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2024年安徽省合肥市新站高新区卓越中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年安徽省合肥市新站高新区卓越中学中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个数中，最大的数是( )
A. −1B. 0C. 5D. 2
2.某几何体如图所示，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.2024年2月22日，雨雪加持，合肥地铁的客流量达到了175.33万人次，将175.33万用科学说数法表示为( )
A. 1.7533×105B. 1.7533×106C. 17.533×105D. 1.7533×107
4.下列运算正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (ab)2=ab2C. a6+a6=a12D. b2+b2=2b2
5.如图，把一块含有45°的直角三角尺的两个锐角顶点放在直尺的对边上，若∠1=20°，则∠2的大小为( )
A. 25°B. 20°C. 15°D. 30°
6.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是( )
A. (40−3x)(25−2x)=200B. (40−4x)(25−2x)=600
C. 40×25−80x−100x+8x2=200D. 40×25−80x−100x=600
7.实验室的试管架上有三个试管，分别装有NaOH，KOH，HCl溶液，某同学将酚酞试剂随机滴入两个试管内，则试管中溶液同时变红的概率为( )
A. 13B. 12C. 16D. 23
8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上.若∠BAC=30°.则∠ADC的大小是( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
9.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为( )
A. 973
B. 972
C. 3 5
D. 3 6
10.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 不存在
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：xy3−25xy= ______．
12.如果关于x的方程x2−3x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是______．
13.如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线y=kx在第一象限经过点D，则k=______．
14.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿MN折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．
(1)若点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，已知∠DMN=70°，则∠MGC= ______；
(2)若点D恰好与点B重合，则折痕MN的长是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：| 3−2|−(2024−π)0+2sin60°+(−13)−1．
16.(本小题8分)
图1，2，3都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上.在给定的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
(1)在图1中画格点△ABC，使△ABC的面积是10且是轴对称图形；
(2)在图2中的线段AB上找一点D，使AD=2BD；
17.(本小题8分)
在数学习题课中，同学们为了求12+122+123+124+125+…+12n的值，进行了如下探索：
(1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折．
(ⅰ)求图1中部分④的面积；
(ⅱ)请你利用图形求12+122+123+124+125的值；
(ⅲ)受此启发，请求出12+122+123+124+…+12n的值；
(2)请你利用备用图，再设计一个能求12+122+123+124+125的值的几何图形．
18.(本小题8分)
道路积雪，现有28人参与清扫，需要3人扫雪并配合1人运雪，应安排多少人扫雪，多少人运雪？
19.(本小题10分)
已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．
(参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01)
20.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
(1)求证：AF=DF．
(2)若AF=52，sin∠ABD= 55，求⊙O的半径．
21.(本小题12分)
为调查班级学生最喜爱的贺岁电影：A.《热辣滚烫》、B.《第二十一条》、C.《飞驰人生》、D.《熊出没逆转时空》.每名学生从中选择一种最喜欢的电影，班级就最喜欢的电影对学生进行了调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为______；
(3)本次调查中，在最喜欢《熊出没逆转时空》的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学，若从这四位同学中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率．
22.(本小题12分)
已知，如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则有AC2=AD⋅AB，尝试运用此结论解决下列问题：
(1)如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长；
(2)如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE与△DFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连接GC交DF于点M，GC//FE，若AD=2，求GM的长．
23.(本小题14分)
如图，二次函数y=m(x−2)(x−4)图象与x轴交于点B，点C(点B在点C左边)，与y轴交于点D，抛物线的顶点为点E，m>0．
(1)点B坐标______，点C坐标______，点E坐标______(用含m的代数式表示)；
(2)连接BD，将原点O关于直线BD作轴对称变换得到点O′，若点O恰好落在抛物线的对称轴上，求此时m的值；
(3)过BD中点H作线段BD的垂线，交抛物线对称轴于点F.分别连接FD，FB，BE，CE，若△FDB∽△EBC，求此时m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 5> 4=2，
∴ 5>2>0>−1，
四个数中最大的数是 5，
故选：C．
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握比较大小的法则．
2.【答案】D
【解析】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，
故选：D．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
3.【答案】B
【解析】解：175.33万=1753300=1.7533×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A、x3⋅x2=x3+2=x5，故本选项错误；
B、(ab)2=a2b2，故本选项错误；
C、a6+a6=2a6，故本选项错误；
D、b2+b2=2b2，故本选项正确．
故选D．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
本题考查了积的乘方的性质，同底数幂的乘法以及合并同类项法则，熟练掌握各性质并灵活运用是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵直尺的两边互相平行，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°−∠3=45°−20°=25°．
故选：A．
先根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵人行通道的宽度为x m，
∴每个展位的长为(25−2x)m，宽为40−4x3m.
依题意得：40−4x3⋅(25−2x)=200，
即(40−4x)(25−2x)=600．
故选：B．
由人行通道的宽度为xm，可得出每个展位的长为(25−2x)m，宽为40−4x3m，根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：(NaOH,KOH)，(KOH,NaOH)，共2种，
∴试管中溶液同时变红的概率为26=13．
故选：A．
列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠ADC=180°−60°=120°，
故选：B．
连接BC，利用AB是直径得出∠ACB=90°，进而利用圆内解四边形的性质解答即可．
此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是利用AB是直径得出∠ACB=90°．
9.【答案】A
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AE于F，延长AD，BC交于点G，如下图所示：
∵AB=AC=5，BC=6，AE⊥BC，
∴BE=CE=1/2BC=3，
∵AE⊥BC，DF⊥AE，∠BCD=90°，
∴四边形EFDC为矩形，
∴DF//BC，AE//CD，
∴∠CBD=∠FDB，∠ADF=∠G，
∵∠ADB=2∠CBD，
∴∠ADF+∠FDB=2∠CBD，
即∠ADF+∠CBD=2∠CBD，
∴∠ADF=∠CBD，
∴∠CBD=∠G，
∴BD=GD，
又∵∠BCD=90°，
∴BC=GC=6，
∴EG=CE+GC=3+6=9，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，
由勾股定理得：AE= AB2−BE2=4，
在Rt△AEG中，AE=4，EG=9，
由勾股定理得：AG= AE2+EG2= 97，
∵AE//CD，
∴△GDC∽△GAE，
∴GD：GA=GC：EG，
即GD： 97=6：9，
∴GD=2 973，
∴AD=AG−GD= 97−2 973= 973．
故选：A．
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AE于F，延长AD，BC交于点G，根据等腰三角形的性质得BE=CE=3，证四边形EFDC为矩形得DF//BC，AE//CD，进而可证∠ADF=∠CBD=∠G，则BD=GD，由此得BC=GC=6，则EG=CE+GC=9，据此可得AE=4，AG= 97，然后证△GDC和△GAE相似得GD=2 973，据此可得AD的长．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，准确地作出辅助线构造矩形，等腰三角形和相似三角形是解决问题的难点．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△BAD∽△CAE，
∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠DCE=90°，
∵DP=PE，
∴CP=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小，
∵AB=6，AC=8，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 62+82=10，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD=AB⋅ACBC=6×810=245，
∵ABAC=ADAE=68=34，
∴ADDE=35，
∴DE=53AD=8，
∴CP的最小值为12×8=4，
故选：B．
根据相似三角形的判定与性质，证明∠DCE=90°，推出CP=12DE，求出DE的最小值，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】xy(x+5)(x−5)
【解析】解：原式=xy(y2−25)=xy(y+5)(y−5)．
故答案为：xy(y+5)(y−5)．
先提公因式xy，然后根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】m>94
【解析】解：∵关于x的方程x2−3x+m=0没有实数根，
∴b2−4ac=(−3)2−4×1×m<0，
解得：m>94，
故答案为：m>94．
根据根的判别式得出b2−4ac<0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出(−3)2−4×1×m<0是解此题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：过点D作DE⊥x轴于点E，设D(x,y)，
∵直线y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A(1,0)、B(0,3)，
根据一线三等角及AB=AD得：△ABO≌△DAE(AAS)，
∴DE=AO=1，AE=OB=3，
∴OE=4，
∴D(4,1)，
∴k=4．
故答案为：4．
利用三角形全等求出线段的长度，从而得出点的坐标，得出k的值．
本题考查了反比例函解析式的求法，利用全等求线段的长度得点的坐标是解题的关键．
14.【答案】40° 2 5
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DMG+∠MGC=180°，
由折叠，∠FMN=∠DMN=70°，
∴∠MGC=180°−∠DMG=180°−2×70°=40°，
故答案为：40°．
(2)如图所示，连接BD，BM，DN，
依题意，点D恰好与点B重合，则BD⊥MN，BO=DO，MB=MD，NB=ND，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠MDO=∠NBO，
又∵∠MOD=∠NOB，
∴△MOD≌△NOB(SSS)，
∴MD=BN，
∴BM=MD=BN=ND，
∴四边形MBND是菱形，
∵AB=4，AD=8，
∴BD= AB2+AD2=4 5，
设MD=BN=x，则Rt△ABM中，BM2=AM2+AB2，
∴x2=(8−x)2+42，
解得：x=5，
∴MD=5，
∵12MN×BD=MD×AB，
∴MN=2MD×ABDB=2×5×44 5=2 5，
故答案为：2 5．
(1)根据折叠的性质得出∠FMN=∠DMN=70°，根据平行线的性质得出∠DMG+∠MGC=180°，即可求解．
(2)根据题意画出图形，证明四边形MBND是菱形，根据勾股定理求得边长，进而等面积法即可求解．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
15.【答案】解：| 3−2|−(2024−π)0+2sin60°+(−13)−1
=2− 3−1+2× 32−3
=2− 3−1+ 3−3
=−2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16.【答案】解：(1)如图所示，△ABC即为所求．
(2)如图所示，点D即为所求．
【解析】(1)以AB为底，根据面积可确定高，即可求作；
(2)取AM=2，BN=1，连接MN交AB于P，即可求作．
本题考查了作图−轴对称变换，掌握图形特征，找出作法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(i)由题意可得，
部分④的面积是124=116；
(ii)由题意可得，
12+122+123+124+125=1−125=1−132=3132；
(iii)12+122+123+124+…+12n=1−12n；
(2)设计的图形如图所示．(答案不唯一)
【解析】(1)(i)根据题目中的图形和题意，可以得到部分④的面积；
(ii)根据图形，可以写出所求式子的值；
(iii)根据(ii)中的结果，可以直接写出所求式子的值；
(2)将长方形分成两个相等的三角形，然后继续分割两个小一点的相等的三角形，依次继续分割即可，本题答案不唯一，只要合理即可．
本题考查了翻折变换的性质、图形的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：设安排x人扫雪，则安排(28−x)人运雪，
根据题意得：x=3(28−x)，
解得：x=21，
∴28−x=28−21=7(人)．
答：应安排21人扫雪，7人运雪．
【解析】设安排x人扫雪，则安排(28−x)人运雪，根据扫雪的人数是运雪人数的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴AHPH=512，
设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，
∴13k=26，
解得k=2，
∴AH=10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
(2)延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC//PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD，
设BC=x，则x+10=24+DH，
∴AC=DH=x−14，
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx−14≈4.01.
解得x≈19.
答：古塔BC的高度约为19米．
【解析】(1)先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AHPH=512，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．
(2)先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC//PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x−14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出x的值即可．
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
20.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF．
(2)∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵sin∠ABD= 55=ADAB，
设AD= 5x，AB=5x，
∴BD= (5x)2−( 5x)2=2 5x.
∵sin∠ABD= 55=DEBD，
∴DE=2x，
∴BE= (2 5x)2−(2x)2=4x，
∴AE=x，EF=DE−DF=DE−AF=2x−52．
在Rt△AEF中，
AF2=AE2+EF2，∴(52)2=x2+(2x−52)2，
解得x=2或x=0(舍去)，
∴AB=5x=10，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)根据sin∠ABD= 55=ADAB，设设AD= 5x，AB=5x，根据勾股定理求出BD=2 5x，再根据sin∠ABD= 55=DEBD，求出DE，BE，AE，EF，在Rt△AEF中，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
21.【答案】50 108°
【解析】解：(1)本次调查的学生共有：10÷20%=50(人)，
∴B组的人数为：50−20−10−15=5(人)，
故答案为：50；
补全统计图如下：
(2)“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为：360°×1550=108°，
故答案为：108°；
(3)画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴选出两人恰好是甲和乙的概率为212=16．
(1)由C的人数除以所占百分比求出本次调查的学生总人数，再用总人数减去其它组的人数求出B的人数，进而补全统计图即可；
(2)由360°乘以“D.《熊出没逆转时空》”所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)∵FB=2AF，
∴AB=AF+BF=3AF，
在矩形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠ADC=90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴AECE=AFCD=13，
∴CE=3AE，
∴AC=4AE，
∵DF⊥AC，
由题干可得，DA2=AE⋅AC，
∴22=AE⋅4AE，
∴AE=1；
(2)在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=∠A=90°，
∴∠ADF+∠CDM=90°，
∵△DCE与△DFE关于直线DE对称，
∴△DFE≌△DCE，
∴∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，
∵GC//FE，
∴DM⊥GC，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADF=∠DCM，
在△CDM和△DFA中，
∠CDF=∠DFA∠ADF=∠DCMDC=DF，
∴△CDM≌△DFA(ASA)，
∴CM=DA=2，
∵G是AD的中点，
∴DG=GA=1，
由题干可得，DG2=GM⋅GC，
设GM=x，则CG=GM+CM=x+2，
∴12=x(x+2)，
解得x1= 2−1，x2=− 2−1(舍去)，
∴GM的长为 2−1．
【解析】(1)由矩形的性质得，AB//CD，从而得到△AFE∽△CDE，即AECE=AFCD=13，由题干可得，DA2=AE⋅AC，从而得到22=AE⋅4AE，计算即可得到答案；
(2)由△DCE与△DFE关于直线DE对称，得△DFE≌△DCE，从而得到∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，再通过证明△CDM≌△DFA得到CM=DA=2，由题干可得，DG2=GM⋅GC，设GM=x，则CG=GM+CM=x+2，12=x(x+2)，解方程求出x的值即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键．
23.【答案】(2,0) (4,0) (3,−m)
【解析】解：(1)对于y=m(x−2)(x−4)，当x=0时，y=8m，即点D(0,8m)，
令y=m(x−2)(x−4)=0，则x=2或4，即点B、C的坐标分别为：(2,0)、(4,0)，
当x=3时，y=m(x−2)(x−4)=−m，即点E(3,−m)，
故答案为：(2,0)、(4,0)、(3,−m)；
(2)连接OO′，则BD⊥OO′，
设∠ODB=α，
∵∠ODB+∠=90°，∠O′OB+∠DBO=90°，
∴∠ODB=α=∠O′OB，
在Rt△BOD中，tan∠OBD=OBOD=28m=14m=tanα，
则sinα=1 16m2+1，csα=4m 16m2+1，
则OE=OO′⋅csα=2OD⋅sinα⋅csα=2×8m×1 16m2+1×=4m 16m2+1=3，
解得：m= 34(不合题意的值已舍去)；
(3)由点B、D的坐标得，点H(1,4m)，直线BD的表达式为：y=−4mx+8m，
则直线FH的表达式为：y=14m(x−1)+4m，
当x=3时，y=14m(x−1)+4m=12m+4m，点F(3,12m+4m)，
∵△FDB∽△EBC，
则BDBC=BFEC，即(BDBC)2=(BFEC)2，
即64m2+44=1+(12m+4m)2m2+1，
整理得：(16m2+1)(4m4−1)=0，
解得：m= 22(不合题意的值已舍去)．
(1)令y=m(x−2)(x−4)=0，则x=2或4，即点B、C的坐标分别为：(2,0)、(4,0)，当x=3时，y=m(x−2)(x−4)=−m，即点E(3,−m)，即可求解；
(2)由OE=OO′⋅csα=2OD⋅sinα⋅csα=2×8m×1 16m2+1×=4m 16m2+1=3，即可求解；
(3)由BDBC=BFEC，即(BDBC)2=(BFEC)2，即64m2+44=1+(12m+4m)2m2+1，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，正确的运算能力是解题的关键．NaOH
KOH
HCl
NaOH
(NaOH,KOH)
(NaOH,HCl)
KOH
(KOH,NaOH)
(KOH,HCl)
HCl
(HCl,NaOH)
(HCl,KOH)
1.下列四个数中，最大的数是( )
A. −1B. 0C. 5D. 2
2.某几何体如图所示，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.2024年2月22日，雨雪加持，合肥地铁的客流量达到了175.33万人次，将175.33万用科学说数法表示为( )
A. 1.7533×105B. 1.7533×106C. 17.533×105D. 1.7533×107
4.下列运算正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (ab)2=ab2C. a6+a6=a12D. b2+b2=2b2
5.如图，把一块含有45°的直角三角尺的两个锐角顶点放在直尺的对边上，若∠1=20°，则∠2的大小为( )
A. 25°B. 20°C. 15°D. 30°
6.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是( )
A. (40−3x)(25−2x)=200B. (40−4x)(25−2x)=600
C. 40×25−80x−100x+8x2=200D. 40×25−80x−100x=600
7.实验室的试管架上有三个试管，分别装有NaOH，KOH，HCl溶液，某同学将酚酞试剂随机滴入两个试管内，则试管中溶液同时变红的概率为( )
A. 13B. 12C. 16D. 23
8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上.若∠BAC=30°.则∠ADC的大小是( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
9.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为( )
A. 973
B. 972
C. 3 5
D. 3 6
10.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 不存在
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：xy3−25xy= ______．
12.如果关于x的方程x2−3x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是______．
13.如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线y=kx在第一象限经过点D，则k=______．
14.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿MN折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．
(1)若点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，已知∠DMN=70°，则∠MGC= ______；
(2)若点D恰好与点B重合，则折痕MN的长是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：| 3−2|−(2024−π)0+2sin60°+(−13)−1．
16.(本小题8分)
图1，2，3都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上.在给定的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
(1)在图1中画格点△ABC，使△ABC的面积是10且是轴对称图形；
(2)在图2中的线段AB上找一点D，使AD=2BD；
17.(本小题8分)
在数学习题课中，同学们为了求12+122+123+124+125+…+12n的值，进行了如下探索：
(1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折．
(ⅰ)求图1中部分④的面积；
(ⅱ)请你利用图形求12+122+123+124+125的值；
(ⅲ)受此启发，请求出12+122+123+124+…+12n的值；
(2)请你利用备用图，再设计一个能求12+122+123+124+125的值的几何图形．
18.(本小题8分)
道路积雪，现有28人参与清扫，需要3人扫雪并配合1人运雪，应安排多少人扫雪，多少人运雪？
19.(本小题10分)
已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．
(参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01)
20.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
(1)求证：AF=DF．
(2)若AF=52，sin∠ABD= 55，求⊙O的半径．
21.(本小题12分)
为调查班级学生最喜爱的贺岁电影：A.《热辣滚烫》、B.《第二十一条》、C.《飞驰人生》、D.《熊出没逆转时空》.每名学生从中选择一种最喜欢的电影，班级就最喜欢的电影对学生进行了调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为______；
(3)本次调查中，在最喜欢《熊出没逆转时空》的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学，若从这四位同学中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率．
22.(本小题12分)
已知，如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则有AC2=AD⋅AB，尝试运用此结论解决下列问题：
(1)如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长；
(2)如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE与△DFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连接GC交DF于点M，GC//FE，若AD=2，求GM的长．
23.(本小题14分)
如图，二次函数y=m(x−2)(x−4)图象与x轴交于点B，点C(点B在点C左边)，与y轴交于点D，抛物线的顶点为点E，m>0．
(1)点B坐标______，点C坐标______，点E坐标______(用含m的代数式表示)；
(2)连接BD，将原点O关于直线BD作轴对称变换得到点O′，若点O恰好落在抛物线的对称轴上，求此时m的值；
(3)过BD中点H作线段BD的垂线，交抛物线对称轴于点F.分别连接FD，FB，BE，CE，若△FDB∽△EBC，求此时m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 5> 4=2，
∴ 5>2>0>−1，
四个数中最大的数是 5，
故选：C．
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握比较大小的法则．
2.【答案】D
【解析】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，
故选：D．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
3.【答案】B
【解析】解：175.33万=1753300=1.7533×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A、x3⋅x2=x3+2=x5，故本选项错误；
B、(ab)2=a2b2，故本选项错误；
C、a6+a6=2a6，故本选项错误；
D、b2+b2=2b2，故本选项正确．
故选D．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
本题考查了积的乘方的性质，同底数幂的乘法以及合并同类项法则，熟练掌握各性质并灵活运用是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵直尺的两边互相平行，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°−∠3=45°−20°=25°．
故选：A．
先根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵人行通道的宽度为x m，
∴每个展位的长为(25−2x)m，宽为40−4x3m.
依题意得：40−4x3⋅(25−2x)=200，
即(40−4x)(25−2x)=600．
故选：B．
由人行通道的宽度为xm，可得出每个展位的长为(25−2x)m，宽为40−4x3m，根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：(NaOH,KOH)，(KOH,NaOH)，共2种，
∴试管中溶液同时变红的概率为26=13．
故选：A．
列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠ADC=180°−60°=120°，
故选：B．
连接BC，利用AB是直径得出∠ACB=90°，进而利用圆内解四边形的性质解答即可．
此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是利用AB是直径得出∠ACB=90°．
9.【答案】A
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AE于F，延长AD，BC交于点G，如下图所示：
∵AB=AC=5，BC=6，AE⊥BC，
∴BE=CE=1/2BC=3，
∵AE⊥BC，DF⊥AE，∠BCD=90°，
∴四边形EFDC为矩形，
∴DF//BC，AE//CD，
∴∠CBD=∠FDB，∠ADF=∠G，
∵∠ADB=2∠CBD，
∴∠ADF+∠FDB=2∠CBD，
即∠ADF+∠CBD=2∠CBD，
∴∠ADF=∠CBD，
∴∠CBD=∠G，
∴BD=GD，
又∵∠BCD=90°，
∴BC=GC=6，
∴EG=CE+GC=3+6=9，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，
由勾股定理得：AE= AB2−BE2=4，
在Rt△AEG中，AE=4，EG=9，
由勾股定理得：AG= AE2+EG2= 97，
∵AE//CD，
∴△GDC∽△GAE，
∴GD：GA=GC：EG，
即GD： 97=6：9，
∴GD=2 973，
∴AD=AG−GD= 97−2 973= 973．
故选：A．
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AE于F，延长AD，BC交于点G，根据等腰三角形的性质得BE=CE=3，证四边形EFDC为矩形得DF//BC，AE//CD，进而可证∠ADF=∠CBD=∠G，则BD=GD，由此得BC=GC=6，则EG=CE+GC=9，据此可得AE=4，AG= 97，然后证△GDC和△GAE相似得GD=2 973，据此可得AD的长．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，准确地作出辅助线构造矩形，等腰三角形和相似三角形是解决问题的难点．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△BAD∽△CAE，
∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠DCE=90°，
∵DP=PE，
∴CP=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小，
∵AB=6，AC=8，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 62+82=10，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD=AB⋅ACBC=6×810=245，
∵ABAC=ADAE=68=34，
∴ADDE=35，
∴DE=53AD=8，
∴CP的最小值为12×8=4，
故选：B．
根据相似三角形的判定与性质，证明∠DCE=90°，推出CP=12DE，求出DE的最小值，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】xy(x+5)(x−5)
【解析】解：原式=xy(y2−25)=xy(y+5)(y−5)．
故答案为：xy(y+5)(y−5)．
先提公因式xy，然后根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】m>94
【解析】解：∵关于x的方程x2−3x+m=0没有实数根，
∴b2−4ac=(−3)2−4×1×m<0，
解得：m>94，
故答案为：m>94．
根据根的判别式得出b2−4ac<0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出(−3)2−4×1×m<0是解此题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：过点D作DE⊥x轴于点E，设D(x,y)，
∵直线y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A(1,0)、B(0,3)，
根据一线三等角及AB=AD得：△ABO≌△DAE(AAS)，
∴DE=AO=1，AE=OB=3，
∴OE=4，
∴D(4,1)，
∴k=4．
故答案为：4．
利用三角形全等求出线段的长度，从而得出点的坐标，得出k的值．
本题考查了反比例函解析式的求法，利用全等求线段的长度得点的坐标是解题的关键．
14.【答案】40° 2 5
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DMG+∠MGC=180°，
由折叠，∠FMN=∠DMN=70°，
∴∠MGC=180°−∠DMG=180°−2×70°=40°，
故答案为：40°．
(2)如图所示，连接BD，BM，DN，
依题意，点D恰好与点B重合，则BD⊥MN，BO=DO，MB=MD，NB=ND，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠MDO=∠NBO，
又∵∠MOD=∠NOB，
∴△MOD≌△NOB(SSS)，
∴MD=BN，
∴BM=MD=BN=ND，
∴四边形MBND是菱形，
∵AB=4，AD=8，
∴BD= AB2+AD2=4 5，
设MD=BN=x，则Rt△ABM中，BM2=AM2+AB2，
∴x2=(8−x)2+42，
解得：x=5，
∴MD=5，
∵12MN×BD=MD×AB，
∴MN=2MD×ABDB=2×5×44 5=2 5，
故答案为：2 5．
(1)根据折叠的性质得出∠FMN=∠DMN=70°，根据平行线的性质得出∠DMG+∠MGC=180°，即可求解．
(2)根据题意画出图形，证明四边形MBND是菱形，根据勾股定理求得边长，进而等面积法即可求解．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
15.【答案】解：| 3−2|−(2024−π)0+2sin60°+(−13)−1
=2− 3−1+2× 32−3
=2− 3−1+ 3−3
=−2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16.【答案】解：(1)如图所示，△ABC即为所求．
(2)如图所示，点D即为所求．
【解析】(1)以AB为底，根据面积可确定高，即可求作；
(2)取AM=2，BN=1，连接MN交AB于P，即可求作．
本题考查了作图−轴对称变换，掌握图形特征，找出作法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(i)由题意可得，
部分④的面积是124=116；
(ii)由题意可得，
12+122+123+124+125=1−125=1−132=3132；
(iii)12+122+123+124+…+12n=1−12n；
(2)设计的图形如图所示．(答案不唯一)
【解析】(1)(i)根据题目中的图形和题意，可以得到部分④的面积；
(ii)根据图形，可以写出所求式子的值；
(iii)根据(ii)中的结果，可以直接写出所求式子的值；
(2)将长方形分成两个相等的三角形，然后继续分割两个小一点的相等的三角形，依次继续分割即可，本题答案不唯一，只要合理即可．
本题考查了翻折变换的性质、图形的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：设安排x人扫雪，则安排(28−x)人运雪，
根据题意得：x=3(28−x)，
解得：x=21，
∴28−x=28−21=7(人)．
答：应安排21人扫雪，7人运雪．
【解析】设安排x人扫雪，则安排(28−x)人运雪，根据扫雪的人数是运雪人数的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴AHPH=512，
设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，
∴13k=26，
解得k=2，
∴AH=10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
(2)延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC//PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD，
设BC=x，则x+10=24+DH，
∴AC=DH=x−14，
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx−14≈4.01.
解得x≈19.
答：古塔BC的高度约为19米．
【解析】(1)先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AHPH=512，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．
(2)先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC//PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x−14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出x的值即可．
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
20.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF．
(2)∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵sin∠ABD= 55=ADAB，
设AD= 5x，AB=5x，
∴BD= (5x)2−( 5x)2=2 5x.
∵sin∠ABD= 55=DEBD，
∴DE=2x，
∴BE= (2 5x)2−(2x)2=4x，
∴AE=x，EF=DE−DF=DE−AF=2x−52．
在Rt△AEF中，
AF2=AE2+EF2，∴(52)2=x2+(2x−52)2，
解得x=2或x=0(舍去)，
∴AB=5x=10，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)根据sin∠ABD= 55=ADAB，设设AD= 5x，AB=5x，根据勾股定理求出BD=2 5x，再根据sin∠ABD= 55=DEBD，求出DE，BE，AE，EF，在Rt△AEF中，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
21.【答案】50 108°
【解析】解：(1)本次调查的学生共有：10÷20%=50(人)，
∴B组的人数为：50−20−10−15=5(人)，
故答案为：50；
补全统计图如下：
(2)“D.《熊出没逆转时空》”对应的扇形圆心角度数为：360°×1550=108°，
故答案为：108°；
(3)画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴选出两人恰好是甲和乙的概率为212=16．
(1)由C的人数除以所占百分比求出本次调查的学生总人数，再用总人数减去其它组的人数求出B的人数，进而补全统计图即可；
(2)由360°乘以“D.《熊出没逆转时空》”所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中选出两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)∵FB=2AF，
∴AB=AF+BF=3AF，
在矩形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠ADC=90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴AECE=AFCD=13，
∴CE=3AE，
∴AC=4AE，
∵DF⊥AC，
由题干可得，DA2=AE⋅AC，
∴22=AE⋅4AE，
∴AE=1；
(2)在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=∠A=90°，
∴∠ADF+∠CDM=90°，
∵△DCE与△DFE关于直线DE对称，
∴△DFE≌△DCE，
∴∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，
∵GC//FE，
∴DM⊥GC，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADF=∠DCM，
在△CDM和△DFA中，
∠CDF=∠DFA∠ADF=∠DCMDC=DF，
∴△CDM≌△DFA(ASA)，
∴CM=DA=2，
∵G是AD的中点，
∴DG=GA=1，
由题干可得，DG2=GM⋅GC，
设GM=x，则CG=GM+CM=x+2，
∴12=x(x+2)，
解得x1= 2−1，x2=− 2−1(舍去)，
∴GM的长为 2−1．
【解析】(1)由矩形的性质得，AB//CD，从而得到△AFE∽△CDE，即AECE=AFCD=13，由题干可得，DA2=AE⋅AC，从而得到22=AE⋅4AE，计算即可得到答案；
(2)由△DCE与△DFE关于直线DE对称，得△DFE≌△DCE，从而得到∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，再通过证明△CDM≌△DFA得到CM=DA=2，由题干可得，DG2=GM⋅GC，设GM=x，则CG=GM+CM=x+2，12=x(x+2)，解方程求出x的值即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键．
23.【答案】(2,0) (4,0) (3,−m)
【解析】解：(1)对于y=m(x−2)(x−4)，当x=0时，y=8m，即点D(0,8m)，
令y=m(x−2)(x−4)=0，则x=2或4，即点B、C的坐标分别为：(2,0)、(4,0)，
当x=3时，y=m(x−2)(x−4)=−m，即点E(3,−m)，
故答案为：(2,0)、(4,0)、(3,−m)；
(2)连接OO′，则BD⊥OO′，
设∠ODB=α，
∵∠ODB+∠=90°，∠O′OB+∠DBO=90°，
∴∠ODB=α=∠O′OB，
在Rt△BOD中，tan∠OBD=OBOD=28m=14m=tanα，
则sinα=1 16m2+1，csα=4m 16m2+1，
则OE=OO′⋅csα=2OD⋅sinα⋅csα=2×8m×1 16m2+1×=4m 16m2+1=3，
解得：m= 34(不合题意的值已舍去)；
(3)由点B、D的坐标得，点H(1,4m)，直线BD的表达式为：y=−4mx+8m，
则直线FH的表达式为：y=14m(x−1)+4m，
当x=3时，y=14m(x−1)+4m=12m+4m，点F(3,12m+4m)，
∵△FDB∽△EBC，
则BDBC=BFEC，即(BDBC)2=(BFEC)2，
即64m2+44=1+(12m+4m)2m2+1，
整理得：(16m2+1)(4m4−1)=0，
解得：m= 22(不合题意的值已舍去)．
(1)令y=m(x−2)(x−4)=0，则x=2或4，即点B、C的坐标分别为：(2,0)、(4,0)，当x=3时，y=m(x−2)(x−4)=−m，即点E(3,−m)，即可求解；
(2)由OE=OO′⋅csα=2OD⋅sinα⋅csα=2×8m×1 16m2+1×=4m 16m2+1=3，即可求解；
(3)由BDBC=BFEC，即(BDBC)2=(BFEC)2，即64m2+44=1+(12m+4m)2m2+1，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，正确的运算能力是解题的关键．NaOH
KOH
HCl
NaOH
(NaOH,KOH)
(NaOH,HCl)
KOH
(KOH,NaOH)
(KOH,HCl)
HCl
(HCl,NaOH)
(HCl,KOH)
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