中考数学（无锡卷）-2024年中考第一次模拟考试

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1、锻炼学生的心态。能够帮助同学们树立良好的心态，增加自己的自信心。
2、锻炼学生管理时间。通过模拟考试就会让同学们学会分配时间，学会取舍。
3、熟悉题型和考场。模拟考试是很接近中考的，让同学们提前感受到考场的气氛和布局。
中考的取胜除了平时必要的学习外，还要有一定的答题技巧和良好心态。此外，通过模拟考试还能增强学生们面对高考的信心，希望考生们能够重视模拟考试。
2024年中考第一次模拟考试（无锡卷）
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：140分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列各组数中，互为相反数的组是( )
A．和B．2023和
C．和2023D．和
【答案】A
【解析】解：A．和互为相反数，故A选项符合题意；
B．2023和互为倒数，故B选项不符合题意；
C．和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；
D．和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
2．已知，下列结论正确的是（ ）
A．当时，A的值是0B．当时，A的最小值为1
C．若A的值等于1，则D．若A的值等于2，则
【答案】D
【解析】解：当时，，A选项错误；
当时，，，，，即A的最小值小于1，B选项错误；
当时，，解得，此时分式无意义，故不合题意，C选项错误；
当时，，解得，D选项正确，
故选：D．
3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
4．下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：A中，正确，故不符合要求；
B中，正确，故不符合要求；
C中，正确，故不符合要求；
D ，错误，故符合要求；
故选：D．
5．若点是反比例函数图象上的点，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意画出函数图象得，
可知，．
故选：D．
6．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，得．
故选：B．
7．将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
8．如图，正方形和正方形，当正方形绕点逆时针旋转时，如图，连接、，并延长交于点若，，时，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：连结交于点，连结，如图，
正方形绕点逆时针旋转，
与互相垂直平分，且在上，
，
，
，
在中，；
由题意可得：相当于逆时针旋转90°得到，
，
，
，
．
故选：A．
9．如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是r，则的最大值是（ ）

A． B．C． D．
【答案】A
【解析】解：作直径，连接，

，
，
，
，
∵E，F分别是的中点，
是的中位线，
，
，
∴当长最大时，有最大值，
∴当是圆直径时，最大．
∴最大值是．
故选：A．
10．如图，在矩形中，为中点，以为边向上作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，记，，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．现以为直径作半圆，恰好经过点，交另一点于，记的面积为，的面积为，若，则的值为( )

A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】解：依题意得：四边形均为为正方形，
四边形均为矩形，
∵，点E为的中点，
∴，，，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．化学元素钉是除铁 、钻和镍以外，在室温下具有独特磁性的第四个元 素．钉的原子半径约．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：
12．若与互为相反数，则 ．
【答案】
【解析】解：∵与互为相反数，
∴，即，
∴．
故答案为．
13．不等式组的解集是 ．
【答案】
【解析】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
14．写出一个图象是曲线且过点的函数的解析式： ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：设反比例函数解析式为，
依题意，
∴一个图象是曲线且过点的函数的解析式是：，
故答案为：（答案不唯一）．
15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
【答案】
根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【解析】解：如图：

∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
故答案为：．
16．如图，已知平行四边形中，E为边上一点，连接，若，，，，则的长为 ．
【答案】6
【解析】解：作，如图所示：
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：6
17．我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率 ．（参考数据：，
【答案】3.12
【解析】解：圆内接正二十四边形的周长，
则，
故答案为3.12
18．如图，点A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．

【答案】y=﹣．
【解析】解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，

∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中，，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，），则OD=AE=，CD=OE=a，
∴C点坐标为（﹣，a），
∵﹣=﹣8，
∴点C在反比例函数y=﹣图象上．
故答案为：y=﹣．
三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；（2）用配方法解方程：．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：
，
20．计算：
(1)；(2)
【解析】（1）解：
；
（2）解：
21．如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当，时，求的长．
【解析】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，
(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．
(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．
【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，
∴恰好摸到相同卡片的概率为．
23．某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？
【解析】（1）解：在这组的人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有（个）数据，
∴中位数应是这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：（分），
故答案为：82分；
（3）∵样本中优秀的百分比为：，
∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：（人），
答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．
24．如图，在四边形中，．
(1)经过点A、B、D三点作；
(2)是否经过点C？请说明理由．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）经过点，理由如下：
连接，
∵，点为的中点，
∴，
∴点在上．
25．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…

任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
【解析】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，
∵是的外角，
∴，
又∵与都是弧所对的圆周角，
∴，
∴，
∴在点E时视角最大．
任务二：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，．
如图2，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
由题意得，(米)，
在中，(米)．
答：观察者应该站在距离米的地方最理想．
26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​
(1)如图2，两墙，的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．
【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则，解得：；
抛物线的表达式为，则点，即（米，
当时，，即顶点坐标为，
故答案为：3，；
（2）解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，解得，
抛物线的表达式为，
当时，（米，
点到地面的距离为2.25米；
（3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称，
抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，整理得；
当时，即，解得（不合题意的值已舍去）；
当时，同理可得，
故的取值范围为：．
27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形．
(2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．
(3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．
【解析】（1）双层四边形为矩形，
理由如下：由折叠的性质可得，，
，
，
，
同理可得，
四边形是矩形，
故答案为：矩；
（2）四边形为矩形，
，，，
，，
又为平行四边形，
，，
由折叠得，，
，
在与中，
，
，
，
由折叠得，，
，
又，
，
又，，
．
（3）有以下三种基本折法：
折法1中，如图所示：
由折叠的性质得：，，，，，
四边形是叠合正方形，
，
，
，；
折法2中，如图所示：
由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，
，
四边形是叠合正方形，
，正方形的面积，
，
，
设，则，
梯形的面积，
，
，
，
，
，
解得：，
，．
折法3中，如图所示，作于，
则，分别为，的中点，
则，，正方形的边长，
，，
．
综上所述：或11或．
28．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：∵，，则，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点作轴，垂足为，

∴，
又∵，则，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴，，
∴，
当时，四边形的面积最小，即为；
（3）解：存在，或，
当点在的右侧时，如图所示，

过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
当点在的右侧时，同理可得，
解得：或（舍去）
∴，
综上所述，或．