重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．3已知向量,,,则( )
A.B.C.2D.-2
2．如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则( )
A.B.C.D.
3．在中,角A,B所对的边分别为a,b.若,则( )
A.B.C.D.
4．已知,,与同向的单位向量为,若在上的投影向量为,则与的夹角( )
A.60°B.120°C.135°D.150°
5．冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如弯折位置通常采用等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了（如图乙）,测得,,,若点C恰好在边上,请帮忙计算的值( )
A.B.C.D.
6．如图,正六边形的边长为,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．在三角形中,点D是在边上且,边上存在点E满足,直线和直线交于点F,若,则的值为( )
A.2B.3C.4D.5
8．在中,,若点C为的中点,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下面给出的关系式中,正确的是( )
A.B.
C.D.
10．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
A.若,且,则为直角三角形
B.若,,,要使满足条件的三角形有且只有两个,则
C.若平面内有一点O满足：,且,则为等边三角形
D.若,则钝角三角形
11．已知的内角A,B,C的对边为a,b,c,下列说法中正确的是( )
A.若,则.
B.若满足的恰有一个,则a的取值范围是.
C.若,则.
D.若,则该三角形内切圆面积的最大值是.
三、填空题
12．已知单位向量满足,则=_____________.
13．在中,,,则外接圆半径为___________.
14．设点,,,若动点P满足,且,则的最大值为______________．
四、解答题
15．已知向量,．
（1）求的值;
（2）若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）若,求面积的最大值.
17．如图,在平面四边形中,,,.
（1）若的面积为,求的长;
（2）若,.求的大小.
18．在锐角中,角A,B,C所对边分别是a,b,c．已知,
．
（1）求角B;
（2）若M是内的一动点,且满足,则是否存在最大值？若存在,请求出最大值及取最大值的条件;若不存在,请说明理由;
（3）若D是中AC上的一点,且满足,求的取值范围．
19．将所有平面向量组成的集合记作,是从到的映射,记作或,其中,,,,,,都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值,记作.若存在非零向量,及实数使得,则称为f的一个特征值.
（1）若,求;
（2）如果,计算f的特征值,并求相应的;
（3）若,要使f有唯一的特征值,实数,,,应满足什么条件？试找出一个映射f,满足以下两个条件：①有唯一的特征值;②,并验证f满足这两个条件.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知,则.
故选：B.
2．答案：D
解析：由题意知，所以.故选D.
3．答案：A
解析：根据正弦定理可知,,,
则,得.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为在上的投影向量为,
所以,即,解得,
由知,.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题意,在中,由余弦定理可得,,
在中,由得,
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意可得,
,
当与正六边形的边垂直时,,
当点M运动到正六边形的顶点时,,
所以,则,即.
故选：B.
7．答案：C
解析：由题意,,
则,
同理可得：,
因为直线和直线交于点F,
所以存在m使,
即,两式作商得
解得.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为,C为AB的中点,所以,
可得,
由余弦定理可得,所以,
所以,
因为,所以,当且仅当即时取等号,
所以,即.
故选：D.
9．答案：AD
解析：对A：由可得,而,故A说法正确;
对B：取,则成立,但不一定成立,故B说法错误;
对C：表示与共线的向量,而表示与共线的向量,所以不一定成立,故C说法错误;
对D：因为,故,故D说法正确.
故选：AD.
10．答案：BC
解析：对于选项A,因为,,分别为单位向量,
所以的角平分线与BC垂直,所以,所以.又因为,
即,因为,所以,所以,所以为等边三角形,故选项A错误;
对于选项B,要使满足条件三角形有且只有两个,则,因为,,
所以,即,,所以,故选项B正确;
对于C,因为,故,即,
又,所以,故,
由于,故,同理可得,结合,
故,可得,故为等边三角形,C正确;
对于D.,
而A,B,,所以A,B,C都为锐角,D错误;
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：对于A,若,则,则,
因为A,B为三角形的内角,所以,,
所以,根据正弦定理得,故A正确;
对于B,若满足,的恰有一个,则或,
即或,故B不正确;
对于C,若,则,
则,因为,所以,,
所以,所以,所以,
所以,,
因为,,,
所以,
所以
,故C正确;
对于D,若,由正弦定理得,
得,
得,
得,得,
因为A,B为三角形的内角,,,所以,
所以,因为,所以,
设该三角形内切圆半径为r,
则,又,所以,
所以
,
因为,所以,,
所以,
因为,所以,所以,
所以,所以该三角形内切圆面积的最大值为.故D正确;
故选：ACD.
12．答案：5
解析：因为单位向量,满足,
所以,即,即,
,
所以.
故答案为：5.
13．答案：3
解析：因为,故,
故,故A为锐角,故,
故外接圆的半径为,
故答案为：3.
14．答案：
解析：设,则,,
由,得,
整理,得,
又,,
代入,
有,所以,
由,得,当且仅当时等号成立,
所以,得,
所以.
即的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
所以,所以
（2）由于,,
向量与向量夹角为钝角,
所以,且向量与向量不能共线,
即
所以,且,
故实数t的取值范围为：.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得,
又,
.
,,,即,
,.
.
（2）由余弦定理有,
,,当且仅当时取等号.
.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,因为,,
的面积为,
所以,解得,
在中,由余弦定理的,
所以.
（2）设,则,
在中,因为,
所以,
在中,,
由正弦定理,可得,即,
所以,
因为为锐角,
所以,
解得,即的值为.
18．答案：（1）
（2）当且仅当时等号成立,;
（3）
解析：（1）法1：
, ,
由正弦定理得,
即,
,
,
又, , ,
又, ;
法2：
, ,
①,
在中,由余弦定理得,②,
由①②得,即
由正弦定理得,
又, , ,
又, ;
（2）点M是内一动点,,
,
, ,
由余弦定理知,
由基本不等式可得,即,,
,当且仅当时等号成立,
;
（3）, ,
,
又余弦函数在上单调, ,即BD平分,
又,,①,
又,, ②,
由①②可得,
所以
,
又,且为锐角三角形,,
, ,
．
19．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）,,验证答案见解析
解析：（1）由于此时,又因为是在的条件下,
有（时取最大值）,所以此时有.
（2）由,
可得：,即
两式相比可得：,从而,
当时,解方程,此时这两个方程是同一个方程,
所以此时方程有无穷多个解,为（写出一个即可）,其中且,
当时,同理可得,相应的（写出一个即可）,其中且.
（3）解方程组,即,
从而向量与平行,
则有,,,应满足：,
当时,有唯一的特征值,且.具体证明为：
由的定义可知：对任意的有：,
所以为特征值.此时,,,,
满足：,所以有唯一的特征值.
在的条件下,从而有.