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2024七年级数学下册第1章平行线易错30题专练试题（附解析浙教版）
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这是一份2024七年级数学下册第1章平行线易错30题专练试题（附解析浙教版），共26页。
第1章平行线（易错30题专练）一．选择题（共10小题）1．（温州期末）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（ ）A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角【考点】对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角判断即可．【解答】解：∠1和∠2是同位角，故选：A．2．（丽水期末）如图，下列各角与∠A是同位角的是（ ）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此解答即可．【解答】解：直线AB，DE被直线AC所截而成的角中，∠A与∠3在两直线的同侧，并且在截线的同旁，所以∠A的同位角是∠3．故选：C．3．（拱墅区期末）如图，说法正确的是（ ）A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是同旁内角 C．∠1和∠3是内错角 D．∠1和∠3是同旁内角【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角就是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的角；同旁内角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间位置的角，可得答案．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，原说法正确，故此选项符合题意；B、∠1和∠2是同位角，不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；C、∠1和∠3不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；D、∠1和∠3不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：A．4．（奉化区校级期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）A．两点确定一条直线 B．同角（或等角）的余角相等 C．同位角相等 D．两点之间的所有连线中，线段最短【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；余角和补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】依据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．两点确定一条直线，说法正确；B．同角（或等角）的余角相等，说法正确；C．同位角不一定相等，故本选项说法错误；D．两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；故选：C．5．（荔湾区期末）如图，下列选项中与∠A互为同旁内角的是（ ）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可．【解答】解：A、∠1和∠A是同旁内角，故本选项符合题意；B、∠2和∠A是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；C、∠3和∠A不是同旁内角，故本选项不符合题意；D、∠4和∠A是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意．故选：A．6．（肇源县期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定．版权所有【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．故选：C．7．（萧山区期中）如图所示，下列条件能判断a∥b的有（ ）A．∠1+∠2＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2+∠3＝180° D．∠1＝∠3【考点】平行线的判定．版权所有【分析】根据平行线的判定即可判断．【解答】解：A、∵∠1+∠2＝180°，不能判定a∥b，错误；B、∵∠2＝∠4，∴a∥b，正确；C、∵∠2+∠3＝180°，不能判定a∥b，错误；D、∵∠1＝∠3，不能判定a∥b，错误；故选：B．8．（南浔区期末）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝50°时，则∠2的度数为（ ）A．25° B．40° C．50° D．130°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：如图：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直尺两边互相平行，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．9．（浦江县期末）如图，梯子的各条横档互相平行，若∠2＝80°，那么∠1＝（ ）A．80° B．100° C．60° D．120°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】由梯子的各条横档互相平行，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1＝∠3，再根据邻补角的定义可以求出∠1．【解答】解：∵梯子的各条横档互相平行，∴∠1＝∠3，∵∠2＝80°，∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠2＝100°，∴∠1＝100°．故选：B．10．（慈溪市期末）如图，若∠1＝89°，∠2＝91°，∠3＝88°，则∠4的度数是（ ）A．88° B．89° C．91° D．92°【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】由∠5＝∠1＝89°，∠2＝91°，可知∠5+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求得l3∥l4；根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4的度数．【解答】解：如图：∵∠5＝∠1＝89°，∠2＝91°，∴∠5+∠2＝180°，∴l3∥l4，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝88°，∴∠6＝92°，∴∠4＝∠6＝92°．故选：D．二．填空题（共10小题）11．（奉化区校级期末）如图所示的图形中，同位角有 对．【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．同位角的边构成“F”形．【解答】解：如图：∠CAG的同位角是∠DBG，∠EAG的同位角是∠FBG，∠CAG的同位角是∠FBG，∠EAG的同位角是∠DBG，∴图中同位角有4对．故答案为：4．12．（嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】延长BO，交CD于点M，根据平行线的性质得∠ABM＝∠BMC，然后根据三角形外角性质及平角定义可得∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，再由角平分线定义可得答案．【解答】解：延长BO，交CD于点M，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∵∠BOC＝∠BMC+∠OCM，∠OCM＝180°﹣∠OCD，∴∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，∵∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，∴∠ABM＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴100°＝2∠1+180°﹣2∠2，∴∠2﹣∠1＝40°．故答案为：40°．13．（诸暨市期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝65°，结合图形求得∠GFH的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，∴∠GFB＝∠FED＝65°．∵∠HFB＝25°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40°．14．（北仑区期末）在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t＝ 秒时，两块三角尺有一组边平行．【考点】一元一次方程的应用；平行线的判定；平行线的性质．版权所有【分析】①当AP∥CD时，②当AB∥PD时，③当AB∥CD时，④当AB∥CP时，⑤当AP∥CD时，分五种情况分别讨论．【解答】①当AP∥CD时，∠APD+∠D＝180°．∵∠D＝30°，∴∠APD＝150°．∴180°﹣5t＝150°．t＝6．②当AB∥PD时，∠A+∠APD＝180°．∵∠A＝45°，∴∠APD＝135°，∴180°﹣5t＝135°，t＝9．③当AB∥CD时，∠APD＝105°＝180°﹣5t，∴t＝15．④当AB∥CP时，∠CPB＝90°，∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，∴t＝33．⑤当AP∥CD时，∠C+∠APC＝180°，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，∴t＝42＞40（舍去）．故答案为：6，9，15，33．15．（丽水期末）如图，已知a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是 ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】由邻补角定义得出∠3＝70°，再由平行线的性质得出∠2＝∠3即可求解．【解答】解：如图：∵∠1＝110°，∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝70°．故答案为：70°．16．（萧山区期中）已知两个角∠1与∠2的两边分别平行，∠1比∠2的3倍少20度，则∠1的度数是 度．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．【解答】解：①当∠1＝∠2时，∵∠1＝3∠2﹣20°，∴∠1＝3∠1﹣20°，解得∠1＝10°；②当∠1+∠2＝180°时，∵∠1＝3∠2﹣20°，∴∠2+3∠2﹣20°＝180°，解得∠2＝50°，∴∠1＝180°﹣∠2＝130°；故答案为：10或130．17．（曲靖二模）如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝115°，则∠3＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据平行线的性质，可得∠4的度数，再根据三角形内外角的关系可得∠3的度数．【解答】解：如图：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝115°，∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝115°﹣50°＝65°．故答案为：65°．18．（奉化区校级期末）如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为 ．【考点】垂线；平行线的性质．版权所有【分析】先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【解答】解：过点B作BG∥DM，如图：∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．故答案为：105°．19．（奉化区校级期末）已知∠A与∠B（0°＜∠A＜180，0°＜∠B＜180°）的两边一边平行，另一边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为 °．【考点】垂线；平行线的性质．版权所有【分析】由平行线的性质，垂直的定义和角的和差分别求出∠A为锐角时为36°，钝角时为96°．【解答】解：若∠DAC是锐角时，过点C作FC∥AD，如图1所示：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠1+∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝90°，又∵FC∥AD，∴∠A＝∠1，又∵AD∥BE，∴FC∥BE，∴∠2＝∠B，∴∠A+∠B＝90°，又∵2∠A﹣∠B＝18°，∴∠A＝36°；若∠DAC是钝角时．过点C作FC∥AD，如图2所示：同理可得：∠1+∠2＝90°，∵CF∥AD，∴∠A+∠1＝180°，又∵AD∥BE，∴CF∥BE，∴∠2+∠B＝180°，∴∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠A+∠B＝270°，又∵2∠A﹣∠B＝18°，∴∠A＝96°；当∠DBC为钝角时，如图3，同理可得，∠B﹣∠A＝90°，而2∠A﹣∠B＝18°，解得∠A＝108°，综合所述：∠A的度数为36°或96°或108°，故答案为36或96或108．20．（奉化区校级期末）如图，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是 ．【考点】平移的性质．版权所有【分析】根据三角形的三边关系，及平移的基本性质可得．【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，∴四边形ACEB是平行四边形，BE＝AC，当B、D、E不共线时，∵AB∥CE，∠DCE＝∠AOC＝60°，∴AB＝CE，AB＝CD，∴CE＝CD，∴△CED是等边三角形，∴DE＝AB，根据三角形的三边关系知：BE+BD＝AC+BD＞DE＝AB，即AC+BD＞AB．当D、B、E共线时，AC+BD＝AB．故答案为：AC+BD≥AB．三．解答题（共10小题）21．（长兴县月考）如图，已知CF∥AG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠1＝32°，说明：AB∥CD．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵CF∥AG，∴∠FCH＝∠2＝58°，∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；（2）当∠1＝32°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝32°，∵∠1＝32°，∴∠1＝∠DCE，∴AB∥CD．22．（奉化区校级期末）如图，∠A+∠ABC＝180°，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F．（1）请说明AD∥BC的理由；（2）若∠ADB＝45°，求∠FEC的度数．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）由∠由旁内角A+∠ABC＝180°判定两直线AD∥BC；（2）根据平行线的判定与性质，等量代换求得∠FEC＝45°．【解答】解：如图所示：（1）AD∥BC的理由如下：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；（2）∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°，又∵BD⊥CD．EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠FEC，∴∠FEC＝45°．23．（罗湖区校级期末）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】先判定AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC＝∠BCQ，∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1＝∠2．24．（峡江县期末）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°．（1）求∠BCF的度数；（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；（2）求出∠1＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，求出∠ADE，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠B＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝60°，又∵FC⊥CD，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；（2）DE∥AB．证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，∴∠ADC＝120°，又∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝60°，又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠ADE，∴DE∥AB．25．（萧山区期中）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由．（2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）根据折叠的性质得∠AEB＝∠AEF，根据角平分线定义及垂直的定义得AE⊥EG，最后由平行的判定可得结论；（2）由余角的性质得∠AEB＝70°，然后根据平行线的性质可得答案．【解答】解：（1）平行，理由如下：∵长方形沿AE折叠，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于点G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．26．（慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：①∠BAD的度数；②射线BN过点A时的x的值．（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．【考点】相交线；平行线的性质．版权所有【分析】（1）①由CD∥EF，∠ABF＝60°，可得：∠ABF+∠BAD＝180°，故∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．那么，射线BN旋转的角度为120，故（5x）°＝120°．从而推断出x＝24．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB，故∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．那么，x＝20．（3）①由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°，故∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．由∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，故x＝29．②如图，由x＜24，射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，故∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．又由∠CBA＝∠BAP+∠BPA，故∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．【解答】解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝180°．∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．此时，射线AM在∠BAD的内部．由题意知：0≤x≤36．∵∠ABE+∠ABF＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．∴射线BN旋转的角度为120．∴（5x）°＝120°．∴x＝24（符合题意）．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．∴120°﹣5°•x＝1°•x．∴x＝20（符合题意）．（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．∴x＝29（符合题意）．②如图4，∵x＜24，∴射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．当x＝0时，P不存在．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°．∴∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．∵∠CBA＝∠BAP+∠BPA，∴∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．27．（拱墅区校级期中）已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并证明；（3）当∠EPF满足0°＜∠EPF＜180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150°或30 °．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝150°；当P点在EF的右侧时，可求得∠BEQ+∠QFD＝30°；②结合①可得∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），由∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF＝360°；可得EPF＝∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF，得出∠EPF＝2∠EQF．【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，∵PG∥AB，∴∠EPG＝∠AEP，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠FPG＝∠PFC，∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；过点P作PG∥AB，∵PG∥AB，∴∠EPG+∠AEP＝180°，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠FPG+∠PFC＝180°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，∵∠EPF＝60°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ＝PEB，∠QFD＝PFD，∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝300°＝150°；如图4，当P点在EF的右侧时，∵∠EPF＝60°，∴∠PEB+∠PFD＝60°，∴∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝60°＝30°；故答案为：150°或30；②由①可知：∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝（360°﹣∠EPF），∴∠EPF+2∠EQF＝360°；∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝∠EPF，∴∠EPF＝2∠EQF．综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF＝360°或∠EPF＝2∠EQF．28．（饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E＝∠END﹣∠BME ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝∠E．【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END＝∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP＝∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，∴∠E+2∠NPM＝180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F＝∠E，即．故答案为：．29．（罗湖区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；平行线的性质．版权所有【分析】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，∴a＝3，b＝1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（20+t）×1，解得t＝10；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，解得t＝85；③当120＜t＜160时，3t﹣360＝t+20，解得t＝190＞160，（不合题意）综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，而∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．30．（衢州期末）如图1，已知AB∥CD，点A是直线AB上一定点，取平面内一点P，连结PA，作∠PAB的角平分线交CD于点E，若∠APE＝3∠PAE，则称∠APE是∠PAE的3倍角．（1）如图1，点P在直线CD上，已知∠PAE＝36°，试说明∠APE是∠PAE的3倍角；（2）如图2，点P是直线AB和直线CD之间的一个点，已知∠APE是∠PAE的3倍角，且PE平分∠AEC，求∠PAE的度数；（3）在直线CD上方是否存在一点P，使得∠APE是∠PAE的3倍角，且CE平分∠AEP．若存在，求出∠APE的度数，若不存在，请说明理由．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得答案；（2）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠PAE＝∠EAB＝∠AEC＝2∠PEA，结合（1）可得答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，且直线AE平分∠PAB，∴∠PAB＝∠APC，∠APE＝180°﹣2∠PAE＝108°，∴∠APE＝3∠PAE，故∠APE是∠PAE的3倍角；（2）∵PE平分∠AEC，AB∥CD且AE平分∠PAB，∴∠PAE＝∠EAB＝∠AEC＝2∠PEA，∵∠APE是∠PAE的3倍角，∴∠PAE＝180°﹣3∠PAE﹣＝40°；（3）存在，∵CE平分∠AEP．AB∥CD且AE平分∠PAB，∴∠PAE＝∠EAB＝∠AEC＝∠PEC，∵∠APE＝180°﹣∠PAE﹣∠AEP＝180°﹣＝90°．
第1章平行线（易错30题专练）一．选择题（共10小题）1．（温州期末）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（ ）A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角【考点】对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角判断即可．【解答】解：∠1和∠2是同位角，故选：A．2．（丽水期末）如图，下列各角与∠A是同位角的是（ ）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此解答即可．【解答】解：直线AB，DE被直线AC所截而成的角中，∠A与∠3在两直线的同侧，并且在截线的同旁，所以∠A的同位角是∠3．故选：C．3．（拱墅区期末）如图，说法正确的是（ ）A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是同旁内角 C．∠1和∠3是内错角 D．∠1和∠3是同旁内角【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角就是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的角；同旁内角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间位置的角，可得答案．【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，原说法正确，故此选项符合题意；B、∠1和∠2是同位角，不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；C、∠1和∠3不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；D、∠1和∠3不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：A．4．（奉化区校级期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）A．两点确定一条直线 B．同角（或等角）的余角相等 C．同位角相等 D．两点之间的所有连线中，线段最短【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；余角和补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】依据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．两点确定一条直线，说法正确；B．同角（或等角）的余角相等，说法正确；C．同位角不一定相等，故本选项说法错误；D．两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；故选：C．5．（荔湾区期末）如图，下列选项中与∠A互为同旁内角的是（ ）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可．【解答】解：A、∠1和∠A是同旁内角，故本选项符合题意；B、∠2和∠A是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；C、∠3和∠A不是同旁内角，故本选项不符合题意；D、∠4和∠A是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意．故选：A．6．（肇源县期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定．版权所有【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．故选：C．7．（萧山区期中）如图所示，下列条件能判断a∥b的有（ ）A．∠1+∠2＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2+∠3＝180° D．∠1＝∠3【考点】平行线的判定．版权所有【分析】根据平行线的判定即可判断．【解答】解：A、∵∠1+∠2＝180°，不能判定a∥b，错误；B、∵∠2＝∠4，∴a∥b，正确；C、∵∠2+∠3＝180°，不能判定a∥b，错误；D、∵∠1＝∠3，不能判定a∥b，错误；故选：B．8．（南浔区期末）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝50°时，则∠2的度数为（ ）A．25° B．40° C．50° D．130°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：如图：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直尺两边互相平行，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．9．（浦江县期末）如图，梯子的各条横档互相平行，若∠2＝80°，那么∠1＝（ ）A．80° B．100° C．60° D．120°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】由梯子的各条横档互相平行，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1＝∠3，再根据邻补角的定义可以求出∠1．【解答】解：∵梯子的各条横档互相平行，∴∠1＝∠3，∵∠2＝80°，∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠2＝100°，∴∠1＝100°．故选：B．10．（慈溪市期末）如图，若∠1＝89°，∠2＝91°，∠3＝88°，则∠4的度数是（ ）A．88° B．89° C．91° D．92°【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】由∠5＝∠1＝89°，∠2＝91°，可知∠5+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求得l3∥l4；根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4的度数．【解答】解：如图：∵∠5＝∠1＝89°，∠2＝91°，∴∠5+∠2＝180°，∴l3∥l4，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝88°，∴∠6＝92°，∴∠4＝∠6＝92°．故选：D．二．填空题（共10小题）11．（奉化区校级期末）如图所示的图形中，同位角有 对．【考点】同位角、内错角、同旁内角．版权所有【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．同位角的边构成“F”形．【解答】解：如图：∠CAG的同位角是∠DBG，∠EAG的同位角是∠FBG，∠CAG的同位角是∠FBG，∠EAG的同位角是∠DBG，∴图中同位角有4对．故答案为：4．12．（嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】延长BO，交CD于点M，根据平行线的性质得∠ABM＝∠BMC，然后根据三角形外角性质及平角定义可得∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，再由角平分线定义可得答案．【解答】解：延长BO，交CD于点M，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∵∠BOC＝∠BMC+∠OCM，∠OCM＝180°﹣∠OCD，∴∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，∵∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，∴∠ABM＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴100°＝2∠1+180°﹣2∠2，∴∠2﹣∠1＝40°．故答案为：40°．13．（诸暨市期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝65°，结合图形求得∠GFH的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，∴∠GFB＝∠FED＝65°．∵∠HFB＝25°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40°．14．（北仑区期末）在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t＝ 秒时，两块三角尺有一组边平行．【考点】一元一次方程的应用；平行线的判定；平行线的性质．版权所有【分析】①当AP∥CD时，②当AB∥PD时，③当AB∥CD时，④当AB∥CP时，⑤当AP∥CD时，分五种情况分别讨论．【解答】①当AP∥CD时，∠APD+∠D＝180°．∵∠D＝30°，∴∠APD＝150°．∴180°﹣5t＝150°．t＝6．②当AB∥PD时，∠A+∠APD＝180°．∵∠A＝45°，∴∠APD＝135°，∴180°﹣5t＝135°，t＝9．③当AB∥CD时，∠APD＝105°＝180°﹣5t，∴t＝15．④当AB∥CP时，∠CPB＝90°，∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，∴t＝33．⑤当AP∥CD时，∠C+∠APC＝180°，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，∴t＝42＞40（舍去）．故答案为：6，9，15，33．15．（丽水期末）如图，已知a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是 ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】由邻补角定义得出∠3＝70°，再由平行线的性质得出∠2＝∠3即可求解．【解答】解：如图：∵∠1＝110°，∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝70°．故答案为：70°．16．（萧山区期中）已知两个角∠1与∠2的两边分别平行，∠1比∠2的3倍少20度，则∠1的度数是 度．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．【解答】解：①当∠1＝∠2时，∵∠1＝3∠2﹣20°，∴∠1＝3∠1﹣20°，解得∠1＝10°；②当∠1+∠2＝180°时，∵∠1＝3∠2﹣20°，∴∠2+3∠2﹣20°＝180°，解得∠2＝50°，∴∠1＝180°﹣∠2＝130°；故答案为：10或130．17．（曲靖二模）如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝115°，则∠3＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据平行线的性质，可得∠4的度数，再根据三角形内外角的关系可得∠3的度数．【解答】解：如图：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝115°，∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝115°﹣50°＝65°．故答案为：65°．18．（奉化区校级期末）如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为 ．【考点】垂线；平行线的性质．版权所有【分析】先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【解答】解：过点B作BG∥DM，如图：∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．故答案为：105°．19．（奉化区校级期末）已知∠A与∠B（0°＜∠A＜180，0°＜∠B＜180°）的两边一边平行，另一边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为 °．【考点】垂线；平行线的性质．版权所有【分析】由平行线的性质，垂直的定义和角的和差分别求出∠A为锐角时为36°，钝角时为96°．【解答】解：若∠DAC是锐角时，过点C作FC∥AD，如图1所示：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠1+∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝90°，又∵FC∥AD，∴∠A＝∠1，又∵AD∥BE，∴FC∥BE，∴∠2＝∠B，∴∠A+∠B＝90°，又∵2∠A﹣∠B＝18°，∴∠A＝36°；若∠DAC是钝角时．过点C作FC∥AD，如图2所示：同理可得：∠1+∠2＝90°，∵CF∥AD，∴∠A+∠1＝180°，又∵AD∥BE，∴CF∥BE，∴∠2+∠B＝180°，∴∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠A+∠B＝270°，又∵2∠A﹣∠B＝18°，∴∠A＝96°；当∠DBC为钝角时，如图3，同理可得，∠B﹣∠A＝90°，而2∠A﹣∠B＝18°，解得∠A＝108°，综合所述：∠A的度数为36°或96°或108°，故答案为36或96或108．20．（奉化区校级期末）如图，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是 ．【考点】平移的性质．版权所有【分析】根据三角形的三边关系，及平移的基本性质可得．【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，∴四边形ACEB是平行四边形，BE＝AC，当B、D、E不共线时，∵AB∥CE，∠DCE＝∠AOC＝60°，∴AB＝CE，AB＝CD，∴CE＝CD，∴△CED是等边三角形，∴DE＝AB，根据三角形的三边关系知：BE+BD＝AC+BD＞DE＝AB，即AC+BD＞AB．当D、B、E共线时，AC+BD＝AB．故答案为：AC+BD≥AB．三．解答题（共10小题）21．（长兴县月考）如图，已知CF∥AG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠1＝32°，说明：AB∥CD．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵CF∥AG，∴∠FCH＝∠2＝58°，∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；（2）当∠1＝32°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝32°，∵∠1＝32°，∴∠1＝∠DCE，∴AB∥CD．22．（奉化区校级期末）如图，∠A+∠ABC＝180°，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F．（1）请说明AD∥BC的理由；（2）若∠ADB＝45°，求∠FEC的度数．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）由∠由旁内角A+∠ABC＝180°判定两直线AD∥BC；（2）根据平行线的判定与性质，等量代换求得∠FEC＝45°．【解答】解：如图所示：（1）AD∥BC的理由如下：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；（2）∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°，又∵BD⊥CD．EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠FEC，∴∠FEC＝45°．23．（罗湖区校级期末）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】先判定AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC＝∠BCQ，∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1＝∠2．24．（峡江县期末）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°．（1）求∠BCF的度数；（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；（2）求出∠1＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，求出∠ADE，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠B＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝60°，又∵FC⊥CD，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；（2）DE∥AB．证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，∴∠ADC＝120°，又∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝60°，又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠ADE，∴DE∥AB．25．（萧山区期中）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由．（2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）根据折叠的性质得∠AEB＝∠AEF，根据角平分线定义及垂直的定义得AE⊥EG，最后由平行的判定可得结论；（2）由余角的性质得∠AEB＝70°，然后根据平行线的性质可得答案．【解答】解：（1）平行，理由如下：∵长方形沿AE折叠，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于点G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．26．（慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：①∠BAD的度数；②射线BN过点A时的x的值．（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．【考点】相交线；平行线的性质．版权所有【分析】（1）①由CD∥EF，∠ABF＝60°，可得：∠ABF+∠BAD＝180°，故∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．那么，射线BN旋转的角度为120，故（5x）°＝120°．从而推断出x＝24．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB，故∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．那么，x＝20．（3）①由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°，故∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．由∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，故x＝29．②如图，由x＜24，射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，故∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．又由∠CBA＝∠BAP+∠BPA，故∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．【解答】解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝180°．∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．此时，射线AM在∠BAD的内部．由题意知：0≤x≤36．∵∠ABE+∠ABF＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．∴射线BN旋转的角度为120．∴（5x）°＝120°．∴x＝24（符合题意）．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．∴120°﹣5°•x＝1°•x．∴x＝20（符合题意）．（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．∴x＝29（符合题意）．②如图4，∵x＜24，∴射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．当x＝0时，P不存在．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°．∴∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．∵∠CBA＝∠BAP+∠BPA，∴∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．27．（拱墅区校级期中）已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并证明；（3）当∠EPF满足0°＜∠EPF＜180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150°或30 °．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝150°；当P点在EF的右侧时，可求得∠BEQ+∠QFD＝30°；②结合①可得∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），由∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF＝360°；可得EPF＝∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF，得出∠EPF＝2∠EQF．【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，∵PG∥AB，∴∠EPG＝∠AEP，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠FPG＝∠PFC，∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；过点P作PG∥AB，∵PG∥AB，∴∠EPG+∠AEP＝180°，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠FPG+∠PFC＝180°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，∵∠EPF＝60°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ＝PEB，∠QFD＝PFD，∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝300°＝150°；如图4，当P点在EF的右侧时，∵∠EPF＝60°，∴∠PEB+∠PFD＝60°，∴∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝60°＝30°；故答案为：150°或30；②由①可知：∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝（360°﹣∠EPF），∴∠EPF+2∠EQF＝360°；∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝∠EPF，∴∠EPF＝2∠EQF．综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF＝360°或∠EPF＝2∠EQF．28．（饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E＝∠END﹣∠BME ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝∠E．【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END＝∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP＝∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，∴∠E+2∠NPM＝180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F＝∠E，即．故答案为：．29．（罗湖区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；平行线的性质．版权所有【分析】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，∴a＝3，b＝1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（20+t）×1，解得t＝10；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，解得t＝85；③当120＜t＜160时，3t﹣360＝t+20，解得t＝190＞160，（不合题意）综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，而∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．30．（衢州期末）如图1，已知AB∥CD，点A是直线AB上一定点，取平面内一点P，连结PA，作∠PAB的角平分线交CD于点E，若∠APE＝3∠PAE，则称∠APE是∠PAE的3倍角．（1）如图1，点P在直线CD上，已知∠PAE＝36°，试说明∠APE是∠PAE的3倍角；（2）如图2，点P是直线AB和直线CD之间的一个点，已知∠APE是∠PAE的3倍角，且PE平分∠AEC，求∠PAE的度数；（3）在直线CD上方是否存在一点P，使得∠APE是∠PAE的3倍角，且CE平分∠AEP．若存在，求出∠APE的度数，若不存在，请说明理由．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得答案；（2）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠PAE＝∠EAB＝∠AEC＝2∠PEA，结合（1）可得答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，且直线AE平分∠PAB，∴∠PAB＝∠APC，∠APE＝180°﹣2∠PAE＝108°，∴∠APE＝3∠PAE，故∠APE是∠PAE的3倍角；（2）∵PE平分∠AEC，AB∥CD且AE平分∠PAB，∴∠PAE＝∠EAB＝∠AEC＝2∠PEA，∵∠APE是∠PAE的3倍角，∴∠PAE＝180°﹣3∠PAE﹣＝40°；（3）存在，∵CE平分∠AEP．AB∥CD且AE平分∠PAB，∴∠PAE＝∠EAB＝∠AEC＝∠PEC，∵∠APE＝180°﹣∠PAE﹣∠AEP＝180°﹣＝90°．
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