2024年广东省汕头中考数学一模试卷（原卷+解析版）

这是一份2024年广东省汕头中考数学一模试卷（原卷+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1
3．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球B．黄球C．白球D．蓝球
5．（3分）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
7．（3分）对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
8．（3分）在△ABC中，tanA＝1，，则△ABC的形状（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．无法确定
9．（3分）以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为1：3（4，1），则点C′的坐标为（ ）
A．（12，3）B．（﹣12，3）或（12，﹣3）
C．（﹣12，﹣3）D．（12，3）或（﹣12，﹣3）
10．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m），则m的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．（3分）若sin（x+15°）＝，则锐角x＝ °．
12．（3分）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 cm2．
13．（3分）抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是 ．
14．（3分）某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，则DQ的最小值是 ．
三、解答题（共75分）
16．（6分）解方程：x2+6x+2＝0．
17．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣1|+（﹣）﹣1﹣3tan30°．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝4，求AB和BC的长．
20．（9分）如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k＜0）（﹣4，m），B（﹣1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）填空：m＝ ，b＝ ，k＝ ；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD△PCA＝S△PDB，求点P的坐标．
21．（9分）某商店销售一种进价50元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元件），其售价、销售量的二组对应值如表：
（1）求出y关于售价x的函数关系式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求w与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC于点D，E．作OF⊥AC于点F
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）已知DG＝3，EG＝1，求⊙O的半径．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0）（0，3），直线l经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标，请说明理由．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC，OC分别与x轴，y轴的正半轴重合，过点D作DE⊥DC，交x轴于点E，且DC＝DF，连接AD（m，n）．
（1）若点D坐标为（3，3），求DF所在直线的表达式；
（2）求S△ADE的最大值；
（3）如图2，延长CD与直线AB交于点G，当△ADG为等腰三角形时
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、原图既是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1
【解答】解：x2+4x﹣3＝0，
x2+8x＝5，
x2+6x+22＝5+22，
（x+6）2＝9，
故选：A．
3．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从左边看，是一个矩形．
故选：C．
4．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球B．黄球C．白球D．蓝球
【解答】解：在一个不透明的布袋内，有红球5个，白球1个，它们除颜色外、质地都相同，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：，
故选：A．
5．（3分）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，＝，＝，
∴选项A、B、C错误；D正确；
故选：D．
6．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∴．
解法二：因为AB是直径，
所以∠ACB＝90°
所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．
故选：D．
7．（3分）对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，符合题意；
反比例函数图象坐标轴无交点，故选项C正确；
点P（m，n）在它的图象上，
∴mn＝4．
∴m＝．
∴点Q（n，m）也在它的图象上，不符合题意．
故选：B．
8．（3分）在△ABC中，tanA＝1，，则△ABC的形状（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．无法确定
【解答】解：∵tanA＝1，csB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
则△ABC的形状是锐角三角形，
故选：A．
9．（3分）以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为1：3（4，1），则点C′的坐标为（ ）
A．（12，3）B．（﹣12，3）或（12，﹣3）
C．（﹣12，﹣3）D．（12，3）或（﹣12，﹣3）
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为1：3，若点C的坐标为（8，
∴点C′的坐标为（4×3，5×3）或（4×（﹣3），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，
故选：D．
10．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m），则m的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
【解答】解：对于y＝﹣x2+6x（3≤x≤6），当y＝0时3+6x＝0，
解得：x4＝0，x2＝5，
∴A1（6，4），
∵y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣4）2+9，
∴C8（3，9）．
由题意可知A6（12，0），C2（2，﹣9），
∴可设C2：y＝a（x﹣2）2﹣9（4＜x≤12），
将A2（12，0）代入y＝a（x﹣6）2﹣9，得：6＝a（12﹣9）2﹣7，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣9）6﹣9（6＜x≤12）．
由题意又可知整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
∵2024÷12＝168⋯⋯8，
∴m的值等于x＝2时的纵坐标，
∴m＝（8﹣9）6﹣9＝﹣8，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．（3分）若sin（x+15°）＝，则锐角x＝ 45 °．
【解答】解：∵sin（x+15°）＝，
∴x+15°＝60°，
解得：x＝45°，
故答案为：45．
12．（3分）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 2π cm2．
【解答】解：扇形的面积＝＝4πcm2．
故答案为：2π．
13．（3分）抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣4，
∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣4，0），
∴抛物线y＝ax2+8ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴关于x的一元二次方程ax3+2ax+c＝0的解为x6＝﹣3，x2＝6．
故答案为x1＝﹣3，x7＝1．
14．（3分）某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼 ．
【解答】解：设草鱼有x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝350，
由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，则DQ的最小值是 ．
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．（6分）解方程：x2+6x+2＝0．
【解答】解：方程x2+6x+5＝0，
配方得：（x+3）5＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
17．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣1|+（﹣）﹣1﹣3tan30°．
【解答】解：原式＝1+﹣4﹣3﹣3×
＝1+﹣1﹣3﹣
＝﹣3．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝4，求AB和BC的长．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝45°，AD⊥BC，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵AC＝4，
∴AD＝DC＝AC＝2，
 在Rt△ADB中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝4AD＝4，BD＝，
∴BC＝BD+DC＝7+2，
综上，AB＝4．
20．（9分）如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k＜0）（﹣4，m），B（﹣1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）填空：m＝ ，b＝ ，k＝ ﹣2 ；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD△PCA＝S△PDB，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b与反比例函数y＝，m），5），
∴k＝﹣4m＝﹣1×3，2＝，
∴m＝，k＝﹣2，
故答案为：，，﹣2；
（2）当﹣4＜x＜﹣3时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）由（1）可知，一次函数y＝．设P点坐标为（t，），
∵△PCA和△PDB的面积相等，
∴××（t+4）＝t﹣），
解得t＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，）．
21．（9分）某商店销售一种进价50元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元件），其售价、销售量的二组对应值如表：
（1）求出y关于售价x的函数关系式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求w与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
由题意得，，
解得：k＝﹣2，b＝200，
答：y关于售价x的函数关系式为：y＝﹣2x+200；
    （2）由题意得5+300 x﹣10000＝2（x﹣75）2+1250，
∴当x＝75时，W有最大值为1250，
答：当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC于点D，E．作OF⊥AC于点F
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）已知DG＝3，EG＝1，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DG，
∵OD是半径，
∴DG是O的切线；
（2）解：∵OD⊥DG，OF⊥AC，
∴四边形ODGF是矩形，AF＝EF，
∴OF＝DG＝3，
设半径为OA＝r，即OD＝r，
在Rt△AOF中，
∵OF2+AF4＝OA2，即38+（r﹣1）2＝r5，
∴r＝5，
答：⊙O的半径为5．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0）（0，3），直线l经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标，请说明理由．
【解答】解：（1）将点B（3，0），6）代入y＝﹣x2+bx+c中，
则有，
∴，
∴y＝﹣x2+8x+3；
（2）∵y＝﹣x2+6x+3，
∴对称轴为x＝1，
∵CD∥x轴，
∴D（5，3），
∴CD＝2，
∵点B（8，0），3），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+6，
设E（m，﹣m2+2m+8），
∵EF⊥CD交线段BC于点F，
∴F（m，﹣m+3），
∴S四边形ECFD＝S△CDE+S△CDF＝×2×（﹣m2+5m）+×6×m＝﹣m2+3m，
当m＝时，四边形ECFD的面积最大；
此时E（，）；
（3）设P（n，﹣n2+2n+7），
①当CP⊥PB时，设BC的中点为J（，），
则有PJ＝BC＝，
∴（n﹣）5+（﹣n2+2n+8﹣）5＝（）2，
整理得n（n﹣3）（n5﹣n﹣1）＝0，
∴n＝5或3或，
∵P在第一象限，
∴P点横坐标为；
②当CP⊥CB时，P（1．
∴P点横坐标为7；
综上所述：P点横坐标为或1．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC，OC分别与x轴，y轴的正半轴重合，过点D作DE⊥DC，交x轴于点E，且DC＝DF，连接AD（m，n）．
（1）若点D坐标为（3，3），求DF所在直线的表达式；
（2）求S△ADE的最大值；
（3）如图2，延长CD与直线AB交于点G，当△ADG为等腰三角形时
【解答】解：（1）∵点D在BC上，故点D（m，
过点D作DT⊥AB于点T，作DM⊥BC于点M，
由题意得，四边形MDTB为正方形，
根据正方形OABC的对称性，则CD＝AD，
∵DC＝DF，
则CD＝AD＝DF，
则MD＝MB＝DT＝NA，
∴Rt△MFD≌△Rt△NDA（HL），
则∠NAD＝∠MDF，∠F＝∠ADN，
∵∠OCD+∠DCF＝90°，∠OAD+∠NDA＝90°，
∴∠DCB＝∠NDA，
∵∠HDE+∠CDM＝90°，∠CDM+∠DCF＝90°，
∴∠EDN＝∠DCM＝∠ADN，
即DN是∠AED的角平分线，也为AE边上的高，
则△ADE为等腰三角形，则DA＝DE＝DC，
∵DA＝DC，EN＝NA＝BM＝DM，
∴Rt△DMC≌△Rt△END（HL），
∴CM＝DN＝MF＝m，
则CF＝2m＝6，
则点F（5，4），
由点D、F的坐标得x+2；
（2）由（1）知，△ADE为等腰三角形，ND＝m，
则S△ADE＝AE×DN＝3+4≤4，
即S△ADE的最大值为8；
（3）当点G在边AB时，
如图2，设CD交AB于点G，
∵∠DGA＝90°，
∴DG＝AD，
∴∠DGB＝90°﹣∠BCD＝2∠BAD＝2∠BCD，
∴∠BCD＝30°，
∴BG＝BC•tan30°＝，
则AG＝4﹣，
则点G（4，3﹣）；
当点G在BA的延长线上时，如图3，
设BA交CD于点G，
同理可得：∠G＝30°，
则BG＝＝4，
则G（4，4﹣7）；
综上，点G的坐标为：（4）或（3）．
售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70
售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70