2024年湖南省常德市津市市九年级中考一模数学试题

这是一份2024年湖南省常德市津市市九年级中考一模数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.一元二次方程3x2-4x-4＝1的一次项系数为（ ）
A.-5 B.-4 C.3 D.6
2.“明天下雨的概率为80%”，下列对这句话的理解正确的是（ ）
A.明天一定下雨 B.明天一定不下雨
C.明天80%的地方下雨 D.明天下雨的可能性很大
3.二次函数y＝a（x-m）2-k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A.m＜0,k＜0 B.m＞0,k＞0 C.m＞0,k＜0 D.m＜0,k＞0

4.一个圆锥的母线长18cm，底面直径长8cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A.60° B.80° C.100° D.120°
5.将二次函数y＝x2-6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A.y＝x2-2x-5 B.y＝x2+2x-9 C.y＝x2-2x-8 D.y＝x2+2x-5
6.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板“，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的.如图是由”七巧板“组成的边长为5cm的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ）
A.16 B.17 C.18 D.27
7.若将一元二次方程x2-8x+5＝0化成（x+a）2+b＝0的形式，则a和b的值分别为（ ）
A.4，11 B.4，19 C.-4，-11 D.-4，-19
8.如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（1，0），P（0，1），四边形ABQP是正方形，把正方形ABQP绕点A顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点Q的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，-1） D.（-1，1）
9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G，若CD＝8，OG＝1，则⊙O的半径为（ ）
A.4 B.133 C.265 D.6
10.将抛物线y＝-x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y＝x+m有4个交点，则m的取值范围是（ ）
A.m≤-5 B.-214≤m＜-5 C.-214＜m＜-3 D.m≥-3
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11.已知关于x的一元二次方程x2-mx+6＝0有一个根为3，则另一个根为.
12.某公司购进了一批草莓，并对这批草莓进行了“损坏率”统计，如下表是通过随机取样后，得到的草莓“损坏率”统计表的一部分，由已知数据和图表估计草莓完好的概率为.（精确到0.1）
13.如图，有一张长30cm，宽20cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的13，则x的值为________.

14.已知a，b，c满足a-2b＝c，b+c＝-4a，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线_________.
15.如图，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD， OC，且OC交DB于点E.若∠CDB＝30°，DB＝23cm.则图中阴影部分的面积为_________
三、解答题（共8小题，共75分.解答应写出过程）
16.（8分）已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+2＝0.
（1）若方程有实数根，求m的取值范围;
（2）在等腰△ABC中，一边长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值.
17.（9分）直线y＝ax+b（a≠0）称作抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线.根据定义回答以下问题:
（1）求证:抛物线y＝ax2+bx与其关联直线一定有公共点;
（2）当a＝1时，求抛物线y＝ax2+bx与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母b表示）.
18.（9分）如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，给出了以格点（网格线的交点）为端点的△ABC.
（1）以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转180°得到△A′BC′，画出△A′BC′;
（2）请你求出点A在（1）中运动的路径长.
19.（9分）小明和小刚在玩扑克牌的游戏，他们从一副牌中拿出了如图所示的五张扑克牌.
（1）从一副扑克牌（包含大小王）中随机抽取一张扑克牌，抽到黑桃的概率是多少？
（2）小明从上图所示的五张扑克牌中随机抽取一张，抽到数字6的概率是多少？
（3）小明先从上图所示的五张扑克牌中抽取一张，放回后小刚再抽取一张，求两张扑克牌上的数字之和小于10的概率.
20.（9分）某电子公司生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现:每月生产x台电子产品的成本y（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位:元）与x成正比，人工成本（单位:元）与x的平方成正比，在生产过程中得到如下数据:
（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）若某月平均每台电子产品的成本为26元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q（单位:元），且有Q＝mx+n（m＜1100.且m，n均为常数），已知当x＝2000台时， 0为35元，且此时销售利润W（单位:元）有最大值，求m，n的值.（销售利润＝销售收入-成本）
21.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，交AB于点D，交CA延长线于点E,BF是⊙A的切线,连接EF,DF.
（1）求证:EF∥AB;
（2）若⊙A的半径为2，当四边形ADFE为菱形时，求BF的长.
22.（10分）如图，二次函数y＝ax2-43x+c的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，-2）.
（1）求二次函数的解析式;
（2）若点P为抛物线上一动点（直线AB上方），且S△PBA＝4，求点P的坐标.
23.（11分）已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，D是AC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD,F是BD中点,连接EF,CF.
（1）如图① ，线段EF，CF之间的数量关系为，∠EFC的度数为;
（2）如图② ，将△AED绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜30°），请判断线段EF，CF之间的数量关系及∠EFC的度数，并说明理由;
（3）在△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到直线AB边上时，连接BE，若BC＝3，AD＝2，请直接写出BE的长度.

答 案
1.B[解析]原方程化为一般形式为3x2-4x-5＝ 0，其一次项系数为-4.
2.D
3.A[解析]∵二次函数的解析式为y＝a（x- m）2-k.∴顶点为（m，-k）.∵顶点在第二象限，∴m＜0，k＜0.
4.B[解析]设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为x，由题意得xπ×18180＝8π，解得x＝80°.
5.C[解析]将二次函数y＝x2-6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为y＝（x-1）2-6-3，即y＝x2- 2x-8.
6.C[解析]由题意可知，阴影区域是一个正方形，∵大正方形的边长为5cm，∴大正方形的对角线长为52cm，面积为25cm2，∴阴影部分的边长为524cm，∴S阴影＝258cm2，∴P（该点取到阴影部分）＝2525＝18.
7.C[解析]∵x2-8x+5＝0，∴x2-8x＝-5，则x2- 8x+16＝-5+16，即（x-4）2＝11，∴x2-8x+5＝0可化为（x-4）2-11＝0，则a和b的值分别为- 4， -11.
8.C[解析]根据题意可知，正方形ABQP第1次旋转结束时Q1（1，-1），第2次旋转结束时Q2（-1，-1），第3次旋转结束时Q3（-1，1），第4次旋转结束时Q4（1，1），第5次旋转结束时O5（1，-1），即每旋转4次为一个循环，∵2022÷4＝505…2，则O2022的坐标为（-1，-1）.
9.B[解析]如解图，连接CO，∵AB⊥CD，∴ ∠BED＝90°，∴∠B+∠D＝90°.∵CF⊥BD，∴ ∠BFG＝90°，∴∠B+∠BGF＝90°，∴∠BGF＝ ∠D.∵∠BGF＝∠AGC,∴∠ACC＝∠D.∵BC＝ BC,∴∠A＝∠D,∴∠A＝∠AGC,∴AC＝GC.又∵AB⊥CD,∴AE＝GE,设OE的长为x,则AE＝ GE＝x+1,∴AO＝AE+OE＝2x+1,∴CO＝AO＝2x+ 1，在Rt△OCE中，OE2+CH2＝CO2，即x2+42＝ （2x+1）2，解得x＝53或x＝-3（不合题意，舍去），∴CO＝2x+1＝133.
10. C[解析]抛物线y＝-x2+2x+3整理变形为y＝ （x+1）（-x+3），∴抛物线与x轴的交点为（-1，0）、（3，0），∵将抛物线y＝-x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，∴新图象中当-1≤x≤3时，解析式为y＝x2-2x-3，如解图，当直线y＝x+m.经过（3，0）时，此时直线y＝x+m与新函数图象有3个交点，把（3，0）代入直线y＝x+m，解得m＝- 3，直线y＝x+m再向下平移时，有4个交点;当y ＝x2-2x-3与直线y＝x+m有一个交点时，此时直线y＝x+m与新函数图象有3个交点，整理得x2-3x-3-m＝0，b2-4ac＝21+4m＝0，解得m＝- 214，综上所述，新图象与直线y＝x+m有4个交点时，m的取值范围是-214＜m＜-3.
11.2[解析]∵一元二次方程x2-mx+6＝0有一个根为3，∴32-3m+6＝0，解得m＝5，∴x2-5x+ 6＝（x-3）（x-2）＝0，∴另一个根为2.
12.0.9[解析]由图表可知，草莓损坏的频率约为0.1，∴P（草莓完好）≈1-0.1＝0.9.
13.5[解析]由题意可知，无盖纸盒的长为（30- 2x）cm，宽为（20-2x）cm，可列方程为（30- 2x）（20-2x）＝30×20×13，整理得x2-25x+100﹦ 0，解得x1＝5，x2＝20（不合题意，舍去），故x的值为5.
14.x＝-52[解析]∵a-2b＝c，b+c＝-4a，∴c＝- 4a-b＝a-2b，∴5a＝b，∴二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象的对称轴为直线x＝-b2a＝-5a2a＝- 52.
15.2π3cm2[解析]∵AC与⊙O相切于点C，∴ ∠ACO＝90°.∵BD∥AC,∴∠ACO＝∠BEO＝ ∠DEC＝90°，∴DE＝BE＝12DB＝3.又∵ ∠CDB＝30°，∴∠O＝60°，∴∠OBE＝30°，在△CDE 与△OBE 中，∠CDE＝∠OBE,DE＝BE, ∴△CDE≌△OBE（ASA）.∠CED＝∠OEB,
∴CD＝OB.在Rt△CDE中,设CE＝x,则CD＝ 2x，∵CE2+DE2＝CD2，∴x2+(3)2＝4x2，解得x ＝1（负值已舍去），∴CD＝OB＝2，即⊙O的半径长为2cm，∴S阴影＝S（S阴影BOCC）＝（60πr/π·22/π＝3.又∵ ∠CDB＝30°，∴∠O＝60°，∴∠OBE＝30°，在
△CDE 与 △OBE 中，
∠CDE＝∠OBE,
DE＝BE, ∴△CDE≌△OBE（ASA）.
∠CED＝∠OEB,
∴CD＝OB.在Rt△CDE中,设CE＝x,则CD＝ 2x，∵CE2+DE2＝CD2，∴x2+(3)2＝4x2，解得x ＝1（负值已舍去），∴CD＝OB＝2，即⊙O的半径长为2cm，∴S阴影＝S（S阴影BOCC）＝（60πr/π·22/π＝2π3cm2.
16.解:（1）关于x的一元二次方程（m-1）x2- 2mx+m+2＝0有实数根， ∴m-1≠0，△＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）＝-4m+8 ≥0，
解得m≤2，m≠1，
综上所述，m≤2且m≠1; （4分）
（2）由题意得，① 当底边长为3，两等腰边长为方程的根，即△＝-4m+8＝0，解得m1＝m2＝2;
将m＝2代入方程，得x2-4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
经检验，2，2，3符合题意;
② 当腰长为3时，即x＝3代入方程，解得m＝74，
将m＝74代入方程，得3x2-14x+15＝0，解得x1＝3，x2＝53，
经检验，3，3，53符合题意;
综上所述，m的值为2或74.…（8分）
17.（1）证明:联立y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b（a ≠0），
得ax2+bx＝ax+b,
整理得，ax2+（b-a）x-b＝0.
∵△＝（b-a）2+4ab＝（a+b）2≥0，
∴抛物线y＝ax2+bx与其关联直线一定有公共
（4分）
（2）解:当a＝1时，抛物线y＝x2+bx与其关联直线恒过点（1，1+b）;
当y＝0时，抛物线y＝x2+bx与其关联直线恒过点（-b，0）;
∴当a＝1时，抛物线y＝ax2+bx与其关联直线一定经过的定点的坐标为（1，1+b），（-b，0）.
18.解:（1）如解图，△A′BC′即为所求;…（4分）
（2）由网格可得AB＝(32+12）＝10，又∵将△ABC顺时针旋转180°得到△A′BC′，
∴点A在（1）中运动的路径长为180π×10180＝ 10π.
19.解:（1）一共有4×13+2＝54（种）等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有13种，∴P（抽到黑桃）＝1354;……………（2分）
（2）一共有5种等可能的结果，其中抽到数字6的结果有2种，
∴P（抽到数字6）＝25;……（4分）
（3）列表如下:
由表格可知，共有25种等可能的结果，其中两张扑克牌上的数字之和小于10的结果有17种，∴P（两张扑克牌上的数字之和小于10）＝1725
20.解:（1）由题意设y＝ax2+bx+2000，
∵当x＝20时，y＝2104，当x＝40时，y＝2216，
∴y＝1100x2+5x+2000;（3分）
（2）由题意得26x＝1100+5x+2000，
解得x1＝2000，x2＝100，
∴若某月平均每台电子产品的成本为26元，这个月共生产电子产品100台或2000台;…
（3）W＝x（mx+n）-（1100x2+5x+2000）＝（m- 1100x2+（n-5）x-2000，
∵m＜1100，∴m-1100＜0，
∴抛物线开口向下.
当x＝（m-5/120000000000时，W有最大值，化简，得4000m+n＝45，
又∵x＝2000台时，Q＝35＝2000m+n，
∴联立以上两式可解得m＝1200，n＝25.…
21.（1）证明:如解图，连接AF，
∵BF是⊙A的切线，
∴∠ACB＝∠AFB＝90°. ∵AC＝AF,AB＝AB,
∴Rt△ABC≌Rt△ABF（HL）, ∴∠CAB＝∠FAB.
∵AE＝AF,
∴∠AEF＝∠AFE.
∵∠CAB+∠FAB＝∠AEF+∠AFE,即2∠CAB＝2∠AEF, ∴∠CAB＝∠AEF,
∴EF∥AB;……………（5分）
（2）解:如解图，∵四边形ADFE为菱形， ∴AD＝DF.
∵AF＝AD，⊙A的半径为2， ∴AF＝DF＝AD＝2,
即△ADF为等边三角形， ∴∠FAD＝60°.
∵BF是⊙A的切线，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝90°-∠FAD＝30°， ∴AB＝2AF＝4，
∴在Rt△AFB中，BF＝(AB2-AF2）＝(42-22）＝
23.……………（10分）
22.解:（1）∵二次函数y＝ax2-43x+c的图象经过A（3，0），B（0，-2）两点，
9a-4+c＝0，
c＝-2，
∴二次函数的解析式为y＝23x2-43x-2;…
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵y＝kx+b的图象经过A（3，0），B（0，-2）两点，
∴直线AB的解析式为y＝23x-2，
在y轴上取一点C（0，m）（m＞-2），使△ABC的面积为4，
可得BC＝m+2，OA＝3，
则S△ABC＝12BC·OA，即12（m+2）×3＝4，解得m ＝23，
∴点C的坐标为（0，23），……（6分）如解图① ，② ，过点C作CP∥AB，交抛物线于点P，则S（△ABC）＝S（△ABP）＝4，
设直线CP的解析式为y＝23x+b，将点C的坐标（0，23）代入y＝23x+b，得b＝23.
∴直线CP的解析式为y＝23x+23.
参考答案
∴点P的坐标为（4，103）或（-1，0）.…
（10分）
第22题解图
23.解:（1）EF＝CF，120°;……………（2分） [解法提示]由题知∠ABC＝90°-30°＝60°.∵ DE⊥AB,∴∠BED＝90°.∵∠BCD＝90°,BF＝
DF,∴FE＝FB＝FD＝CF,∴∠FBE＝∠FEB, ∠FBC＝∠FCB,∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝ ∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+ ∠FBC）＝2∠ABC＝120°.
（2）EF＝CF，∠EFC＝120°;………（3分）理由如下:如解图① ，取AB的中点M，AD的中点N,连接MC,MF,EN,FN.
∵BM＝MA,BF＝FD,
∴MF∥AD,MF＝12AD.
∵AN＝ND,
∴MF＝AN,MF∥AN,
∴四边形MFNA是平行四边形， ∴NF＝AM.∠FMA＝∠ANF.
2π3cm2.
16.解:（1）关于x的一元二次方程（m-1）x2- 2mx+m+2＝0有实数根， ∴m-1≠0，△＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）＝-4m+8 ≥0，
解得m≤2，m≠1，
综上所述，m≤2且m≠1; （4分）
（2）由题意得，① 当底边长为3，两等腰边长为方程的根，即△＝-4m+8＝0，解得m1＝m2＝2;
将m＝2代入方程，得x2-4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
经检验，2，2，3符合题意;
② 当腰长为3时，即x＝3代入方程，解得m＝74，
将m＝74代入方程，得3x2-14x+15＝0，解得x1＝3，x2＝53，
经检验，3，3，53符合题意;
综上所述，m的值为2或74.…（8分）
17.（1）证明:联立y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b（a ≠0），
得ax2+bx＝ax+b,
整理得，ax2+（b-a）x-b＝0.
∵△＝（b-a）2+4ab＝（a+b）2≥0，
∴抛物线y＝ax2+bx与其关联直线一定有公共
（4分）
（2）解:当a＝1时，抛物线y＝x2+bx与其关联直线恒过点（1，1+b）;
当y＝0时，抛物线y＝x2+bx与其关联直线
草莓总质量n/kg
损坏草莓质量m/kg
草莓损坏的频率m/n
(精确到0.001)
…
…
200
19.8
0.099
300
32.7
0.109
400
40.00
0.100
500
50.62
0.101
x(单位:台)
20
40
y(单位:元)
2104
2216
红桃2
红桃3
黑桃4
梅花6
方片6
红桃2
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,6)
(2,6)
红桃3
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,6)
(3,6)
黑桃4
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,6)
(4,6)
梅花6
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,6)
(6,6)
方片6
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,6)
(6,6)