2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若csα+sinα=−12，则sin2α=( )
A. −38B. 38C. −34D. 34
2.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a⊥(a+b)，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.若△ABC的外接圆半径R=56，csB=35，csA=1213，则c=( )
A. 3B. 2C. 32D. 2113
4.已知向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a⊥b，则|a−2b|=( )
A. 8B. 4 5C. 10D. 8 2
5.已知向量a=(1,2)，A(6,4)，B(4,3)，b为向量AB在向量a上的投影向量，则|b|=( )
A. 4 55B. 1C. 5D. 4
6.已知函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论中错误的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. y=f(x)的图象关于直线x=7π6对称
C. f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减D. f(x+π4)的一个零点为x=7π24
7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12 (ab)2−(a2+b2−c22)2.根据此公式，若acsB+(b−2c)csA=0，且b2+c2−a2=4，则△ABC的面积为( )
A. 6B. 2 3C. 3D. 3 2
8.已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. (0,12]B. (0,2]C. [12,54]D. [12,34]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知sin(α+π)+2sin(α+π2)=0，则( )
A. tanα=−2B. tanα=2
C. sinα+csαsinα−csα=13D. sinα+csαsinα−csα=3
10.若函数f(x)=3sin(2x−π6+φ)是偶函数，则φ的值不可能为( )
A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a= 7,b=2,A=π3，则( )
A. c=3B. sinB= 217
C. sinC= 217D. △ABC外接圆的面积为7π3
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，sinA：sinB：sinC=2：3：4，下列结论正确的有( )
A. a：b：c=2：3：4B. sinA−sinB2sinC=18
C. 最小角的正弦值78D. 最大角的余弦值为−14
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为π3，若(ka−b)⊥a，则k的值为______．
14.已知向量a=(2,2)，b=(1,0)，则a在b上的投影向量的坐标为______．
15.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2absin C= 3(b2+c2−a2)，若a= 13，c=3，则△ABC的面积为 ．
16.将函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=g(x)的图象，若数y=g(x)在[−π4,π3]上为增函数，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
己知向量a=(2,3)，b=(m,2)，c=(−l,2)．
(1)若3a+2b与a−3b共线，求m；
(2)若b⊥c，求|2a−b+c|.
18.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xy中，锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(35,45)．
(1)求sinα+2csαsinα−csα的值；
(2)若β∈(−π2,0)，且sin(α+β)=−13，求csβ的值．
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且C=π3，c=4．
(Ⅰ)若sinA=34，求a；
(Ⅱ)若△ABC的面积等于4 3，求a，b．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=12sin(2x+π4)，x∈R．
(1)求f(x)的最大值和对应x的取值；
(2)求f(x)在[−π2,π2]的单调递增区间．
21.(本小题12分)
四边形ABCD中，AD//BC，AB=2，AD=1，A=2π3．
(1)求sin∠ADB；
(2)若sin∠BDC=2π3，求四边形ABCD的面积．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12．
(1)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域；
(2)若关于x的方程f2(x)−(m+1)f(x)+m=0在区间[0,π2]上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，同角三角平方关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
由sin2α=(csα+sinα)2−1，得解．
【解答】解：因为csα+sinα=−12，
所以sin2α=2sinαcsα
=(csα+sinα)2−1=(−12)2−1=−34．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量夹角公式，向量垂直的充要条件，属于基础题．
根据条件可得出a⋅b=−1，然后即可求出cs的值，从而得出答案．
【解答】
解：∵a⊥(a+b)，
∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，
∴a⋅b=−1，
∴cs=a⋅b|a||b|=−11×2=−12，
又∈[0,π]，
∴a与b的夹角为2π3．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：由csB=35>0，则B为锐角，所以sinB=45，
由csA=1213>0，则A为锐角，所以sinA=513，
则sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=6365，
可得：c=2RsinC=106×6365=2113．
故选：D．
根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理求得c．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦定理的应用，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，向量的运算，向量的模．
由题意利用两个向量垂直的性质，求出a−2b 的坐标，可得它的模．
【解答】
解：∵向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a⊥b，
∴a⋅b=6−2m=0，
∴m=3，∴a−2b=(4,−8)，
则|a−2b|= 16+64=4 5，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得，AB=(−2,−1)，
由向量投影的定义可得，|b|=|AB⋅a|a||=|−2×1−2×1 5|=4 55．
故选：A．
先求出AB的坐标，然后根据向量投影的定义可得，|b|=|AB⋅a|a||，代入即可求解．
本题主要考查了向量投影的定义及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
6.【答案】D
【解析】解：f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，故A正确；
∵f(7π6)=sin(7π3+π6)=sin(2π+π2)=1，
∴y=f(x)的图象关于直线x=7π6对称，故B正确；
由x∈(π6,2π3)⇒2x+π6∈(π2,3π2)，而正弦函数在(π2,3π2)上单调递减，
∴f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减，故C正确；
∵f(x+π4)=sin[2(x+π4)+π6]=cs(2x+π6)，
又cs(2×7π24+π6)=cs3π4≠0，
∴x=7π24不是f(x+π4)的一个零点，故D错误．
故选：D．
根据三角函数的图象与性质一一判定即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：∵acsB+(b−2c)csA=0，
∴sinAcsB+(sinB−2sinC)csA=0，
∴sinAcsB+sinBcsA−2sinCcsA=0，
∴sin(A+B)−2sinCcsA=0，
∴sinC(1−2csA)=0，∵sinC≠0，
∴1−2csA=0，解得：csA=12=b2+c2−a22bc，
∴b2+c2−a2=bc=4，
∴S=12 (bc)2−(b2+c2−a22)2=12 42−(42)2= 3，
故选：C．
根据acsB+(b−2c)csA=0，求出csA=12，再根据余弦定理以及b2+c2−a2=4，求出bc的值，代入三角形面积公式即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调性可得关于ω的不等式，求解即可．
【解答】
解：∵x∈(π2,π)，ω>0，
∴ωx+π4∈(12ωπ+π4,ωπ+π4)，
∵函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减，
∴周期T=2πω≥π，解得ω≤2
∵f(x)=sin(ωx+π4)的减区间满足：
π2+2kπ0)，
∵y=g(x)在[−π4,π3]上为增函数，
∴−π4ω≥−π2π3ω≤π2，解得0