∠3，故选：B．【点评】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．【变式训练2】（江北区期中）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角的定义逐一判断即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；B、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；C、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．【变式训练3】（鹿城区校级期中）如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成（ ）A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角【考点】角的概念；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】两个拇指所在的两条直线被两个食指所在的直线所截，并且形成的两角位于两直线之间且在截线同侧，因而构成的一对角可看成是同旁内角．【解答】解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，两个拇指所在的两条直线被两个食指所在的直线所截，并且形成的两角位于两直线之间且在截线同侧，因而构成的一对角可看成是同旁内角．故选：B．【点评】本题考查了同旁内角，正确记忆同旁内角的定义是解决本题的关键．【变式训练4】（李沧区期末）如图，∠1和∠2属于同位角的有（ ）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②⑤【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角定义进行解答即可．【解答】解：①、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；②、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；③、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；④、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；⑤、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角定义．【变式训练5】（拱墅区期中）如图，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角定义进行解答即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；B、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；C、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．【变式训练6】（奉化区校级期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）A．两点确定一条直线 B．同角（或等角）的余角相等 C．同位角相等 D．两点之间的所有连线中，线段最短【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；余角和补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】依据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．两点确定一条直线，说法正确；B．同角（或等角）的余角相等，说法正确；C．同位角不一定相等，故本选项说法错误；D．两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；故选：C．【点评】本题主要考查了据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【变式训练7】（西湖区校级期中）如图，下列判断错误的是（ ）A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠3和∠4是内错角 C．∠5和∠6是同旁内角 D．∠5和∠8是同位角【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义进行判断即可．【解答】解：∠1与∠2是直线AC，直线DE，被直线AD所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；∠3与∠4是直线BD，直线AE，被直线DE所截的内错角，因此选项B不符合题意；∠5与∠6既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项C符合题意；∠5与∠8是直线AB，直线CE，被直线DE所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．【变式训练8】（南浔区期末）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，图中的∠1与∠2是（ ）A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角【考点】对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．【解答】解：由图可得，∠1与∠2是内错角，故选：C．【点评】本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【变式训练9】（乐清市期末）如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【解答】解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠5，故选：D．【点评】本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．类型一、平行线的定义及表示【例题3】下列说法正确的是 ( ) A．不相交的两条线段是平行线. B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线. D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D 【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．类型二、平行公理及推论【例题4】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．【变式训练】下列命题中正确的有（ ）①相等的角是对顶角；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③同位角相等； ④邻补角的平分线互相垂直． A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个【答案】C类型三、“三线八角”模型【例题5】(1)图3中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1) EF，CD； AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型四、同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题6】如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？ (3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.【变式训练】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【答案】C解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．【例题7】如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．【答案与解析】解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.【变式训练】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.【例题8】分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．【变式训练】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.类型五、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系【例题9】如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角．每组中两角的大小均不确定．(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（对顶角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互补.综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．【变式训练1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2【答案】D【变式训练2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（ ）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C （提示：②④正确）．题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．如图，以下说法正确的是（ ）A．∠1和∠2是内错角 B．∠2和∠3是同位角 C．∠1和∠3是内错角 D．∠2和∠4是同旁内角【分析】依据同位角、内错角以及同旁内角的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．∠1和∠2不是内错角，是同位角，故本选项错误；B．∠2和∠3不是同位角，是对顶角，故本选项错误；C．∠1和∠3是内错角，故本选项正确；D．∠2和∠4不是同旁内角，是邻补角，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．2．如图，∠1和∠2不是同旁内角的是（ ）A． B． C． D．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的概念可得答案．【解答】解：选项A、B、C中，∠1与∠2在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；选项D中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．故选：D．【点评】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．3．如图，∠B的内错角是（ ）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【分析】利用内错角定义可得答案．【解答】解：A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；D、∠B与∠4是不是内错角，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“Z“形．4．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【分析】利用同位角定义进行解答即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；B、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；C、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．5．如图，直线a、b被直线c所截，与∠1是同位角的（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．【解答】解：A、∠2与∠1是同位角，故本选项符合题意；B、∠3与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；C、∠4与∠1是同位角，故本选项不符合题意；D、∠5与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键．6．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．7．下列说法正确的是（ ）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行 C．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直 D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等【分析】A、B根据平行线的性质定理即可作出判断；C、根据已知条件可以判定这两条直线平行，则它们的角平分线必互相垂直；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【解答】解：A、两条被截直线平行时，内错角相等，故本选项错误；B、如果两条相互平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，故本选项错误；C、如果同旁内角互补，那么这个角的两条边相互平行，则它们的角平分线必互相垂直，故本选项正确；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．二．填空题（共4小题）8．如图，∠E的同位角有 2 个．【分析】根据同位角的定义解答即可．【解答】解：根据同位角的定义可得：∠BAD和∠E是同位角；∠BAC和∠E是同位角；∴∠E的同位角有2个．故答案为：2．【点评】此题考查了同位角的概念，熟记概念是解题的基础．9．如图填空．（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与 ∠2 是同位角．（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与 ∠4 是内错角．（3）∠1 与∠3是AB和AF被 ED 所截构成的 内错 角．（4）∠2与∠4是 AB 和 AF 被BC所截构成的 同位 角．【分析】根据同位角、内错角的定义进行分析解答即可，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条线的同侧，具有这样位置关系的一对角叫做同位角．【解答】解：（1）如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，（3）∠1 与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，（4）∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．故答案为∠2；∠4；ED，内错；AB，AF，同位．【点评】本题主要考查内错角、同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．10．平面上两条直线的位置关系是 相交 或 平行 ．【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．【解答】解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．故填相交、平行．【点评】本题主要考查平面内两直线的位置关系，注意垂直是两直线相交的特例．11．如图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线： AB∥CD，AD∥BC ．【分析】根据平行线的符号表示即可．【解答】解：图中AB∥CD，AD∥BC，故答案为：AB∥CD，AD∥BC．【点评】此题考查平行线的问题，关键是平行线的符号用“∥”表示．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/1/14 7:42:23；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．如图，直线DE截AB，AC，其中内错角有（ ）对．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如果两条直线被第三条直线所截，那么位于截线的两侧，在两条被截直线之间的两个角是内错角．两条直线被第三条直线所截，可形成两对内错角．【解答】解：直线DE截AB、AC，形成两对内错角，直线AB截AC，DE，形成一对内错角；直线AC截AB，DE，形成一对内错角．综上，共形成4对内错角．故选：D．【点评】本题通过化复杂图形为基本图形，可以正确找出内错角的对数．2．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．A．4 B．8 C．12 D．16【分析】观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论．【解答】解：l1、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8＝16对．故选：D．【点评】在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．3．四条直线两两相交，且任意三条不相交于同一点，则四条直线共可构成的同位角有（ ）A．24组 B．48组 C．12组 D．16组【分析】每条直线都与另3条直线相交，有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段．每条线段各有4组同位角，可知同位角的总组数．【解答】解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段．又∵每条线段各有4组同位角，∴共有同位角12×4＝48组．故选：B．【点评】本题考查了同位角的定义．注意在截线的同旁找同位角．要结合图形，熟记同位角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有4组同位角．二．填空题（共3小题）4．如图两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是 20° ．【分析】设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝8x°，根据邻补角互补可得方程，求解即可．【解答】解：如图，设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝4∠3＝8x°，∵∠1+∠2＝180°，∴x°+8x°＝180°，解得：x＝20，∴∠1＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角以及角的计算，解决问题的关键是掌握：内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．5．图中与∠1构成同位角的个数有 3 个．【分析】根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．【解答】解：如图，由同位角的定义知，能与∠1构成同位角的角有∠2、∠3、∠4，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查同位角的定义，需要熟练掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解答此题的关键．6．如图．∠1与∠C是一对内错角，∠1与∠3是一对 同位 角．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解．【解答】解：如图：∠1与∠3是直线AC与AB被直线a所截形成的一对同位角．故答案为：同位角．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．三．解答题（共4小题）7．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：（1）过点A画BC的垂线，垂足为E；（2）画∠ABC的平分线，交AC于F；（3）过E画AB的平行线，交AC于点G；（4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．【分析】（1）借用量角器，测出∠AEC＝90°即可；（2）利用角平分线的作法作出∠ABC的平分线；（3）利用平行线的性质：同位角相等，作图；（4）借用量角器，测出∠AHC＝90°即可．【解答】解：（1）作法利用量角器测得∠AEC＝90°，AE即为所求；（2）作法：①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N．②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点P③作射线BP，则射线BP为角ABC的角平分线；④射线BP交AC于点F；（3）作法：用量角器测得∠ABC＝∠GEC，EG即为所求；（4）作法：利用量角器测得∠BHC＝90°，CH即为所求．【点评】本题主要考查了平行线、垂线及角平分线的画法．在解答此题时，用到的作图工具有圆规、量角器及直尺．8．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．从画出的图形中归纳规律即可得到答案．【解答】解：（1）如图1所示；交点共有6个，（2）如图2，3．（3）当n＝6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，当n＝21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，当n＝15时，如图6，（4）当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多．【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律．9．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．（2）根据平行线的性质解答即可．【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；（2）∵AB∥CD，∴∠BOE＝∠1＝115°，∵∠BOM＝145°，∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，∴往上弯了30°．【点评】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．10．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系进而求出∠3的度数．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，∵∠1+∠3＝180°，∴x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3＝36°．【点评】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．
第01讲平行与三线八角（核心考点讲与练）一、平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.二、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释： (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．三、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 考点一：平行线【例题1】（余姚市月考）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【考点】相交线；垂线；平行线．版权所有【专题】推理能力．【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式训练1】（桐乡市期中）下列说法正确的是（ ）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行 C．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直 D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等【考点】平行线．版权所有【分析】A、B根据平行线的性质定理即可作出判断；C、根据已知条件可以判定这两条直线平行，则它们的角平分线必互相垂直；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【解答】解：A、两条被截直线平行时，内错角相等，故本选项错误；B、如果两条相互平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，故本选项错误；C、如果同旁内角互补，那么这个角的两条边相互平行，则它们的角平分线必互相垂直，故本选项正确；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．【变式训练2】（覃塘区期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（ ）A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定【考点】相交线；平行线．版权所有【专题】推理填空题．【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系． 故选：A．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式训练3】如图，在立方体中和AB平行的棱有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】认识立体图形；平行线．版权所有【分析】根据平行的定义，结合图形直接找出和棱AB平行的棱即可．【解答】解：由图可知，和棱AB平行的棱有A1B1、C1D1、CD，共3条．故选：C．【点评】主要考查直正方体的概念和特性：在同一平面内，两直线的位置关系是平行和相交．【变式训练4】平面上有10条直线，其中有4条直线是互相平行，那么这10条直线最多将平面分成 50 个部分．【考点】平行线．版权所有【分析】先计算出6条不平行的直线所能将平面分成的部分，然后再计算加入第一条平行线所增加的平面数量，从而可得出第二、第三、第四条加上后的总数量．【解答】解：6条不平行的直线最多可将平面分成2+2+3+4+5+6＝22个部分，加入第一条平行线后，它与前面的6条直线共有6个交点，它被分成7段，每一段将原有的部分一分为二，因此增加了7个部分，同理每增加一条平行线就增加7个部分，故这10条直线最多将平面分成22+7×4＝50．故答案为50．【点评】本题考查直线相交所产生平面个数的问题，有一定难度，注意先计算6条不平行的直线所分成的平面数量．考点二：同位角、内错角、同旁内角【例题2】（萧山区月考）如图，∠1是同位角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角的定义即可求出答案．【解答】解：两条直线BE，CD被第三条直线AC所截，在截线AC的同旁，被截两直线BE，CD的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．即∠3是∠1的同位角．故选：B．【点评】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟练理解同位角的定义，本题属于基础题型．【变式训练1】（上城区期末）如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据内错角的边构成“Z”形判断即可．【解答】解：由图可知：能看作∠1的内错角的是∠3，故选：B．【点评】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．【变式训练2】（江北区期中）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角的定义逐一判断即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；B、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；C、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．【变式训练3】（鹿城区校级期中）如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成（ ）A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角【考点】角的概念；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】两个拇指所在的两条直线被两个食指所在的直线所截，并且形成的两角位于两直线之间且在截线同侧，因而构成的一对角可看成是同旁内角．【解答】解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，两个拇指所在的两条直线被两个食指所在的直线所截，并且形成的两角位于两直线之间且在截线同侧，因而构成的一对角可看成是同旁内角．故选：B．【点评】本题考查了同旁内角，正确记忆同旁内角的定义是解决本题的关键．【变式训练4】（李沧区期末）如图，∠1和∠2属于同位角的有（ ）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②⑤【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角定义进行解答即可．【解答】解：①、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；②、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；③、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；④、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；⑤、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角定义．【变式训练5】（拱墅区期中）如图，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据同位角定义进行解答即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；B、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；C、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．【变式训练6】（奉化区校级期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）A．两点确定一条直线 B．同角（或等角）的余角相等 C．同位角相等 D．两点之间的所有连线中，线段最短【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；余角和补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】依据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．两点确定一条直线，说法正确；B．同角（或等角）的余角相等，说法正确；C．同位角不一定相等，故本选项说法错误；D．两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；故选：C．【点评】本题主要考查了据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【变式训练7】（西湖区校级期中）如图，下列判断错误的是（ ）A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠3和∠4是内错角 C．∠5和∠6是同旁内角 D．∠5和∠8是同位角【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义进行判断即可．【解答】解：∠1与∠2是直线AC，直线DE，被直线AD所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；∠3与∠4是直线BD，直线AE，被直线DE所截的内错角，因此选项B不符合题意；∠5与∠6既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项C符合题意；∠5与∠8是直线AB，直线CE，被直线DE所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．【变式训练8】（南浔区期末）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，图中的∠1与∠2是（ ）A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角【考点】对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．【解答】解：由图可得，∠1与∠2是内错角，故选：C．【点评】本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【变式训练9】（乐清市期末）如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【解答】解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠5，故选：D．【点评】本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．类型一、平行线的定义及表示【例题3】下列说法正确的是 ( ) A．不相交的两条线段是平行线. B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线. D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D 【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．类型二、平行公理及推论【例题4】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．【变式训练】下列命题中正确的有（ ）①相等的角是对顶角；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③同位角相等； ④邻补角的平分线互相垂直． A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个【答案】C类型三、“三线八角”模型【例题5】(1)图3中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1) EF，CD； AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型四、同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题6】如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？ (3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.【变式训练】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【答案】C解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．【例题7】如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．【答案与解析】解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.【变式训练】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.【例题8】分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．【变式训练】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.类型五、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系【例题9】如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角．每组中两角的大小均不确定．(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（对顶角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互补.综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．【变式训练1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2【答案】D【变式训练2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（ ）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C （提示：②④正确）．题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．如图，以下说法正确的是（ ）A．∠1和∠2是内错角 B．∠2和∠3是同位角 C．∠1和∠3是内错角 D．∠2和∠4是同旁内角【分析】依据同位角、内错角以及同旁内角的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．∠1和∠2不是内错角，是同位角，故本选项错误；B．∠2和∠3不是同位角，是对顶角，故本选项错误；C．∠1和∠3是内错角，故本选项正确；D．∠2和∠4不是同旁内角，是邻补角，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．2．如图，∠1和∠2不是同旁内角的是（ ）A． B． C． D．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的概念可得答案．【解答】解：选项A、B、C中，∠1与∠2在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；选项D中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．故选：D．【点评】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．3．如图，∠B的内错角是（ ）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【分析】利用内错角定义可得答案．【解答】解：A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；D、∠B与∠4是不是内错角，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“Z“形．4．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【分析】利用同位角定义进行解答即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；B、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；C、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．5．如图，直线a、b被直线c所截，与∠1是同位角的（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．【解答】解：A、∠2与∠1是同位角，故本选项符合题意；B、∠3与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；C、∠4与∠1是同位角，故本选项不符合题意；D、∠5与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键．6．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．7．下列说法正确的是（ ）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行 C．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直 D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等【分析】A、B根据平行线的性质定理即可作出判断；C、根据已知条件可以判定这两条直线平行，则它们的角平分线必互相垂直；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【解答】解：A、两条被截直线平行时，内错角相等，故本选项错误；B、如果两条相互平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，故本选项错误；C、如果同旁内角互补，那么这个角的两条边相互平行，则它们的角平分线必互相垂直，故本选项正确；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．二．填空题（共4小题）8．如图，∠E的同位角有 2 个．【分析】根据同位角的定义解答即可．【解答】解：根据同位角的定义可得：∠BAD和∠E是同位角；∠BAC和∠E是同位角；∴∠E的同位角有2个．故答案为：2．【点评】此题考查了同位角的概念，熟记概念是解题的基础．9．如图填空．（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与 ∠2 是同位角．（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与 ∠4 是内错角．（3）∠1 与∠3是AB和AF被 ED 所截构成的 内错 角．（4）∠2与∠4是 AB 和 AF 被BC所截构成的 同位 角．【分析】根据同位角、内错角的定义进行分析解答即可，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条线的同侧，具有这样位置关系的一对角叫做同位角．【解答】解：（1）如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，（3）∠1 与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，（4）∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．故答案为∠2；∠4；ED，内错；AB，AF，同位．【点评】本题主要考查内错角、同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．10．平面上两条直线的位置关系是 相交 或 平行 ．【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．【解答】解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．故填相交、平行．【点评】本题主要考查平面内两直线的位置关系，注意垂直是两直线相交的特例．11．如图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线： AB∥CD，AD∥BC ．【分析】根据平行线的符号表示即可．【解答】解：图中AB∥CD，AD∥BC，故答案为：AB∥CD，AD∥BC．【点评】此题考查平行线的问题，关键是平行线的符号用“∥”表示．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/1/14 7:42:23；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．如图，直线DE截AB，AC，其中内错角有（ ）对．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如果两条直线被第三条直线所截，那么位于截线的两侧，在两条被截直线之间的两个角是内错角．两条直线被第三条直线所截，可形成两对内错角．【解答】解：直线DE截AB、AC，形成两对内错角，直线AB截AC，DE，形成一对内错角；直线AC截AB，DE，形成一对内错角．综上，共形成4对内错角．故选：D．【点评】本题通过化复杂图形为基本图形，可以正确找出内错角的对数．2．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．A．4 B．8 C．12 D．16【分析】观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论．【解答】解：l1、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8＝16对．故选：D．【点评】在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．3．四条直线两两相交，且任意三条不相交于同一点，则四条直线共可构成的同位角有（ ）A．24组 B．48组 C．12组 D．16组【分析】每条直线都与另3条直线相交，有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段．每条线段各有4组同位角，可知同位角的总组数．【解答】解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段．又∵每条线段各有4组同位角，∴共有同位角12×4＝48组．故选：B．【点评】本题考查了同位角的定义．注意在截线的同旁找同位角．要结合图形，熟记同位角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有4组同位角．二．填空题（共3小题）4．如图两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是 20° ．【分析】设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝8x°，根据邻补角互补可得方程，求解即可．【解答】解：如图，设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝4∠3＝8x°，∵∠1+∠2＝180°，∴x°+8x°＝180°，解得：x＝20，∴∠1＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角以及角的计算，解决问题的关键是掌握：内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．5．图中与∠1构成同位角的个数有 3 个．【分析】根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．【解答】解：如图，由同位角的定义知，能与∠1构成同位角的角有∠2、∠3、∠4，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查同位角的定义，需要熟练掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解答此题的关键．6．如图．∠1与∠C是一对内错角，∠1与∠3是一对 同位 角．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解．【解答】解：如图：∠1与∠3是直线AC与AB被直线a所截形成的一对同位角．故答案为：同位角．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．三．解答题（共4小题）7．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：（1）过点A画BC的垂线，垂足为E；（2）画∠ABC的平分线，交AC于F；（3）过E画AB的平行线，交AC于点G；（4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．【分析】（1）借用量角器，测出∠AEC＝90°即可；（2）利用角平分线的作法作出∠ABC的平分线；（3）利用平行线的性质：同位角相等，作图；（4）借用量角器，测出∠AHC＝90°即可．【解答】解：（1）作法利用量角器测得∠AEC＝90°，AE即为所求；（2）作法：①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N．②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点P③作射线BP，则射线BP为角ABC的角平分线；④射线BP交AC于点F；（3）作法：用量角器测得∠ABC＝∠GEC，EG即为所求；（4）作法：利用量角器测得∠BHC＝90°，CH即为所求．【点评】本题主要考查了平行线、垂线及角平分线的画法．在解答此题时，用到的作图工具有圆规、量角器及直尺．8．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．从画出的图形中归纳规律即可得到答案．【解答】解：（1）如图1所示；交点共有6个，（2）如图2，3．（3）当n＝6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，当n＝21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，当n＝15时，如图6，（4）当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多．【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律．9．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．（2）根据平行线的性质解答即可．【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；（2）∵AB∥CD，∴∠BOE＝∠1＝115°，∵∠BOM＝145°，∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，∴往上弯了30°．【点评】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．10．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系进而求出∠3的度数．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，∵∠1+∠3＝180°，∴x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3＝36°．【点评】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．
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