上海市金山区廊下中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：100分钟 满分150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A. 1、2、3、4；B. 1、2、4、8；
C. 2、3、4、5；D. 5、10、15、20．
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定等，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】如图：
故A选项符合题意．
其它选项都不能判断出即不能判断出．
故选：A．
3. 下列判断不正确的是（ ）
A. ；
B. 如果向量与均为单位向量，那么或；
C. 如果，那么；
D. 对于非零向量，如果，那么．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意；
C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6 DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．
【详解】解：根据题意，
∵△DEM∽△ABC，AB=4，AC=6 DE=2
∴DE：AB=DM：AC
∴DM=3
∴M点的对应点应是H
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等.
5. 如图，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
【详解】解：A、∵，，
∴，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，故B不符合题意；
C、由，不能判断和相似，符合题意；
D、∵，
∴，
又∵，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
6. 如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A和B选项，再利用平行线分线段成比例定理和等量代换即可判断C选项，再证明，即可判断D选项
【详解】四边形是平行四边形，
，，
，，
，故选项A和选项B正确，不符合题意；
故选项C正确，不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
，故选项D错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质．
二、填空题：（本大题有12小题，每题4分，满48分）
7. 如果，那么___________________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分式的性质化简，再整体代入即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式化简求值，注意整体代入思想的应用．
8. 已知线段厘米，厘米，那么线段和比例中项_________厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解．
详解】解：依题意，厘米，厘米，
∴厘米，
故答案为：．
9. 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
10. 线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x的方程求解即可．
【详解】解：设，则，
根据得代入得，
解得或（舍去），
故答案为：．
11. 若两个相似三角形周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．
【答案】4∶9
【解析】
【详解】试题解析：两个相似三角形的周长比是
这两个三角形的相似比是
对应角平分线的比等于相似比,是
故答案是：
点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方.
12. 如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】由向量 与单位向量方向相反，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案．
【详解】解：∵向量与单位向量方向相反，且长度为，
∴＝−
故答案为：＝−．
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
13. 如图，，，，那么_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
【详解】∵，，，
∴，即
∴．
故答案为：6．
14. 如图，在中，点、分别在边、上，如果，，那么与四边形的面积之比是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键．
利用平行判定，然后利用相似三角形的性质求得，从而求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，是的重心，那么点到直角顶点的距离_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质、根据点G是的重心，可得点M是的中点，且，问题随之得解
【详解】如图所示，延长与交于点M，

∵在中，，
∴是直角三角形，
∵点G是的重心，
∴，
∵点G是的重心，
∴．
故答案为：5 ．
16. 如图，在中，平分， ，，，则________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，设，则，证明，得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解；∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为；3．
17. 如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
【详解】解：作交于点，交于点，
由正方形得，即，
，
．
由得，
．
，，
，，
即，
∵的边长为6，面积为24，
∴，
∴，
设正方形的边长，
得，
解得．
故正方形的边长是．
故答案为：．
18. 如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是_________．

【答案】
【解析】
【分析】先得出，再设，结合梯形性质以及矩形性质，得出，运用勾股定理得，证明。列式代入数值化简，即可作答．
【详解】解：连接和，如图：

∵是点A、C的对称轴，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∵
∴设
过点D作，

∴
∴四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
则
∵是点A、C的对称轴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
则
∴
解得
则
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称性质以及矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题：（本大题满分78分）
19. 已知线段、、满足，且，求线段、、的长．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出， ， ，进而得出a、b、c的值是解题关键．
根据题意可设，然后用k的代数式分别表示出a、b、c，再代入可求得k，即可求得答案．
【详解】解：设，则
∵，
∴，
解得，
∴
20. 如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．

【答案】4米
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案．
【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：

由题意，米，米，米，
∴米，
∵，
∴，
即，
解得：米，
∴（米），
答：路灯离地面的高度为4米．
21. 如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，，
（1）用向量、分别表示下列向量； ； ；
（2）在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
【答案】（1）；；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解；
（2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，，
∵
∴
∵
∴；
∵
∴
∴
∴，
∵
∴；
【小问2详解】
如图，即为分别在、方向上的分向量．
22. 如图，已知：点、在边上，点边上，且，．

（1）求证：；
（2）如果，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，
（1）根据平行线分线段成比例得到，然后结合即可得到，进而求解即可；
（2）首先证明，然后结合得到，求出，作，垂足为点，然后得到，然后利用平行线分线段成比例得到，进而求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵//，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
作，垂足为点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．

（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．
（1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出；
（2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
24. 如图，已知：在中，，，，，平分．

（1）求的长；
（2）求的值；
（3）点是射线上上一点，如果与相似，求的长．
【答案】（1）16 （2）
（3）或.
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
（1）由同角的余角相等得出，证明，得出，代入数据计算即可得出答案；
（2）作，垂足为，由角平分线的性质定理得出，证明得出，由勾股定理得出，代入数据计算出，即可得解；
（3）先求出，由得出，再分两种情况：，，利用相似三角形的性质分解求解即可．
【小问1详解】
解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：作，垂足为，

平分，，，
，
，
，
，
，
又，，，
，
，
；
【小问3详解】
解：，，，
，
，，
，
，
，
如果，则，
，
；
如果，则，
，
；
的长为或．
25. 如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结.
（1）求证：；
（2）如果，求的长；
（3）如果是以为腰的等腰三角形，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）6或.
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、分情况讨论是解题的关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，则，设，则，则，解得x的值，即可得到答案；
（3）分和两种情况分别进行解答即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意），
∴的长为或
小问3详解】
如果，
∵，
∴，
∵E，
∴，
∴，
∴；
如果，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴的长为6或.