2024届上海金山区高三二模数学试卷及答案

这是一份2024届上海金山区高三二模数学试卷及答案，共9页。
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
（答案请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则___________．
2．已知向量，，若，则实数的值为___________．
3．函数的定义域是___________．
4．已知复数满足，则的模为___________．
5．设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________．
6．若长方体的体积是，为棱的中点，则三棱锥的体积是___________．
7．设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．
8．已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是___________．
9．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如右图所示列联表：
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则(40，)的最小值为___________．
（第9题图）
(参考公式：；
参考值：）
10．在的展开式中，记项的系数为，则___________．
（第11题图）
11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m)
12．已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为( )．
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8
14．下列说法不正确的是( )．
(A) 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
(B) 若随机变量服从正态分布，且，则
(C) 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
(D) 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
15．如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是( )．
(A) (B)
（第15题图）
(C) 、、三点共线 (D) 直线与相交
16．设，有如下两个命题：
①函数的图像与圆有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图像上．
则下列说法正确的是( )．
(A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②不正确
(C) ①不正确，②正确 (D) ①不正确，②不正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，记，，，．
（1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
（2）若，，函数有零点，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．
（1）求证：；
（第18题图）
（2）若，，求二面角的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）
有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．
（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、．
（1）证明：点到右焦点的距离为；
（2）设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程；
（3）当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．
（1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；
（2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；
（3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ；
7． ； 8． ； 9． ； 10． ； 11． ； 12． ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13． D； 14． A； 15． D； 16． B．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（1）因为函数的最小正周期，所以． ………… 3分
当时，，所以，得，
因为，所以取得． ………… 6分
（2）当，时，，，
设．
由题意得，在有解． ………… 8分
解法一： 化简得．又因为在上严格减，…………10分
所以． ………… 14分
解法二：记,由根的分布可得， ………… 10分
所以． ………… 14分
18．（1）因为，所以是直线与所成角，为，………… 2分
所以，得，
又因为，且，
所以平面， ………… 4分
由平面，得． ………… 6分
（2）解法一：取的中点，连接，，．
因为，
所以四边形为菱形，
所以．
取中点，连接，，．
则，，
所以为所求二面角的平面角． ………… 10分
又，所以．
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此为等边三角形，
故所求的角为． ………… 14分
解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，，，，
故，，，
设是平面的一个法向量．
由可得，
取，可得平面的一个法向量． ………… 8分
设是平面的一个法向量．
由可得，
取，可得平面的一个法向量． ………… 10分
所以．
因此所求的角为． …………14分
19．（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； ………… 5分
（2）由题可知可取，， ………… 7分
， ………… 9分
， ………… 11分
所以3号盒子里的红球的个数的分布列为， ………… 12分
． ………… 13分
猜想． ………… 14分
20．（1）由，得 ………… 2分
………… 4分
（2）设直线的方程为，
联立 消去，得．
由，得．
从而，． ………… 6分
又，．
由与平行，得， ………… 8分
解得，
故直线的方程为． …………10分
（3）设直线的方程为，
联立 消去，得，
从而
由，
得，即， ………… 12分
亦即，
化简，整理得，
即，从而． ………… 15分
又圆心到直线的距离，
故直线与圆相切． ………… 18分
21．（1）不是关于的“函数”． ………… 2分
解法一：当时，，所以不存在，使得 …… 4分
解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，不存在，使得． ………… 4分
（2）设．
由题意，存在，使得．
因为函数是关于的“函数”，
所以存在，满足，
从而． ………… 6分
同理，由是关于的“函数”，
可得， ………… 8分
综上，． ………… 10分
（3）记集合，．
由是关于的“函数”，得．
①当时， ，，
从而 解得．
因唯一，令，解得(舍)或(舍)． ………… 12分
②当时，，，
从而 解得．
因唯一，令，解得，符合题意． ………… 14分
③当时，，，
从而 解得．
因唯一，令，解得，符合题意． ………… 16分
综上，的所有可能值为或． ……… 18分