浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足:,则为( )
A.2B.C.D.5
3．若函数为偶函数,则实数a的值为( )
A.B.0C.D.1
4．双曲线的离心率e的可能取值为( )
A.B.C.D.2
5．在中,“A,B,C成等差数列且,,成等比数列”是“是正三角形”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知抛物线的焦点为F,以F为圆心的圆交于A,B两点,交的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆的方程为( )
A.B.C.D.
7．已知函数若,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,若AD为三棱锥的外接球直径,且AC与BD所成角的余弦值为,则该外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于函数,下列说法正确的是( )
A.最小正周期为B.关于点中心对称
C.最大值为D.在区间上单调递减
10．设定义在R上的函数的导函数为,若,均有,则( )
A.B.(为的二阶导数)
C.D.是函数的极大值点
11．已知正方体,的棱长为1,点P是正方形上的一个动点,初始位置位于点处,每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为,向对角顶点移动的概率为,如当点P在点处时,向点,移动的概率均为,向点移动的概率为,则( )
A.移动两次后,“”的概率为
B.对任意,移动n次后,“平面”的概率都小于
C.对任意,移动n次后,“平面”的概率都小于
D.对任意,移动n次后,四面体体积V的数学期望(注:当点P在平面上时,四面体体积为0)
三、填空题
12．已知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.
13．某中学的A,B两个班级有相同的语文､数学､英语教师,现对此2个班级某天上午的5节课进行排课,2节语文课,2节数学课,1节英语课,要求每个班级的2节语文课连在一起,2节数学课连在一起,则共有__________种不同的排课方式.(用数字作答)
14．设正n边形的边长为1,顶点依次为,,…,,若存在点P满足,且,则n的最大值为__________.(参考数据:)
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为,且.
（1）求;
（2）求数列的前n项和.
16．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面平面ABCD,,点E是线段AD的中点,.
（1）证明:平面BDM;
（2）求平面AMB与平面BDM的夹角.
17．某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检测结果统计如下表:
（1）现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率;
（2）关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:
若随机变量X具有数学期望,方差,则对任意正数,均有成立.
(i)若,证明:;
(ii)利用该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时,可称事件A为小概率事件)
18．已知椭圆的左顶点和下顶点B,焦距为,直线l交椭圆L于C,D(不同于椭圆的顶点)两点,直线AD交y轴于M,直线BC交x轴于N,且直线MN交l于P.
（1）求椭圆L的标准方程;
（2）若直线AD,BC的斜率相等,证明:点P在一条定直线上运动.
19．①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有结论:若函数,的导函数分别为,,且,则
.
②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对任意,均有成立,且,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
（1）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;
（2）计算:;
（3）证明:,.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以.
故选:D.
2．答案：C
解析：设,则
所以,即,,
所以.
故选:C.
3．答案：A
解析：的定义域为R,,
由于为偶函数,故,
故,故
故选:A
4．答案：A
解析：由,得到或,
当时,,
当,双曲线,,
所以,
故选:A.
5．答案：C
解析：在中,由A,B,C成等差数列,得,而,则,
由,,成等比数列,得,由正弦定理得,
由余弦定理得,即,解得,因此是正三角形;
若是正三角形,则,,
因此A,B,C成等差数列且,,成等比数列,
所以“A,B,C成等差数列且,,成等比数列”是“是正三角形”的充要条件.
故选:C
6．答案：D
解析：由题可得:抛物线的焦点为,
所以圆的圆心坐标为,
因为四边形ABCD是矩形,且为BD直径,AC为直径,为圆的圆心,
所以点F为该矩形对角线的交点,
所以点F到直线CD的距离与点到的距离相等,
故点F到直线CD的距离,
所以直线AB的方程为:,
所以,
故圆的半径,
所以圆的方程为.
故选:D
7．答案：B
解析：由题意可知,即,所以.
由图像可得,设,.
则,.令,则
当时,当时
所以在单调递减,在单调递增.
所以在时取得最小值,
可得.
故选:B
8．答案：A
解析：如图所示:记球心为O,取AB中点为E,BC中点为F,连接OE,OF,EF,
记外接球半径为r,
在中,,,,
在中,,,
在中,,
所以AC与BD所成角为,即,
在中,,,
所以,
解得:,
所以该外接球的表面积为:
故选:A
9．答案：BC
解析：,
函数的最小正周期,故A错误;
,所以函数图象关于点中心对称,故B正确;
,所以函数的最大值为,故C正确;
由,,函数在区间单调递增,
所以函数在区间上单调递增,故D错误.
故选:BC
10．答案：AB
解析：由,,令,则,,A正确;
当时,由得,故,
即,则(c为常数),则,
满足该式,故,则,
将代入中,得,
即,而,故,
则,,,
故,B正确;
令,,故在上单调递增,
故,即,C错误;
由于,令,,即得,
令,,即得,
故在上单调递减,在上单调递增,
故是函数的极小值点,D错误,
故选:AB
11．答案：ACD
解析：设移动n次后,点P在点的概率分别为,,,,
其中,,,,,
,解得:,
对于A,移动两次后,“”表示点P移动两次后到达点,
所以概率为,故A正确;
对于B,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,,,,,,
因为,,,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
而,,平面,
所以当点P位于或时,平面,
当P移动一次后到达点或时,所以概率,故B错误;
对于C,,所以当点P位于时,PC⊥平面,
所以移动n次后点P位于,则,故C正确;
对于D,四面体体积V的数学期望
,因为,
所以点到平面的距离为,
同理点,,到平面的距离分别为,
所以,
所以,
当n为偶数,所以,
当n为奇数,所以,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为l,r,根据已知得,
由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为,
当且仅当时,即,时等号成立.
故答案为:
13．答案：8
解析：由a表示数学课,b表示语文课,c表示英语课,
按上午的第1,2,3,4,5节课排列,可得
若A班排课为aabbc,则B班排课为bbcaa,
若A班排课为bbaac,则B班排课为aacbb,
若A班排课为aacbb,则B班排课为bbaac,或班排课为cbbaa,
若A班排课为bbcaa,则B班排课为aabbc,或班排课为caabb,
若A班排课为cbbaa,则B班排课为aacbb,
若A班排课为caabb,则B班排课为bbcaa,
则共有8种不同的排课方式.
故答案为:8.
14．答案：5
解析：由题意知点P满足,则P点在以为直径的圆上,
当时,设B,C,D,M为,,,CD的中点,如图,
,
当共线且方向时,即B,P,M三点共线时,取最小值,
此时,,则,
则,故时,不满足题意;
当时,设C,N为,的中点,如图,
,当,共线且反向时,取最小值,
此时C,P,N,共线,,,,,
,,,
则,
则当,共线且同向时,必有,
故时,存在点P满足,且;
当时,如图,正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高,依此类推,
故此时不存点P满足,且;
故n的最小值为5,
故答案为:5
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由①
所以当时,②
②①得:,整理得:,
所以,.
（2）由（1）知,
所以,
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图,连接交于,连接,由是的中点可得,
易得与相似,所以,
又,所以,
又平面BDM,平面BDM,所以平面BDM;
（2）因平面平面ABCD,且平面平面,由,点E是线段AD的中点可得
又平面PAD,故得平面ABCD.如图,取BC的中点为F,分别以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
,,则,.
设平面AMB的法向量为,由,,
则,故可取;
设平面BDM的法向量为,由,,
则,故可取.
故平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为,
所以平面AMB与平面BDM的夹角为.
17．答案：（1）
（2）(i)证明见解析;
(ii)不可信.
解析：（1）记事件A为抽到一件合格品,事件B为抽到两个合格品,
,,
（2）(i)由题:若,则
又
所以
由切比雪夫不等式可知,
所以;
(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,
假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立,则,
所以,,
由切比雪夫不等式知,,
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小,由小概率原理可知,一般来说在一次试验中是不会发生的,据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得:,所以,所以椭圆
（2）设直线AD,BC的斜率为k,,,.
则直线,直线,得,
联立得,易知.
由,得,于是.
同理:,
由于,所以,即,得①,
同理②,
由①②得,
故点P在直线上运动.
19．答案：（1）不是区间上的2阶无穷递降函数;
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）设,
由于,
所以不成立,
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设,则,
设,
则,
所以,得.
（3）令,则原不等式等价于,,
即证,,
记,,则,
所以,
即有对任意,均有,
所以,
因为,
所以,
所以,,证毕!
测试指标
元件数(件)
12
18
36
30
4