2024届上海长宁区高三二模数学试卷及答案

这是一份2024届上海长宁区高三二模数学试卷及答案，共8页。
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知集合，，若，则_______.
2. 不等式的解集为________.
3. 在的展开式中的系数为_______.
4. 在△中，角所对的边分别为，若，则____.
5. 若，则_________.
6. 直线与直线夹角的大小为________.
7. 收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中________.（填：有关或无关）
8. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. 若，则实数的取值范围为________.
9. 用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要_____平方米铁皮.
10.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，，，则点的横坐标为_________.
11. 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
出租车空驶率.依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%，则______.（精确到0.01）
12.已知平面向量、、满足：，，若，则的最小值为_______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设，则“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；
C.充要条件； D.既不充分也不必要条件．
14. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ）.
A. 若，，则； B. 若，，则；
C.若，，则； D.若，，则．
15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6， 9.7， 9.5， 9.9， 9.4， 9.8， 9.3， 10.0.
已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为0.25，则的取值不可能是（ ）
A．65； B．70； C．75； D．80.
16.设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质.
= 1 \* GB3 ①存在等差数列具有性质； = 2 \* GB3 ②不存在等比数列具有性质.
对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）
A.= 1 \* GB3①是真命题，= 2 \* GB3②是真命题； B. = 1 \* GB3①是真命题，= 2 \* GB3②是假命题；
C.= 1 \* GB3①是假命题，= 2 \* GB3②是真命题； D. = 1 \* GB3①是假命题，= 2 \* GB3②是假命题.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
设.
（1）某同学用“五点法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
请在答题卷上将上表▲处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）设，，，求函数值域.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
如图，在长方体中，，.
（1）求二面角的大小；
（2）若点在直线上，求证：直线平面.
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.
（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；
（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望和方差.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
已知椭圆，为坐标原点.
（1）求的离心率；
（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；
（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于、两点. 试探究：是否为存在常数，使得恒成立，若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界.
记集合在区间上是严格增函数.
（1）求函数的上确界；
（2）若，求的最大值；
（3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0.
2023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷
参考答案和评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 2； 2. ； 3. 4； 4. ； 5. 1； 6.
7.无关； 8. ； 9. ； 10. ； 11. 20.68； 12.2
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13. C； 14. C； 15. D； 16. B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）
. 每空2分，解析式2分
（2）
， ……..4分
因为，所以，进而， …….6分
所以函数的值域为 ………8分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）设与相交与，连接
因为为正方形，所以，
又因为平面，所以， …….2分
所以即为二面角的平面角， ……..4分
由已知，所以，
二面角的大小为. ……..6分
（2）连接、
因为，所以平面， …….2分
因为，所以平面， ……..4分
所以平面平面， ………6分
因为直线平面，所以直线平面. ………8分
方法二：以、、为轴，建立空间直角坐标系. 则
，，，， ………2分
因为点在直线上，所以可设， ……..4分
设平面的法向量为，
由，，得，，
所以可取， ……..6分
因为，所以，进而，
又因为不在平面上，所以直线平面. …….8分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为， …….2分
第一次取出红球，第二次取出红球的概率为
第一次取出白球，第二次取出红球的概率为 ……..4分
所以第二次取出的球是红球的概率为 ………6分
（2），，，
所以的分布为， ……….4分
……..6分
，
所以， …….8分
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
解：（1）设的半长轴长为，半焦距为，
则，， ………2分
所以. ……..4分
（2）设，
， ……2分
因为， ……3分
所以当时，取得最小值为， ……..4分
当时，取得最大值为. …….6分
（3）设，，，
则直线， ………2分
， ………3分
，
………4分
将直线方程代入椭圆方程得
所以，， ……..5分
, ……..6分
得，
所以存在，使得恒成立. ……..8分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
（1）解：函数在区间严格减,
所以函数的值域为， ……2分
进而函数的上确界为2. ……4分
（2）解：，， ……2分
由已知，当时，恒成立， ………4分
因为，所以.
所以的最大值为4 ………6分
（3）证明：因为函数有上界，设.
假设存在，使得，设，
因为,所以在上严格增，进而
得，， ……3分
取，且，
由，得= 1 \* GB3①
由，得= 2 \* GB3②
= 1 \* GB3①式与= 2 \* GB3②式矛盾，所以假设不成立，
即对于任意，均有. ……6分
令，则
因为当时，，
所以在上严格增，
因为的值域为，
所以函数的上确界为0. ……8分
甲
乙
丙
接单量t（单）
7831
8225
8338
油费s（元）
107150
110264
110376
平均每单里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油费a（元）
0.7
0.7
0.7
0
▲
0
1
▲
0
0
0
1
0
0