深圳外国语学校2024届高三下学期临界生训练2数学试卷(含答案)

这是一份深圳外国语学校2024届高三下学期临界生训练2数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．学校组织班级知识竞赛,某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98,则这12名学生成绩的分位数是( )
A.92B.87C.93D.91
2．若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为( )
A.4B.-4C.D.
3．在等比数列中,,,则( )
A.-8B.16C.32D.-32
4．已知直线a和平面，那么能得出的一个条件是( )
A.存在一条直线b，且B.存在一条直线b，且
C.存在一个平面，且D.存在一个平面，且
5．包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛,每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看,则甲同学不去观看气排球的方案种数有( )
A.120B.72C.60D.54
6．已知点是直线上的一点,过点P作圆的两条切线,切点分别是点A,B,则四边形PACB的面积的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
8．已知,,则下列结论正确的有( )
A.B.C.D.
9．已知函数满足,则( )
A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递增D.在区间上有两个零点
三、填空题
10．已知数列是首项为25,公差为-2的等差数列,则数列的前30项的和为____________.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与C的右支交于A,B两点,且,的内切圆半径,则C的离心率为_______________.
四、解答题
12．由各棱长均相等的四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示,底面为正方形,点O为线段与的交点,点E为线段中点,平面.
(1)证明：平面;
(2)若点M为线段（包含端点）上一点,求与平面所成角的正弦值的最大值.
13．已知函数在点处的切线的斜率为2.
（1）求a的值;
（2）求函数的单调区间和极值.
14．西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
（1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
（2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
故73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98,的分位数是,
故选：C.
2．答案：C
解析：依题意得，双曲线的标准方程为，即，，因为虚轴长是实轴长的2倍，所以，即，所以，.故选C.
3．答案：D
解析：设等比数列的公比为q,
则,所以
故
故选：D.
4．答案：C
解析：在选项A，B，D中，均有可能a在平面内，故错误；在C中，由两平面平行知其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确.
5．答案：C
解析：甲同学去观看滑雪比赛时,共有种;
甲同学去观看马术比赛时,也有30种;
则甲同学不去观看气排球的方案种数有种.
故选：C.
6．答案：B
解析：圆,即圆,
圆心坐标,半径为3;
由题意过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和,因为,,
显然PC最小时四边形面积最小,
即,所以,
所以四边形PACB的面积的最小值为,
故选：B.
7．答案：C
解析：因为,则,,
可得,,即,
且,整理得,
又因为,当且仅当时,等号成立,
即,
整理得,
解得或（舍去）,
所以的最小值为.
故选：C.
8．答案：BCD
解析：设,,则,
所以,,则,故A错误;
,
,所以,故B正确;
因为,所以,故C正确;
因为,所以,
而,所以,故D正确
故选：BCD.
9．答案：BCD
解析：因为函数满足,
所以的图象关于对称,
所以,则,,即,,
因为,则,所以,
则,故A错误;
,故B正确;
由,得,因为在单调递增,故C正确;
由,得,易知在上有两个零点,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：458
解析：数列是首项为25,公差为-2的等差数列,
则有,数列的前n项和,
若,则且,
数列的前30项的和
.
故答案为：458.
11．答案：
解析：由题意作出图形,设,则,,则,
由三角形的内切圆半径为,
又因为,所以,
所以,化简得
在中,,即,
化简得,由可得,
在中,,即,
化简得,由可得,
所以,化简得,解得,
所以离心率.
12．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：取中点,连接,, ,且,
故四边形为平行四边形,故得：,且,
, ,,故四边形为平行四边形, ,
且平面,平面, 平面.
（2）由题意,易证,,两两垂直,所以分别以,,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,不妨设棱长为2,
则易得以下点坐标：,,,,,,
,,
设为平面的法向量,则有,
取,则,所以,
设,,
因为点M在线段上,则,
设与平面所成角为,
当且仅当时取等号.故与平面所成角的正弦值的最大值为.
13．答案：（1）;
（2）当时,递减;当时,递增;极小值为,无极大值.
解析：（1）,
函数在点处的切线的斜率为2,
;
（2）由（1）得,
令即,解得
当时,,递减;
当时,,递增.
极小值为,无极大值.
14．答案：(1)
(2)
解析：（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为，
（2）由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，
，，
所以的分布列为
.
0
1
2
3
P