江苏省前黄高级中学2024届高三下学期（3月）一模适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省前黄高级中学2024届高三下学期（3月）一模适应性考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集为U定义集合A与B的运算:,则( )
A.AB.BC.D.
2．已知向量,满足,,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
3．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件
4．如图,将正四棱台切割成九个部分,其中一个部分为长方体,四个部分为直三棱柱,四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为( )
A.B.C.D.
5．已知,,且,则( )
A.1B.C.D.
6．已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线,其通径长为1,现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中,要使得该玻璃球接触到杯底(盛酒部分),则r的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．设实数x,y满足,,不等式恒成立,则实数k的最大值为( )
A.12B.24C.D.
8．已知函数与的图象有两个交点,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若m,n为正整数且,则( )
A.B.C.D.
10．已知等差数列的前n项和为,的公差为d,则( )
A.B.
C.若为等差数列,则D.若为等差数列,则
11．在平面直角坐标系中,将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后,所得曲线仍然是某个函数的图象,则称为“旋转函数”.那么( )
A.存在旋转函数
B.旋转函数一定是旋转函数
C.若为旋转函数,则
D.若为旋转函数,则
三、填空题
12．的展开式中的系数为________.(用数字作答)
13．已知P是双曲线上任意一点,若P到C的两条渐近线的距离之积为,则C上的点到焦点距离的最小值为__________．
14．在正方体中,球同时与以A为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点F.若以F为焦点,为准线的抛物线经过,,设球,的半径分别为,,则________.
四、解答题
15．如图,在梯形ABCD中,,,.
（1）若,求的长;
（2）若,求.
16．如图,正四棱柱的底面边长为1,高为2,点M是棱上一个动点(点M与C,均不重合).
（1）当点M是棱的中点时,求证:直线平面;
（2）当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时,求线段MC的长度.
17．已知过点的直线与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,当直线AB垂直于x轴时,的面积为.
（1）求抛物线E的方程;
（2）若为的重心,直线AC,BC分别交y轴于点M,N,记,的面积分别为,,求的取值范围.
18．七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力,建立以下模型.有数组,,…,和数组,,…,,规定与相配对则视为“正确配对”,反之皆为“错误配对”.设为时,对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数,即错排方式数.
（1）请直接写出,的值;
（2）已知.
①对,,…,和,,…,进行随机配对,记X为“正确配对”的个数.请写出的分布列并求;
②试给出的证明.
19．若一个两位正整数的个位数为4,则称为“好数”.
（1）求证：对任意“好数”一定为20倍数;
（2）若,且p,q为正整数,则称数对为“友好数对”,规定：,例如,称数对为“友好数对”,则,求小于70的“好数”中,所有“友好数对”的的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：
故选:B
2．答案：D
解析：因为,所以,即,
又,,所以,
解得,
又,则与的夹角为.
故选:D.
3．答案：A
解析：“”“”,
“”“”,
“”是“”的充分而不必要条件,
故“”是“”的的充分而不必要条件,
故选:A.
4．答案：C
解析：设每个直三棱柱高为a,每个四棱锥的底面都是正方形,设每个四棱锥的底面边长为b,
设正四棱台的高为h,因为每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,
则,可得,可得,
所以,该正四棱台的体积为.
故选:C.
5．答案：A
解析：由题意,,
,
,,,,,
,.
故选:A.
6．答案：C
解析：以轴截面抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,
当玻璃球能够与杯底接触时,该玻璃球的轴截面的方程为.
因为抛物线的通径长为1,则抛物线的方程为,
代入圆的方程消元得:,
所以原题等价于方程在上只有实数解.
因为由,得或,
所以需或,即或.
因为,所以,
故选:C.
7．答案：B
解析：,,变形为,
令,,
则转化为
,即,
其中
当且仅当,即,时取等号,可知.
故选:B
8．答案：A
解析：由题意,“函数与的图象有两个交点”等价于“方程有两个实数根”,等价于“方程有两个实数根,即等价于“与的图象有两个交点”,如图所示,
显然,否则时,与只有一个交点.
另一个临界状态为与相切时,不妨设两个曲线切于点,
又,,所以,可得,即,
又,所以,即,
令,则且,
故在上单调递增,因此是唯一的零点,
所以,代入,可得,所以.则实数的取值范围为.
故选:A.
9．答案：AD
解析：对A:由组合数性质:可知,A正确;
对B:,故B错误;
对C:,
,故,C错误;
对D:
,故D正确.
故选:AD.
10．答案：BD
解析：A选项,,而不一定相等,A不正确;
B选项,因为,,
所以,故B正确;
C选项,因为,
若为等差数列,则
,
要想为常数,则,故C不正确;
D选项,由题可知,
若为等差数列,则为关于的一次函数,
所以,即,故D正确.
故选:BD
11．答案：ACD
解析：对A,如满足条件,故A正确;
对B,如倾斜角为的直线是旋转函数,不是旋转函数,故B错误;
对C,若为旋转函数,则根据函数的性质可得,逆时针旋转后,不存在与轴垂直的直线,使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.
当时,最多1个解,满足题意;
当时,的判别式,对任意的a,都存在b使得判别式大于0,不满足题意,故.故C正确;
对D,同C,与的交点个数小于等于1,即对任意的a,至多1个解,故为单调函数,即为非正或非负函数.
又,故,即恒成立.
即图象在上方,故,即.
当与相切时,可设切点,对求导有,故,解得,此时,故.故D正确.
故选:ACD
12．答案：
解析：的通项公式为,
令得,,此时,
令得,,此时,
故的系数为
故答案为:
13．答案：
解析：所求的双曲线方程为,则渐近线方程为,
设点,则,
点P到C的两条浙近线的距离之积为,
解得：,故双曲线C方程为：,
故,,故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
14．答案：或
解析：如图所示:
根据抛物线的定义,点到点F的距离与到直线的距离相等,
其中点到点F的距离即半径,也即点到面的距离,
点到直线的距离即点到面的距离,
因此球内切于正方体.
不妨设,两个球心,和两球的切点F均在体对角线上,
两个球在平面处的截面如图所示,
则,,所以
因为,所以,所以,
因此,得,所以.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由正弦定理得,
则.
（2）因为,所以.
由余弦定理得,
则,
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为M是棱的中点,
所以,
,,
由勾股定理,得,同理可得,,
又,,平面,
所以直线平面;
（2）连接,作MN平行于,交CD于点N,连接AN,BM,
因为,,
所以四边形是平行四边形,所以,
所以,则截面为平面,
设线段CM的长为,
因为,所以,得,
故,
可得,
又由,可得,
由题意,整理的,解得,
所以线段MC的长度为.
17．答案：（1）的方程为
（2）
解析：（1）当时,,,
所以,
由题意可知,,
所以,
所以抛物线E的方程为
（2）如图,
设,,,
因为O为的重心,
所以,;
因为,,
且,;
所以;
设,与联立得:,所以,
所以,则;
所以;
所以的取值范围为.
18．答案：（1）,
（2）①分布列见解析,;
②证明见解析
解析：（1）,;
（2）(i),,
,,,,
,
(ii)分三类情况,,,…,和,,…,全错配,
和配对,余下,,…,和,,…,,(或).余下部分属于n个时的错配,故总共,
和配对,且与配对.此时余下部分属于n-1个时的错配,故总共,
和配对,且与不配对.此时可将等效为,则余下部分属于n个时的错配,故总共,
综上:.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：设,且t为整数,
,且t为整数, 是正整数,
一定是20的倍数;
（2）,且p,q为正整数, ,
当时,,没有满足条件的p,q,
当时,,
满足条件的有或,
解得或, 或,
当时,,没有满足条件的p,q,
当时,,
满足条件的有,解得, ,
当时,,没有满足条件的,
当时,,
满足条件的有或,
解得或, 或,
小于70的“好数”中,所有“友好数对”的的最大值为.
X
0
1
2
3
4
5
P