江西省部分学校2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．与角终边相同的角是( )
A.B.C.D.
2．已知函数的定义域为,则“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
3．已知,则( )
A.B.C.D.
4．,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知角的终边经过点,若,且,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．函数,值域为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1）,是一种特殊三角形,指分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度,机械加工业上利用这个性质,把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状,就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为R的圆O（如图2）,A,B,C分别为圆周上的点,其中,,现将扇形,分别剪下来,又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上,将扇形补成鲁洛克斯三角形,设此鲁洛克斯三角形的面积为,扇形剩余部分的面积为,若不计损耗,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图,若角的终边落在阴影部分,则角的终边可能在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
10．若点在函数的图象上,且满足,则称是的点.下列选项中的是函数的点的是( )
A.,B.,
C.,D.,
11．已知定义域均为R的奇函数和偶函数,满足,则( )
A.在上单调递减
B.
C.当时,的最大值为-8
D.函数的图象向左平移个单位长度,即可得到函数的图象
三、填空题
12．2024年3月1日,某蛋糕店共有10位顾客预订生日蛋糕,他们的年龄按预订的顺序依次是6,12,54,30,8,10,18,24,30,32,则这10位顾客年龄的中位数是______________.
13．已知函数具有下列性质：①值域为;②其图象的对称轴为直线,,则的一个解析式为________.（写出满足条件的一个解析式即可）
14．已知函数定义域为C,值域为D,若存在整数,,且,则为函数的“子母数”.已知集合,函数,（表示不超过x的最大整数,例如）,当时,函数的所有“子母数”之和为____________.
四、解答题
15．在某单位元旦联欢会上,为了活跃气氛,设计了一个游戏环节：在A,B,C三个不透明的盒子中均装有3个黑球和2个白球,这些球形状大小完全相同,每个职工均摸球两次,第一次从盒子中随机摸出两个球,如果摸出的均是白球,则得奖金100元,否则奖金为0元;第二次从B,C两个盒子中各摸一个球,若两球的颜色相同,则得奖金50元,否则奖金为0元,小明参与了此次游戏.
（1）求小明在第一次摸球中得奖金100元的概率;
（2）求小明在两次摸球中得奖金150元的概率.
16．定义域为R奇函数满足,当时,,且.
（1）当时,画出函数的图象,并求其单调区间、零点;
（2）求函数在区间上的解析式.
17．函数（,,）的部分图象如图.
（1）求函数的解析式;
（2）将函数上的每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象.已知函数若函数的零点从左到右依次为,,…,,求n的值,并求的值.
18．为弘扬中华民族优秀传统文化,春节前后,各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始,17点结束.通过观察发现,游客数量（单位：人）与时间x之间,可以近似地用函数（,）来刻画,其中,8点开始后,游客逐渐增多,10点时大约为350人,14点时游客最多,大约为1250人,之后游客逐渐减少.
（1）求出函数的解析式;
（2）腊月二十九,为了营造幸福祥和的氛围,该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字,计划选一时段分发给每位游客,为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在什么时间赠送福字？
19．对于分别定义在,上的函数,以及实数k,若任取,存在,使得,则称函数与具有关系.其中称为的像.
（1）若,;,,判断与是否具有关系,并说明理由;
（2）若,;,,且与具有关系,求的像;
（3）若,;,,且与具有关系,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因不能表示成,的形式,故A项错误;
同理因也不能表示成,的形式,故B项错误;
由,而也不能表示成,的形式,故C项错误;
而,具备,的形式,故D项正确.
故选：D.
2．答案：D
解析：由得不到“函数在区间上单调递增”,
如,,显然满足,但是函数在上递增,在上递减,
故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件;
而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.
故选：D.
3．答案：B
解析：由.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为,
,,
所以．
故选：A．
5．答案：B
解析：由三角函数定义可得P在第四象限,
,解得,
故a的取值范围是.
故选：B.
6．答案：C
解析：,,,
故选：C.
7．答案：C
解析：由题：函数在R上单调递增,
故,
解得：,
故选：C.
8．答案：B
解析：由题意,先求出弓形的面积为,
则,
,
故.
故选：B.
9．答案：AC
解析：依题意,得,
所以,,
当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限．
故选：AC.
10．答案：AC
解析：对于A,因,,
则符合题意,故A项正确;
对于B,因,,
则,不符题意,故B项错误;
对于C,因,,
则,符合题意,故C项正确;
对于D项,由,因,,,
则,不合题意,故D项错误.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：由题意及诱导公式可知：,
两式相加得,所以,
对于A,,
由正弦函数的图象与性质可知单调递减,即A正确;
对于B,根据诱导公式易知,
即B正确;
对于C,时,易知,令,
由对勾函数的性质可知在时取得最大值-10,故C错误;
对于D,函数的图象向左平移个单位长度,
即可得到函数,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：21
解析：由题意将顾客的年龄从小到大排列：6,8,10,12,18,24,30,30,32,54,
则中位数为.
故答案为：21.
13．答案：(答案不唯一)
解析：可使函数的值域为,且其图象的对称轴为直线即可,故可取.
故答案为：.(答案不唯一)
14．答案：-36
解析：因为,,,,
所以由,
可得,解得,即,
如图为的图象,
由的周期性,所以只需讨论一个周期内的情况即可,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
所以,即在一个周期内的部分,
由图得时,,
,,
所以且在定义域内的x为2,3,4,8,9,10,
所以数所有“子母数”之和为.
故答案为：-36.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因盒子中装有3个黑球和2个白球,则从中摸出两个白球得奖金100元的概率为;
（2）因小明在两次摸球中得奖金150元是在第一次从盒子中摸出两个白球的前提下,再分别从B,C两个盒子中各摸到一个颜色相同的球.
不妨记“第一次从A盒子中摸出两个白球”为事件M,“分别从B,C两个盒子中各摸到一个颜色相同的球”记为事件N,
则小明在两次摸球中得奖金150元的概率即.
由（1）可知,而,
故由积事件的概率乘法公式,可得： .
16．答案：（1）答案见解析;
（2）
解析：（1）由题意可知：,,
所以,
即,则时,
令,则,
综上,
作图如下：
结合对数函数的单调性与奇函数的性质知的单调递增区间为,无单调递减区间,
且其零点有三个,分别为,,;
（2）因为,则,
当时,,
当时,,
当时,,
则.
17．答案：（1）
（2）,.
解析：（1）由函数图象可知,,,得,
由,得,结合图象可得,
,由五点法作图可得,解得,
所以.
（2）函数上的每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,
得函数的图象,再向右平移个单位长度,
得到函数的图象,
函数则的图象如图所示,
函数的零点,即函数的图象与函数的图象交点的横坐标,
由图象可知,函数的零点有6个,从左到右依次为,,…,,,
由余弦函数的性质结合图象可知,,关于对称,,关于对称,,关于对称,
.
18．答案：（1）,
（2）选择在12点之前或16点之后两个时间,理由见解析
解析：（1）由题意得,,且,
故,故,
又,,
解得,
故函数的解析式为,;
（2）当时,,
令,解得或,
解得或,
结合函数图象及,可得或,
为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福.
19．答案：（1）不具有,理由见解析;
（2）或或;
（3）或,
解析：（1）与不具有关系,
理由如下：时,,,
所以,
则与不具有关系;
（2）由题意可知
,
所以,
又,所以,
解之得或或,
即的像为或或;
（3）对于,则,所以,
即,,
因为与具有关系,
所以要满足题意需,使得即可.
令,
令,则,设,
①若,即时,,
则,
②若,即时,,
则,
③若,即时,,
则或,显然无解,
④若,即时,,
则或,显然无解,
综上所述：或.