青海省百所名校2024届高三下学期二模考试理科数学试卷

这是一份青海省百所名校2024届高三下学期二模考试理科数学试卷，共12页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，若圆M，6%，已知函数则不等式的解集为，已知函数的定义域为等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.复数的虚部为（ ）
A.6B.-6C.8D.-8
3.已知为锐角，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若圆M：（）与双曲线C：的渐近线相切，则（ ）
A.1B.2C.D.
5.2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加
B.2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元
C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低
D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%
6.已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）
A.B.C.D.
8.在等差数列中，，，设，记为数列的前n项和，若，则（ ）
A.5B.6C.7D.8
9.已知函数则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
11.如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
12.已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：
①为奇函数；②；③：④在上单调递减.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A.①②B.①③C.②③④D.①②④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若x，y满足约束条件则的最大值为_____________.
14.青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示.若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为_____________.
15.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为____________.
16.已知P是正六边形边上任意一点，且，，则__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系.
（1）求y关于x的线性回归方程：
（2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润.
参考公式：，.
18.（12分）
在中，已知，D为上一点，，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
19.（12分）
如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.
（1）证明；⊥平面.
（2）若二面角的正弦值
20.（12分）
已知F是抛物线C：（）的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于.
（1）求C的方程；
（2）若l的斜率大于0，A在第一象限，过F与l垂直的直线和过A与x轴垂直的直线交于点D，且，求l的方程。
21.（12分）
已知函数，曲线在处的切线的斜率为.
（1）求a的值：
（2）证明：当时，.
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（t为参数）.
（1）写出及的普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标.
23.［选修4-5；不等式选讲］（10分）
已知a，b，c均为正实数，且，证明：
（1）；
（2）若，则.
高三数学试卷参考答案（理科）
1.B 当时，满足；当时，满足；当时，不满足.所以.
2.C ，所以复数z的虚部为8.
3.B 因为为锐角，，所以，.
4.A 双曲线C的渐近线方程为，不妨取，点到直线的距离为.因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以.
5.C 2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确.2017年至2022年该省年生产总量的极差为亿元，B正确.2021年该省年生产总量的增长速度比2020年高，C错误.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%，D正确.
6.D 结合二次函数的性质可得解得.
7.A 由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，.
8.B 设的公差为d.因为，所以，，则，，.因为，所以，解得.
9.A 函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在定义域上单调递减.因为，所以，解得.
10.D 当时，.由题意可得，解得.
11.D 取的中点为F.因为，面积为，所以梯形的高为，则，连接，所以为等边三角形，点F为梯形外接圆的圆心.连接，在中，根据余弦定理得，所以.因为，，所以，所以.因为，所以平面.过的中点F作交于点O，则平面，且O为的中点，所以点O为外接圆圆心，所以O为四棱锥外接球球心，所以外接球半径为，故表面积.
12.D 令，得，所以.
令，得，所以为奇函数，故①正确.
令，得，
所以，，故③错误.
因为，所以，…，，
所以，所以，故②正确.
当时，，所以在上单调递减，故④正确.
13.2 由题意，作出可行域（图略），数形结合可得当直线过点时，z取得最大值，最大值为2.
14. 豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，其概率为.
15. 设，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为.令，得，即.设O为坐标原点，因为|，所以，解得.
16. 以正六边形的中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，分别交y轴于点G，H，则，，，，，，，.
设，则，，.根据正六边形的对称性，不妨只研究点P位于y轴的左半部分的情况，分以下四种情形：
①当点P在上时，则，，则，不满足.
②当点P在上时，则，，则，不满足.
③当点P在上时，直线的方程为，则，.因为，所以，解得或（舍去），.
④当点P在上时，直线的方程为，则，不满足.
所以当时，，，，，，.
17.解：（1），.2分
，4分
，6分
，7分
.8分
故所求的线性回归方程为.9分
（2）由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元，故可预测该公司所获得的利润约为（千万元）.12分
18.解：（1）在中，，所以.3分
在中，，，所以.6分
故.8分
（2）在中，由余弦定理可得，
解得，10分
则.11分
故的面积为.12分
19.（1）证明：设D为的中点，连接，，.
在中，因为，，所以四边形是正方形.
因为，所以是等腰直角三角形，.
因为，所以平面.4分
因为平面，所以.
在中，，O为的中点，所以.
因为，所以平面.6分
（2）解：设三棱柱的棱长为，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.，，.7分
设平面的法向量为，
则可取.8分
设平面的法向量为，
则可取.
因为平面平面，所以平面的一个法向量为.10分
，，
故二面角的正弦值为.12分
20.解：（1）由题意得C的焦点为，准线为直线，1分
则A，B到准线的距离之和等于.2分
因为，所以，且，得.
故C的方程为.4分
（2）设l：（），（），，
由得，则6分
所以.7分
设，由，得，即，9分
所以.10分
由，得，代入，得，即.
故l的方程为.12分
21.（1）解：，
，解得.4分
（2）证明：结合（1）可得，即证.6分
设函数，.
当时，，在上单调递增，
.8分
设函数，.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
.11分
所以，得证.12分
22.解：（1），即.
，所以，所以的普通方程为（）.2分
，即.
因为，所以，所以的普通方程为（）.5分
（2）联立解得或或8分
与交点的直角坐标为，，.9分
与交点的极坐标为，，.10分
注：第（1）问，的普通方程中x的范围写成，的普通方程中x的范围写成不扣分；若及的普通方程没有给出x的范围，则扣1分.
第（2）问答案，交点的极坐标写成其他形式，只要符合题意，不扣分，如极坐标写成.
23.证明：（1）
3分
，当且仅当，即，，时，等号成立5分
（2）因为，由（1）得，所以.7分
因为，所以，
所以.10分
年份
2018
2019
2020
2021
2022
广告费用x/百万元
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
利润y/千万元
1.6
2
2.4
2.5
3