广东省佛山市禅城实验高级中学2023~2024学年高二下学期段考（一）数学试题及答案

这是一份广东省佛山市禅城实验高级中学2023~2024学年高二下学期段考（一）数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在数列中，若，，则（ ）
A．16B．32C．64D．128
2．某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
3．等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（ ）
A．-10100B．10100C．-5050D．5050
4．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（ ）
A．4043B．4044C．4045D．4046
6．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．
C．函数在上有极大值
D．函数有三个极值点
7．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A．B．
C．，D．
11．设函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．定义域是B．时，图象位于轴下方
C．不存在单调递增区间D．有且仅有一个极值点
三、填空题
12．由线在处的切线方程是 .
13．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3，6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为 元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
14．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知数列满足，（）.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）数列满足：（），求数列的前项和.
16．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
18．某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%
（1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式;
（2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?
19．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)证明：对任意的且，都有：.
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.
【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，
故.
故选：C
2．B
【分析】求得，令时，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，可得，即质点在时的瞬时速度为.
故选：B.
3．C
【分析】利用等差数列求和，再判断数列是等差数列，再求前100项和.
【详解】等差数列，所以，
所以，因为，即数列是等差数列，
所以数列数列的前项的和为.
故选：C
4．A
【分析】求出导函数，由得函数增区间.
【详解】由题意得，令，得，故函数的单调递增区间是.
故选：A
5．C
【分析】根据等差数列的性质求出，再代入即可.
【详解】设数列的公差为，由题意可知，，，，
故，故，
则．
故选：C.
6．B
【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.
【详解】当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有，因此选项B正确；
当时，，单调递增，
所以在上没有极大值，因此选项C不正确；
当时，，单调递增，
因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，
所以选项A不正确，选项D不正确，
故选：B
7．D
【分析】引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式．
【详解】设，则，∵且，∴，∴在上单调递减，
不等式可化为，即，∴，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数，然后利用已知条件确定单调性后求解不等式．
8．D
【分析】利用函数单调性与导数正负的关系，分类讨论，，，与五种情况即可得解.
【详解】当时，单调递增，则，
此时，所以，满足题意；
当时，单调递减，则，
此时，所以，满足题意；
当时，单调递增，则，
此时，所以，不满足题意；
当时，易得，不满足题意；
当时，易得，则，不满足题意；
综上：或，即不等式的解集为.
故选：D.
9．BC
【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．
【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意；
故选：BC．
10．BCD
【分析】根据的值可得，利用累加法可得，再计算前5项的和即可判断B；由递推公式即可判断A；由即可判断C；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】因为，
，
，
……，
，
以上个式子累加可得：，
所以，故选项B正确；
由递推关系可知：，故选项A不正确；
当，，故选项C正确；
因为，
所以，
故选项D正确；
故选：BCD.
11．BD
【分析】求出函数定义域判断A，根据函数值的正负判断B，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D．
【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
，令，，
当时，，在上单调递增，，
当时，，此时，所以函数存在单调递增区间，所以C是错误的；
由，则，所以，函数单调增，
则函数只有一个根，使得，
当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以有且仅有一个极值点，所以D正确；
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键．
12．
【分析】首先求导得，求出切点为，切线斜率为，则得到切线方程.
【详解】时,,则切点为,,
故切线斜率，
所以切线方程:，化简得.
故答案为：.
13．4
【分析】写出利润函数的表达式，通过求导分析单调性求取最大值即可．
【详解】解析：商场每日销售该商品所获得的利润为


令，得x＝4或x＝6(舍去)．
故当时，当时．
则函数f(x)在(3，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，
∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42．
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．
14．
【分析】问题转化为函数的图像与直线有 2 个交点，利用导数研究函数单调性，作出函数图像，数形结合求实数的取值范围.
【详解】方程化为 ，令则问题转化为的图像与直线有 2 个交点，
因为，
当 时，单调递减，
当 时，，单调递增，
所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时， 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时， 的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，.
故答案为：
15．(1)证明见解析，；(2).
【分析】(1)将给定等式变形为，计算即可判断数列类型，再求出其通项而得解；
(2)利用(1)的结论求出数列的通项，然后利用错位相减法求解即得.
【详解】(1)因数列满足，，
则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，
所以数列是等比数列，，；
(2)由(1)知，
则
于是得， ，
所以数列的前项和.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用递推关系式和与的关系求解即可.
（2）由（1）可得，利用前项和表示出，即可得出结果.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）可知，
则，
则
.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解极值即可；
（2）在上单调递增转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用二次函数求解最值即可求解.
【详解】（1）当时，，
则，
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故，；
（2）因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，
又，
因为，所以，所以，
所以，所以，
故的取值范围是.
18．（1）；（2）9
【详解】（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，，
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，
的表达式为
设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，由，
该生产线前年每年平均的维护费用
当时，为递增数列，
当时，，也为递增数列，
又，，.
则第9年初需要更新该生产线.
19．(1)见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所求得，结合放缩法和累加法即可证明.
【详解】（1）函数定义域，
，
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时， 在单调递增；
当时， 在单调递增，在单调递减.
（2）当时，，
要证明，
即证，即证，
设，则，
令得，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，
故得证.
（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，
则，
所以
，
即，
所以.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，要善于运用转化法，整体代换转化进行放缩证明不等式.