双鸭山市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份双鸭山市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设，则复数z的实部和虚部之和为( )
A.3B.C.1D.
2．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A.B.C.D.
3．向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知直线a，b和平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5．如图，在中，，，设，，则( )
A.B.C.D.
6．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形如图所示，若，那么原的面积是( )
A.B.C.D.
7．空间四边形中，，E，F分别是，的中点，，则异面直线，所成的角为( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知两点，，则与向量垂直的单位向量( )
A.B.C.D.
10．，，是三个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中错误的是( )
A.若，，，则
B.若，，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
11．在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则以下结论正确的是( )
A.若，则为等腰三角形
B.若，则
C.若则是锐角三角形
D.若，则一定是一个钝角三角形
12．在正四面体中，若，M为的中点，下列结论正确的是( )
A.正四面体的体积为
B.正四面体外接球的表面积为
C.如果点P在线段上，则的最小值为
D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
三、填空题
13．已知复数为纯虚数，则________.
14．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.
15．在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为________.
四、双空题
16．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别a，b，c，角.若是的平分线，交于M，且，则的最小值为________；若的外接圆的圆心是O，半径是1，则的取值范围是________.
五、解答题
17．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5cm.
（1）求该组合体的体积；
（2）求该组合体的表面积.
18．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量与的夹角是钝角，求实数k的取值范围.
19．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点.设平面平面.
（1）证明：平面PBE；
（2）证明：.
20．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值.
21．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点O，，D为BC中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角.
22．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：，故其实部为，虚部为，两者的和为.
2．答案：C
解析：由余弦定理得，
.
3．答案：C
解析：，与同向的单位向量，
又，所求投影向量为.
4．答案：C
解析：对A：若，，则或，故A错误；
对B：若，，则或，故B错误；
对C：若，，，则，故C正确；
对D：若，，则a，b可以平行，可以相交，也可以是异面直线，故D错误；
5．答案：D
解析：由题意得：，
6．答案：B
解析：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底.斜边，
则为直角三角形，高.
所以直角三角形的面积是.
7．答案：B
解析：取AC中点G，连接EG、FG，
由三角形中位线的知识可知：，，
或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，
在中，，
，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.
8．答案：A
解析：在中，由正弦定理可知：
，
在直角三角形中，
，
9．答案：AB
解析：
10．答案：BD
解析：
11．答案：BD
解析：，，，或，
为等腰或直角三角形，故A错误；
，由正弦定理可知，，故B正确；
设，，，则解得，，，
则，因为，
所以A是钝角，故D正确.
12．答案：BCD
解析：由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，
O为底面中心，则D，O，M共线，为体高，故，
所以，故正四面体的体积为，A错误；
由题设，外接球球心E在上，且半径，
所以，则，
故外接球的表面积为，B正确；
由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，
所以且，，
又，而，
要使最小，只需A，P，C共线，则，
所以，C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，圆柱底面半径为，
所以其侧面积，
故当时，，D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：因为复数为纯虚数，
所以且，解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，所以圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为r，则，所以，所以圆锥的表面积为.故答案为：.
15．答案：
解析：设点A到平面的距离为h，则三棱锥的体积为，即，，.
16．答案：；
解析：①由是的平分线，得，
又，
即，化简得，
，
当且仅当，即，时，取“=”.
②，，
=
，
锐角，，
，.
17．答案：（1）体积为（cm3）
（2）表面积（cm2）
解析：（1）根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成.由已知可得（cm3），
又，
所以所求几何体体积为：（cm3）.
（2）因为（cm2），
故所求几何体的表面积
（cm2）.
18．答案：（1）
（2）且
解析：（1），
，解得，
.
（2）与的夹角是钝角，
，且与不反向，
即且，
且.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）取PB中点G，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以，
因为平面PBE，平面PBE，平面PBE.
（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，由及正弦定理得：，
即，，
于是得，又，即，则，因，
所以.
（2），由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，
因此，，于是得，当且仅当时取“=”，
所以的面积的最大值为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1），因为，所以，
又因为侧面是正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
而平面，则，而，
，而，，平面，
平面.
（2）连接，
为正方形，，
，，而，，平面，
平面，
为直线与平面所成的角，
，
.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由，，
则，由正弦定理得，化简得，
故，又，故.
（2）由（1）知，，故
，
又，则，，故.
（3）易得，，由，可得，
整理得，又，整理可得，令，，
则，其中，，当，即时，取最大值，
此时，，解得，，
的面积为.