当阳市第一高级中学2024届高三下学期模拟考试（七）数学试卷(含答案)

这是一份当阳市第一高级中学2024届高三下学期模拟考试（七）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足(i是虚数单位),则( )
A.B.C.D.
3．已知,是两个平面,a,b是两条直线,,,,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分不必要条件
4．若的展开式中的系数为-4,则实数a的值为( )
A.B.C.D.
5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是：以斐波那契数：1,1,2,3,5,…为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,定义,,,,如果用的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为( )
A.17B.C.D.
6．已知函数（）的部分图象如图所示,设,则的最大值为( )
A.B.C.8D.6
7．双曲线的左、右焦点分别为,,点M是双曲线左支上一点,,连接,交双曲线于点N,,则双曲线的离心率是( )
A.B.C.2D.
8．已知函数,若存在唯一的整数,使,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某城市收集并整理了该市2020年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据,绘制了下面的折线图. 已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是( )
A.最低气温与最高气温无关
B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.最低气温低于0 ℃的月份有4个
D.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
10．已知正数x,y满足,下列说法正确的是( )
A.的取值范围是B.的最小值是5
C.当取最小值时,x的值是4D.的最小值是18
11．已知各项均为正数的数列,满足,下列说法正确的是( )
A.数列的通项公式为B.数列是等比数列
C.记数列的前n项和为,则D.数列是等比数列
12．如图,在正三棱锥中,M,N分别是棱,的中点,且,下列说法正确的是( )
A.平面
B.若,则该三棱锥外接球的体积是
C.
D.是等边三角形
三、填空题
13．已知向量,,,且,,则______________.
14．已知是定义在R上的奇函数,当时,,设,则不等式的解集为_______________.
15．乒乓球比赛采用7局4胜制,2020年国际乒联卡塔尔公开赛男双决赛,中国选手樊振东与英格兰选手皮切福德在男双决赛中相遇,假设每场比赛英格兰选手获胜的概率为0.4,中国选手获胜的概率为0.6,且每场比赛的结果相互独立,则恰好5场比赛决出胜负的概率为______________.
四、双空题
16．已知抛物线,直线与抛物线C交于M,N两点（M在x轴的上方）,则___________,若抛物线C的准线与x轴交于P点,则直线的斜率___________.
五、解答题
17．设数列的首项,对于,点均在函数的图象上,其中a为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)令,证明数列的前n项和.
18．平面四边形ABCD中,边BC上有一点E,,,, , .
(1)求的长：
(2)己知,求面积的最大值.
19．已知椭圆的一个焦点为,且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E交于A,B两点,的中点为M,若,求直线的斜率.
20．在四棱锥中,,,分别是,,的中点,已知四边形为等腰梯形,,.
(1)求证:；
(2)若,且二面角的大小为,当与平面所成角的正弦值为,求.
21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球,其中白色球与黄色球各3个,红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分,以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球,则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出3个球,他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和.
(1)若甲第一次摸出了绿色球,求甲的得分不低于乙的得分的概率；
(2)如果乙先摸出了红色球,求乙得分的分布列和数学期望.
22．已知函数,.
(1)函数在处切线交y轴于点,求实数a的值；
(2)若不等式对恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意可得,,
所以,
故选：D.
2．答案：C
解析：,
所以,
故选：C.
3．答案：A
解析：若,因为,则有,又,所以,但直线a,l不一定相交,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
4．答案：A
解析：,展开式的通项公式为,
当时,展开式中的系数为,
当时,展开式中x的系数为,
所以得,
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意知接下来的一段圆弧的半径为34,则弧长为,
设底面半径为r,则有,解得,
故选C.
6．答案：B
解析：由题意得,,可得,
所以,,可得,
所以,
,
所以的最小值为.
故选：B.
7．答案：D
解析：如图,设,则,
因为,所以以,
因为,所以,所以,
因为,所以,得,所以,,
在直角中, ,所以,即, ,
故选：D.
8．答案：B
解析：设存在唯一的整数,使,则,即,
令,,则,
当时,,肘,,所以在上是增函数,
在上是减函数.又的图像是过点且斜率的直线,当时,显然不符合题意；
当时,画出函数和的大致图象如图所示,当时,存在唯一整数,
使,则解得,
故选：B.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ABD
解析：因为,,所以,当且仅当时等号成立,因为,
所以,即,当,即,时等号成立,A错误,C正确；
,因为,所以,选项B正确；由得,所以,D正确,
故选BCD.
11．答案：ACD
解析：当时,,当时,由①,
得②,①－②得,即,
当时,符合,所以,A正确；,所以数列是等差数列,B错误；,
所以,C正确；
,所以数列是等比数列,D正确,
故选：ACD.
12．答案：AB
解析：三棱锥为正三棱锥,,M,N分别是棱,的中点, ,
,又,, 平面,选项A正确；易知,,两两垂直,将正三棱锥补形成正方体,则正方体的外接球即为三棱锥的外接球,易知正方体的棱长为2,
外接球半径,三棱锥外接球的体积,选项B正确；
易知,且三棱锥的高是三棱锥高的一半,所以,
选项C错误；, , 是直角三角形,选项D错误,
故选：AB.
13．答案：
解析：因为,所以,解得,所以.
14．答案：或
解析：因为,故函数是定义在R上的奇函数,
当时,,则,即函数在上为增函数,
又,所以当时,,又函数为奇函数,所以当时,,
又当时,,不符合题意,舍去,所以不等式的解集为或.
15．答案：0.2688
解析：恰好5场比赛决出胜负的情况有两种：一种情况是前4局中国选手3胜一负,第5局中国选手胜,另一种情况是前4局英格兰选手3胜一负,第5局英格兰选手胜,所以恰好5场比赛决出胜负的概率为.
16．答案：2,
解析：设,,过M做垂直于x轴,垂足为A,做垂直于准线,垂足为B,
设直线l的斜率角为,由,可得,,
则有,,解得,,
所以（或用）；平行于轴,
所以,所以直线的斜率.
17．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)由题意得,因为,所以,所以,
当时,,,,
当时,,符合上式,所以.
(2)证明：,,
所以,
因为,所以,所以,得证.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中由正弦定理可得,
即,,
因为,所以是锐角,故,又∠ADC=120,,
在直角三角形中,,,
(2)在中,,由余弦定理可得：
,
因为,,
,当且仅当时等号成立,
从而,,
所以面积的最大值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知得,
即,解得或（舍）,
可得,所以椭圆的方程为.
(2)由题意可知,该直线的斜率一定存在且,
设过焦点的直线方程为,,,,,
联立,得,所以,,
所以,.
所以,
而,
因为,所以 ,解得,
进而,所以.
20．答案：(1)见解析
(2)2
解析：(1)证明：E,F分别是等腰梯形两底的中点,所以,
因为,则.又,所以,
又,所以平面,又平面,所以.
(2)因为,,,所以平面.
故,,两两垂直,分别以,,所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
由(1)知,为二面角的平面角,则.
因为,,所以是等腰直角三角形.
设,则,,
故,,,,,
,,,.
设平面的法向量,则,取,解得,,
所以.
设与平面所成角为,
则.
化简得,解得或（舍）,故.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)记“甲第一次摸出了绿色球,甲的得分不低于乙的得分”为事件A,因为球的总分为16,即事件A指的是甲的得分大于等于8,
则.
(2)如果乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出3个小球,则得分情况有：
,,
,,
,,
所以的分布列为：
所以的数学期望.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1),则有,又,
所以切线方程为,
令,可得,则有,所以.
(2)设,,
设,则,,,
在上递增, 的值域为,
①当时,,为上的增函数, ,适合条件.
②当时,,不适合条件.
③当时,对于,,令,,
存在,使得时,,在上单调递减, ,
即在时,,不适合条件.
综上,a的取值范围为.
6
7
8
9
10
11
P