石家庄市第二中学2023届高三下学期2月月考数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第二中学2023届高三下学期2月月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,其中i为虚数单位,则复数z在复平面内所对应的点的坐标是( )
A.B.C.D.
2．已知集合,集合则( )
A.B.C.D.
3．已知等差数列满足,则的值为( )
A.8B.6C.4D.2
4．在我国古代数学名著《数书九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺.”（注：1丈等于10尺）,则这个问题中,葛藤长的最小值为( )
A.2丈4尺B.2丈5尺C.2丈6尺D.2丈8尺
5．已知向量,,其中,则下列命题正确的是( )
A.在上的投影向量为B.最大值为
C.若则D.若,则
6．已知圆C是以点和点为直径的圆,点P为圆上的动点,若点,点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
7．如图,正方体的棱长为2,点O为底面的中心,点P在侧面的边界及其内部运动,若,则面积的最小值为( )
A.B.C.D.
8．设,,其中e为自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
9．已知,分别为随机事件A,B的对立事件,,,则下列说法正确的是( )
A.
B.若,则 A,B对立
C.若A,B独立,则
D.若A,B互斥,则
二、多项选择题
10．已知函数,则下列结论中正确的是( )
A.为函数的一个周期
B.是曲线的一个对称中心
C.若函数在区间上单调递增,则实数a的最大值为
D.将函数的图象向右平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象
11．已知抛物线方程为,点为直线上一动点,过点P作抛物线的两条切线,切点为A,B,则以下选项正确的是( )
A.直线过定点
B.存在点使直线
C.的面积的最小值为
D.三角形重心的轨迹为一条直线
12．已知数列的前n项和为,且满足,,,则下列有关数列的叙述正确的是( )
A.B.
C.D.数列是单调递减数列
三、填空题
13．已知等比数列前n项和（其中.则的最小值是_______________.
14．已知,分别为双曲线（,）的左、右焦点,过点作圆的切线交双曲线左支于点M,且,则该双曲线的渐近线方程为_____________．
15．已知关于x的不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是___________．
16．已知球O是正四面体的外接球,E为棱的中点,F是棱上的一点,且,则球O与四面体的体积比为__________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为,,设.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．某厂生产的某种零件的尺寸Z大致服从正态分布,且规定尺寸为次品,其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱,然后进入销售环节,若每销售一件正品可获利50元,每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析,作出的频率分布直方图如下：
（1）估计生产线生产的零件的平均尺寸;
（2）从生产线上随机取一箱零件,求这箱零件销售后的期望利润.
19．已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,且.
（1）求角C的大小;
（2）若与的内角平分线交于点,的外接圆半径为2,求周长的最大值.
20．已知随圆E的左､右焦点分别为,点M在E上,,的周长为,面积为.
（1）求E的方程.
（2）设E的左､右顶点分别为A,B,过点的直线l与E交于C,D两点（不同于左右顶点）,记直线的斜率为,直线的斜率为,则是否存在实常数,使得恒成立.
21．如图,在三棱台中,底面是边长为2的正三角形,侧面为等腰梯形,且,D为的中点．
（1）证明：;
（2）记二面角的大小为,时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
22．已知函数,为的导数.
（1）当时,求的最小值;
（2）当时,恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为复数,所以,
则,
所以复数z在复平面内所对应的点的坐标是,
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,则,,所以
因为,则,解得,所以,
所以,
故选：B.
3．答案：D
解析：等差数列中,,解得,
所以.
故选：D.
4．答案：C
解析：由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边（即木棍的高）长24尺,另一条直角边长（尺）,
因此葛藤长最小值为（尺）,即为2丈6尺.
故选：C.
5．答案：C
解析：对A,,
在上的投影向量为,A错误;
对B,,
,
所以时,取得最小值,B错误;
对C,,,则,
则,C正确;
对D,,,无法判断的符号,D错误．
故选：C．
6．答案：A
解析：由题设,知：且,即圆C的半径为4,
圆,
如上图,坐标系中则,
,即,故,
,在中,
要使最大,P,B,D共线且最大值为的长度.
.
故选：A.
7．答案：B
解析：如图所示：
当点P在C处时,,当点P在的中点时,,,
,
所以,
所以,又,
所以平面,
所以点P的轨迹是线段,
因为平面,
所以面积最小时,,
此时,,
故选：B.
8．答案：D
解析：,
设,函数定义域为,,
时,,则在上单调递减,得,
即,所以;
,
令,函数定义域为,,
当时,且,;
当时,且,;
在上单调递增,
,
则有,即,
所以.
故选：D.
9．答案：C
解析：对A,,故A错误;
对B,若A,B对立,则,反之不成立,故B错误;
对C,根据独立事件定义,故C正确;
对D,若A,B互斥,则,故D错误;
故选：C.
10．答案：ABD
解析：对于选项A：由已知可得,
所以,所以为函数的一个周期,故A正确;
对于选项B：令,解得,当时,,所以点是曲线的一个对称中心,故B正确;
对于选项C：由,,得,,令,得,因为在区间上单调递增,所以实数a的最大值为,故C错误;
对于选项D：将函数的图象向右平移个单位长度后,
得到的图象,
因为,所以函数为偶函数,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：由求导得,设切点为,,,
由题意可得切线,的斜率存在,且,
可得,的方程分别为,,
点P在两条切线上,所以,,
所以,是方程,
所以,,
直线的方程为,
所以,
所以,可得,
因为在直线上,所以,
所以,
所以直线过定点,故A正确;
对于B,若直线,则,解得,
代入直线l的方程可得,所以存在点使,故B正确;
对于C,
,
点P到直线的距离,
所以
,
当时的面积有最小值,为,故C正确;
对于D,三角形重心坐标为,
可得,故三角形重心的轨迹不是一条直线,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：BC
解析：对于A,设,,当时,,
此时,函数单调递增,所以,即,,故A选项错误;
对于B,令,可得,令,
定义域为R,,令,可得.当时,,
此时,函数单调递减;当时,,
此时,函数单调递增,,
则,由零点存在定理可知,存在唯一的,
使得,所以当时,,
即且,则;当时,,
即,,则,,,
以此类推,,所以,数列是单调递减数列,故B选项正确;
对于C,,
,故C选项正确;
对于D,,设函数,
则,,令,可得,
当时,,此时,函数在上单调递减,
由,所以,故D选项错误.
故选：BC.
13．答案：4
解析：因为等比数列{an}前n项和,
,
,
,
,
又, ,即,,
,
当且仅当时取等号.
故答案为：4.
14．答案：．
解析：设切点为A,过作,垂足为B,
由题意可得,,,
由为的中位线,可得,
,
又,可得,,
,
又,
所以,
所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
15．答案：
解析：因为,所以,
因此由,可得
构造函数,当,,单调递增,当时,,单调递减,因此有,
即,当且仅当时取等号,
所以有,当且仅当存在,使得即可,
设,,,即,
因此当时,必存在一个零点,因此成立,故,即实数a的取值范围是．
故答案为：.
16．答案：
解析：如图,正四面体中,顶点P在底面的射影为,球心O在上,
设正四面体的棱长为,可得,
则正四面体高,
设外接球半径为R,在直角三角形中,,
即,解得,
令,在中,由余弦定理得①,
同理,在中,由余弦定理得②
由题设,解得,
由于P到平面的距离与C到平面的距离相等,都等于,,
故,
,
所以.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）已知①,
当时,,解得,
当时,②,
①②得：,
因为,整理得,所以;
（2）由,可得,
由于,
所以.
18．答案：（1）98.8
（2）100元
解析：（1）生产线生产的产品平均尺寸为：;
（2）次品的尺寸范围,即,
即,故生产线生产的产品次品率为：,
设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为X,正品率为,
故,
设销售生产线上的一箱零件获利为Y元,
则（元）,
所以这箱零件销售后的期望利润为100元.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
又,,,
又,.
（2）的外接圆半径为2,
由正弦定理,,,.
,,
与的内角平分线交于点,
,,
设,则,且,
在中,由正弦定理得,,,,
的周长为
,
,,当,即时,的周长取得最大值,
最大值为,故的周长的最大值为.
20．答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）依题意,得,即,
解得,所以E的方程;
（2）依题意,可设直线l的方程为,
联立方程,化简整理,得,
易得恒成立,
设,,由韦达定理,
得,可得,
于是
,
故存在实数,使得恒成立.

21．答案：（1）证明见解析;
（2）．
解析：（1）证明：如图,作的中点M,连接,,
在等腰梯形中,D,M为,的中点,
,
在正中,M为的中点,
,
,,,,平面,
平面,
又平面, ．
（2）平面,
在平面内作,以M为坐标原点,以,,,分别为x,y,z,轴正向,如图建立空间直角坐标系,
,, 为二面角的平面角,即,
,,,,,,
设平面的法向量为,,,
则有,即,
则可取,又,
设直线与平面所成角为,
,
, ,
．
22．答案：（1）1
（2）
解析：（1）由题意,,令,则,
当时,,,所以,从而在上单调递增,
则的最小值为,故的最小值1;
（2）由已知得当时,恒成立,
令,,
①当时,若时,由（1）可知, 为增函数,
恒成立, 恒成立,即恒成立,
若,令 则,
令,则,
令,则,
在在内大于零恒成立,函数在区间为单调递增,
又,,,
上存在唯一的使得,
当时,,此时为减函数,
当时,,此时为增函数,
又,,
存在,使得,
当时,,为增函数,当时,,为减函数,
又,,
时,,则为增函数, ,
恒成立,
②当时,在上恒成立,则在上为增函数,
,,
存在唯一的使,
当时,,从而在上单调递减,
,
,与矛盾,
综上所述,实数a的取值范围为.