湖北省天门中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省天门中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径长为( )
A.2B.4C.D.
2．若直线与直线平行,则m的值为( )
A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3
3．等比数列的各项均为正数,且,则( )
A.12B.10C.5D.
4．已知函数,则的单调递增区间为( )
A.B.C.D.
5．已知函数,则函数的图象在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
6．在平面直角坐标系中,点,,向量,且.若P为椭圆上一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．5人排一个5天的值日表,每天排一人值日,每人可以排多天或不排,但相邻两天不能排同一人,值日表排法的总数为( )
A.120B.324C.720D.1280
8．函数为R上的奇函数,过点作曲线的切线,可作切线条数为( )
A.1B.2C.3D.不确定
二、多项选择题
9．公差为d的等差数列,其前n项和为,,,下列说法正确的有( )
A.B.C.中最大D.
10．已知函数的图像为曲线C,下列说法正确的有( )
A.,都有两个极值点B.,都有零点
C.,曲线C都有对称中心D.,使得曲线C有对称轴
11．已知正方体的棱长为1,下列四个结论中正确的是( )
A.直线与直线所成的角为
B.直线与平面所成角的余弦值为
C.平面
D.点到平面的距离为
三、填空题
12．若抛物线过点,则该抛物线的焦点坐标为______________.
13．已知等比数列的前n项和为,且满足,则实数的值是______________.
14．若,则不等式的解集是___________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时,求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
16．如图,在底面为菱形的直四棱柱中,,,E,F,G分别是,,的中点.
(1)求证：;
(2)求平面与平面所成夹角的大小.
17．已知数列的前n项和满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18．在平面直角坐标系中,已知椭圆（过点,且离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A、B两点,求的面积的最大值.
19．已知函数,其中.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)讨论函数的极值点的个数;
(3)若对任意的,关于x的方程仅有一个实数根,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：A
解析：
9．答案：AD
解析：由,得,
又,得,,
所以,,数列是递减数列,其前6项为正,从第7项起均为负数,
等差数列,公差,A选项正确;,B选项错误;前6项和最大,C选项错误;
由,,有,则,D选项正确.故选：AD.
10．答案：ABC
解析：A：,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,因此是函数的极大值点,是函数的极小值点,因此本选项正确;
B：当时,,当时,,而函数是连续不断的曲线,所以一定存在,使得,因此本选项正确;
C：假设曲线C的对称中心为,则有化简,得,因为,所以有,
因此给定a一个实数,一定存在唯一的一个实数c与之对应,因此假设成立,所以本选项说法正确;
D：由上可知当时,,当时,,所以该函数不可能是关于直线对称,因此本选项说法不正确,
故选：ABC.
11．答案：ABC
解析：如图以D为原点,分别以,,所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,, ,,,
对于A：,,
因为,所以,即,直线与直线所成的角为,故选项A正确;
对于C：因为 ,,,
所以,,所以,,
因为,,平面,所以平面,故选项C正确;
对于B：由选项C知：平面,所以平面的一个法向量,
因为,所以,即直线与平面所成角的正弦值为,
所以直线与平面所成角的余弦值为,故选项B正确;
对于D：因为,平面的一个法向量,
所以点到平面的距离为,故选项D不正确.故选：ABC.
12．答案：
解析：将代入抛物线方程,可得,即,
所以抛物线的焦点为.
13．答案：-2
解析：等比数列中,由可得,
则,若公比,则,
则,故,则等比数列的前n项和,（）,
故令,即,
故答案为：-2.
14．答案：
解析：取的定义域为,关于原点对称,
且,
所以为定义在上的奇函数,
因为,
若,则,,
可得,可知在内单调递增,
对于不等式,则,
且,,可得,整理得,
令,,解得,
所以不等式的解集是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,由,所以,
当时,,所以函数在上单调递增;
当时,,所以函数在上单调递减;
故;
（2）定义域为,,
当时,,在上递增;
当时,令,解得,令,解得.
于是在上单调递增;在上单调递减.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取中点H,连接因为底面为菱形,,
所以以为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
（2）设平面的法向量为
又所以即
取,则,,,为平面的法向量,
设平面与平面的夹角为,
则,
平面与平面的夹角为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,当时,由,得,
则,因为,所以;
（2）由（1）可知,,则,
则,
则
,所以.
18．答案：（1）
（2）2
解析：（1）因为,所以,①因为椭圆C过点,
所以,②由①②解得,所以椭圆的方程为.
（2）设直线l的方程为,,,联立,
得,所以,
又直线l与椭圆相交,所以,解得,
则,点P到直线l的距离,
所以,
当且仅当,即时,的面积取得最大值为2.
19．答案：（1）
（2）当时,函数没有极值点;当时,函数有两个极值点
（3）见解析
解析：（1）当时,,,,,
所以函数在处的切线方程为,即.
（2）,令,,得,则.
当时,,此时,故函数在上单调递增,没有极值点;
当时,,令,则,
则,
则当时,,当时,,
当时,,
则在,单调递增,在单调递减,
此时函数有两个极值点.
综上所述,当时,函数没有极值点;
当时,函数有两个极值点.
（3）依题意,,
记,.
（i）由（2）知当时,,则函数在上单调递增;
可知当时,,当时,,
故当时,函数恰有一个零点,方程仅有一个实数根,此时.
（ii）当时,
在上单调递增,在上单调递减,在单调递增,
,
则,
所以,
,
因为当,,当,
故只需或,
令,则,
故当时,,当时,,
则在单调递增,在单调递减;
又,
又,故,
则,,所以,,
故.综上所述,实数m的取值范围为.