2024年辽宁省大连市高新区九年级中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 有理数的倒数（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵
∴有理数的倒数是．
故选：D．
2. 如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：1，2，并且上面一行的正方形靠左．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：7062万；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. a•a5＝a5B. （﹣a3）2 ＝a 6C. a8÷a2 ＝a4D. a3 +a3 ＝a6
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、和并同类项法则分别判断得出即可．
【详解】解：a•a5＝a6，故选项A不合题意；
（﹣a3）2 ＝a6，正确，故选项B符合题意；
a8÷a2 ＝a6，故选项C不合题意；
a3 +a3 ＝2a3，故选项D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方和并同类项，解题的关键是掌握相关运算的法则．
5. 如图，三角板直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）

A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
【答案】C
【解析】
【分析】求出∠3即可解决问题；
【详解】解：如图，

∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
由平行可得∠2=∠3=55°，
故选C．
【点睛】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
6. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解①得 ；
解②得 ；
所以解集为： .
故选C.
7. 在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
那么这50名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A. 3，2B. 3，3C. 2，3D. 3，1
【答案】A
【解析】
【分析】在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2．
【详解】解：∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2；
故选∶A．
【点睛】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
8. 关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．
【详解】解：一元二次方程无实数根，
则判别式
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．
9. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长．
【详解】解：由作法得平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
10. 小明和小强两个人开车从甲地出发匀速行驶至乙地，小明先出发．在整个行驶过程中，小明和小强两人的车离开甲地的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①甲、乙两地相距300千米；②小强的车比小明的车晚出发1小时，却早到1个小时；③小强的车出发后1.5小时追上小明的车．其中正确的结论有（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象中的信息作答即可．
【详解】解：由图象可知，甲、乙两地相距300千米，小明从甲到乙共用5小时，小强从甲到乙共用3小时，小强比小明晚出发1小时，早到1小时，
∴①②正确，故符合要求；
∴小明的速度为60千米/小时，小强的速度为100千米/小时，
设小强的车出发后小时追上小明的车，
则，解得，
∴小强的车出发后1.5小时追上小明的车，
∴③正确，故符合要求；
∴正确的结论有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用．解题的关键在于从函数图象中获取正确的信息．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：（2+）（2﹣）＝_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．
【详解】解：原式＝22﹣
＝4﹣3
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
12. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球和5个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，“摸出红球”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意知，摸出一个球共有7种等可能的结果，随机摸出一个球是红球共有2种可能的结果，
∴摸到红球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
13. 点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的坐标为 ______．
【答案】
【解析】
【详解】解：点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标的平移变化，解题的关键在于熟练掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
14. 《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．
【详解】解：设1只羊值金两，1头牛值金两，
由题意可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
15. 如图，在中，，，，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D，则阴影部分的面积是______．（结果保留根号和）
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，熟记公式解题关键．
16. 如图，矩形纸片，，将矩形纸片折叠，使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，则____________________（用含a的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键．利用翻折的性质可推出，可求得四边形是矩形，可得，利用勾股定理可得，由即可求出答案．
【详解】由翻折的性质可知，，
在和中，
，
∴（HL），
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算的法则则是解本题的关键．
18. 为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，学校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，其中分及以下为D类，分为C类，分为B类，分为A类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．
（1）此次抽样调查的样本容量为______，竞赛成绩为B类的有______人，扇形统计图中竞赛成绩为C类所对应的圆心角为______°；
（2）若这次竞赛成绩为A类或B类的学生可获奖，全校共1200名学生，请估计全校获奖学生人数．
【答案】（1）200；60；162
（2）540人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图可求出样本容量，A、B、C、D四类人数可知，即可解答；（2）根据样本估计总体即可．
【小问1详解】
样本容量，
竞赛成绩为B类的人数为，
成绩为C类所对应的圆心角为，
故答案为200；60；162．
【小问2详解】
（人）．
∴估计全校获奖学生大约为540人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
19. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可得，可证明
【详解】，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20. 如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长．
【答案】
【解析】
【分析】设矩形垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：
得，，
整理得，，
解得，，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：矩形垂直于墙的一边的长为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21. 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；
（2）若，求电流I变化范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设函数解析式为，把时，代入求出值即可得答案；
（2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案．
【小问1详解】
设函数解析式为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴电流（安培）与电阻（欧姆）之间的表达式为．
【小问2详解】
∵中，，，
∴图像在第一象限，随的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，，
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，，
∴电流的变化范围是．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键．
22. 如图，一艘渔船在黄海海域由西向东航行到达A处时，测得小岛C位于渔船的北偏东方向，该渔船再向东匀速航行2小时后到达B处，此时测得小岛C位于距离渔船30海里的北偏东方向．
（1）填空：______；
（2）求渔船的速度（结果取整数）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）海里/时
【解析】
【分析】（1）根据已知和三角形的内角和定理求解即可；
（2）过点作交的延长线于．利用锐角三角形的定义分别求解、、即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：过点作交的延长线于．
由题意可知，，，海里，
在中，，，，，
∴（海里），（海里），
在中，，，，，
∴（海里），
∴渔船的速度为（海里/时）．
答：渔船的速度约为28海里/时．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题及三角形内角和定理、平行线的性质，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
23. 是的直径，点C在上，于E交于点F，连接，点D在延长线上，．
（1）如图1，求证：是的切线；
（2）如图2，过B作于M，，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，先由垂径定理得到，进而得到，再根据等边对等角得到，利用三角形内角和定理证明，即可证明是的切线；
（2）方法一： 设，则，在中，根据勾股定理，求出，则；同理证明；然后导角证明，由角平分线的性质即可得到；方法二： 同理求出，证明，求出，再证明，即可求出．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
又∵为半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：方法一：∵，
∴，∵，
∴设，则，
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∵，
∴．
∴，
又∵在中，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
方法二：如图2，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，角平分线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24. 如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以的速度向终点B运动，当点D不与点A、B重合时，过D作于E（s），以，为邻边作平行四边形与重叠部分的面积为S（）．
（1）当点F在上时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）先画出点F在上时图形，证明，根据相似三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，然后根据，即可求出t的值；
（2）本题根据题意分为两种情况讨论，当时，，求出即可；当时，，求出即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
根据勾股定理，
当点F在上时，如图1，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：当时，如图2，
，
，
，
．
，
；
当时，如图3．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
综上所述，．
【点睛】本题主要综合考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，函数解析式，灵活运用相似三角形的性质和判定，根据动点的不同位置分类讨论是解题的关键．
25. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，，D是延长线上一点，连接，，点E在线段上，且，连接．
求证．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，连接，以B为圆心，长为半径画弧，交于点F，连接，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）条件下，过E作于K，若，，求的长．”
【答案】（1）见解析；（2）．见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据角的和差关系可进行求解；
（2）延长至，使，连接，由题意得，则有，然后可得证，，进而根据全等三角形的性质可进行求解；
（3）过作于，则有，设，则，，然后可得，，则根据含30度直角三角形的性质及勾股定理、相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：． 理由如下：
如图1，延长至，使，连接．
由题意得，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，，
∵，
∴．
由（1）得，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图4，过作于，
∵，
∴．
设，则，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得．
∴，．
在中，根据勾股定理，，
在中，∵，
∴．
根据勾股定理，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，若平分，求点P的坐标；
（3）如图2，连接，抛物线的对称轴交于点E，连接，点P在y轴右侧的抛物线上，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过作轴交于，交轴于，过作轴于，求出直线的解析式为，求出， 证明，设，则，证明，得出，求出， 根据，得出，求出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）过作于，过作于，延长交于F，求出直线的解析式为，证明，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，令，求出x的值，即可得出点P的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：如图1，过作轴交于，交轴于，过作轴于，如图所示：
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，，
在中，根据勾股定理，
，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，（舍），，
当时，，
∴；
【小问3详解】
解：过作于，过作于，延长交于F，如图所示：
∵，
∴对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵于G，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
设的直线为，把代入得：
∴直线的解析式为，
令，
解得，（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法．
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1