2022-2023学年河南省商丘市夏邑县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省商丘市夏邑县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简 12的结果是( )
A. 2 3B. 3C. 2 2D. 2
2.下列计算正确的是( )
A. 3+4 2=7 2B. 3− 2=1
C. 3÷1 6=2 3D. (−3)2=3
3.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3, 4, 5C. 4，5，6D. 5，12，13
4.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
5.如图，△OAB的顶点O(0,0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是( )
A. (5,4)
B. (3,4)
C. (5,3)
D. (4,3)
6.已知在平行四边形ABCD中，AC=6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC=4，连接EO，则EO的长为( )
A. 3B. 5C. 2 5D. 7
7.下列命题中，其逆命题成立的有个．( )
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
9.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于12BF的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结AG并延长，交BC于点E.连结BF，若AE=16，BF=12，则AB的长为( )
A. 5B. 8C. 12D. 10
10.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=4，OH=3，则DH的长( )
A. 125B. 245C. 485D. 965
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.要使式子 x−5有意义，则x的取值范围是 ．
12.对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b= a+b a−b，如：3⊕2= 3+2 3−2= 5，那么12⊕4=______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，BC=12，分别以点B和点C为圆心、大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是______．
14.如图，四边形ABCD为菱形，点E是AD的中点，点F，H是对角线BD上两点，且FH=3，点G在边BC上.若四边形EFGH是矩形，则菱形ABCD的周长为______．
15.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P.若BC=12，则MP+MN= ．
16.如图，将边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，⋅⋅⋅，An分别是正方形的对称中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为______cm2．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1) 12×( 75+3 13− 48)；
(2)( 5+3)( 5−3)−( 3−1)2．
18.(本小题10分)
已知a=2+ 5，b=2− 5，求下列式子的值：
(1)a2b+ab2；
(2)ba+ab．
19.(本小题10分)
如图，每个小正方形的边长都为1
(1)四边形ABCD的周长=______；
(2)四边形ABCD的面积=______；
(3)∠ABC是直角吗？判断并说明理由．
20.(本小题10分)
如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，过E点作EF/​/DC交BC的延长线于点F，连接CD．
(1)求证：四边形CDEF平行四边形；
(2)求EF的长．
21.(本小题10分)
如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
(1)求证：EC=BD；
(2)若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明a2+b2=c2．
22.(本小题11分)
在正方形ABCD中，E是BC边上一点(点E不与点B，C重合)，AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．

(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是______；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌△EFC，则判断△AEP≌△EFC的依据是______．
(2)点E在BC边上运动，如图2，(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
23.(本小题11分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E.延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形：
(2)连接OE，若AD=20，EC=8.求OE的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 12= 4×3= 22×3=2 3，
故选：A．
将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2 3．
本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
2.【答案】D
【解析】解：A、3和4 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 3和 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、 3÷1 6= 3× 6=3 2，计算错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，计算正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意．
B、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，不符合题意．
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意．
D、52+122=132，能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
小正方形的边长为3−1=2，
∴小正方形的周长为：2×4=8，
故选：B．
根据题意和题目中的数据，可以计算出大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，从而可以求得小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】D
【解析】解：设AB与x轴交于点C，
∵OA=OB，OC⊥AB，AB=6，
∴AC=12AB=3，
由勾股定理得：OC= OA2−AC2= 52−32=4，
∴点A的坐标为(4,3)，
故选：D．
根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．
本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
∴OA=OC=12AC=3，
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长=CD+CE+DE=CD+AD，
∴CE+DE=AD，
∵AE+DE=AD，
∴AE=CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE=EC=4，OA=3，
∴EO= AE2−OA2= 16−9= 7．
故选：D．
根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，得出OE是线段AC的中垂线是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：①同旁内角互补，两直线平行逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④平行四边形的对角线互相平分逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题．
故选：B．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查了命题与定理的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
8.【答案】C
【解析】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8−x，
在Rt△AFD′中，(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴AF=AB−FB=8−3=5，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选：C．
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，易证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB−BF，即可得到结果．
本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF/​/BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=8，BO=OF=6，
在Rt△AOB中，AB= AO2+BO2=10．
故选：D．
首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
本题考查了平行四边形的性质，作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=8，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=3，
∴BD=6，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24.AB= AO2+OB2= 42+32=5，
∵菱形ABCD的面积=AB⋅DH=5DH=24，
∴DH=245．
故选：B．
由菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，则AC=2OA=8，再由直角三角形斜边上的中线性质得BD=6，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
11.【答案】x≥5
【解析】解：∵式子 x−5有意义，
∴x−5≥0，
∴x≥5．
故答案为：x≥5．
根据 a(a≥0)，二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可．
本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式有意义，则被开方数是非负数是关键．
12.【答案】 2
【解析】解：12⊕4= 12+4 12−4= 2．
故答案为： 2．
先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，
∴AC= AB2−BC2=5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=5+13=18．
故答案为：18．
由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD=BD，由勾股定理可得AC= AB2−BC2=5，则△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是解答本题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：连接EG，如图所示：
在矩形EFGH中，EH=FG，∠FEH=∠FGH=90°，
又∵∠AEF=∠CGH，
∴∠DEH=∠BGF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠EDH=∠GBF，
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BG=DE，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∴AE=BG，
∵AE//BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵四边形EFGH是矩形，FH=3，
∴EG=3，
∴AB=3，
∴菱形ABCD的周长为3×4=12．
故答案为：12．
连接EG，易证△BGF≌△DEH(AAS)，可得BG=DE，再根据E是AD的中点，可证四边形ABGE是平行四边形，可得AB=GE，再根据矩形的性质可得EG=FH，可得AB的长，进一步即可求出菱形ABCD的周长．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，本题综合性较强，属于中考常考题型．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键．
先把图补全，由折叠得：AM=MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN=6，可得答案．
【解答】
解：如图2，由折叠得：AM=MD，MN⊥AD，AD⊥BC，
∴GN//BC，
∴AG=BG，
∴GN是△ABC的中位线，
∴GN=12BC=12×12=6，
∵PM=GM，
∴MP+MN=GM+MN=GN=6．
故答案为：6．
16.【答案】2022
【解析】解：作A1E⊥A2G于E，A1F⊥A2H于F，如图所示：
∴∠FA1E=∠HA1G=90°，
∴∠FA1H=∠GA1E，
在△A1HF和△A1GE中，
∠FA1H=∠GA1EA1F=A1E∠A1FH=∠A1EG，
∴△A1HF≌△A1GE(ASA)，
∵正方形的边长均为2cm，
∴四边形A2HA1G的面积=四边形A1EA2F的面积=14S正方形=14×4=1，
∴同理可知，各个重合部分的面积都是1，
∴n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×(n−1)=n−1，
∴2023个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为2023−1=2022，
故答案为：2022．
根据正方形的性质，结合三角形全等的判定与性质，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为(n−1)个阴影部分的和．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
17.【答案】解：(1)原式=2 3×(5 3+ 3−4 3)
=2 3×2 3
=12．
(2)( 5+3)( 5−3)−( 3−1)2
=( 5)2−32−(3−2 3+1)
=5−9−3+2 3−1
=2 3−8．
【解析】(1)先化简二次根式，再计算括号里面的，最后计算乘法即可；
(2)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可．
本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及乘法公式是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵a=2+ 5，b=2− 5，
∴a+b=4，ab=(2+ 5)(2− 5)=22−( 5)2=−1，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=(−1)×4=−4，
(2)由(1)得a+b=4，ab=−1，
∴ba+ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=16+2−1=−18．
【解析】(1)根据a，b的值求出a+b，ab的值，再代入计算即可；
(2)根据(1)得出的a+b，ab的值，再根据分式的加减化简，代入计算即可．
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是二次根式的性质、分式的加减运算，完全平方公式，关键是对要求的式子进行化简．
19.【答案】3 5+2+ 17 9
【解析】解：(1)由勾股定理得：AB= 42+22=2 5，BC= 12+22= 5，AD= 42+12= 17，
∵DC=2，
∴四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=2 5+ 5+2+ 17=3 5+2+ 17，
故答案为：3 5+2+ 17；
(2)△ABCD的面积=4×4−12×(2×1+2×4+4×1)=9，
故答案为：9；
(3)∠ABC是直角，
理由是：连接AC，由勾股定理得：AC= 42+32=5，
∵AB=2 5，BC= 5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
即∠ABC是直角．
(1)根据勾股定理求出AB、BC、AD的长，再求出周长即可；
(2)根据图形得知△ABC的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；
(3)根据勾股定理的逆定理可判断△ABC的形状．
本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
20.【答案】(1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC,DE//BC，
∵EF//DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
(2)解：∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是4，
∴AD=BD=2，CD⊥AB，BC=4，
∴DC=EF= BC2−BD2=2 3．
【解析】(1)直接利用三角形中位线定理得出DE/​/BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
(2)利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
21.【答案】解：(1)证明：由题意可知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°．
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCD．
∵AE⊥直线m，BD⊥直线m，
∴∠CEA=∠BDC=90°．
在△CAE与△BCD中，
∠CEA=∠BDC,∠CAE=∠BCD,AC=CB,
∴△CAE≌△BCD(AAS)．
∴EC=BD；
(2)由(1)知：BD=CE=a，CD=AE=b，
∵AE⊥直线m，BD⊥直线m，
∴AE//BD，
∴四边形AEDB是梯形，
∴S梯形AEDB=12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2．
又∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，
整理，得a2+b2=c2．
【解析】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．
(1)通过“AAS”证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
(2)利用等面积法即可证得．
22.【答案】AE=EF ASA
【解析】解：(1)在正方形ABCD中，AB=BC，点E是BC的中点，点P是AB的中点，
∴EC=BE=12BC，AP=BP=12AB，
∴EC=AP，BE=BP，
在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCG=180°−∠BCD=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=12∠DCG=12×90°=45°，
∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=90°+45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=180°−∠AEF=180°−90°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△APE和△ECF中，
∠PAE=∠CEFAP=EC∠APE=∠ECF，
∴△APE≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF，
故答案为：AE=EF，ASA．
(2)①成立，理由如下：
如图，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，则AP=EC，
由(1)得：∠PAE=∠CEF，
∵BP=BE，∠B=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
∠PAE=∠CEFAP=EC∠APE=∠ECF，
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
(1)根据提示，利用ASA证明△AEP≌△EFC，从而得到AE=EF；
(2)利用(1)的解题思路，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，则AP=EC，同样利用ASA证明△AEP≌△EFC，从而得到AE=EF．
本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定．正确作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD=20，
∴AD=AB=BC=20，
∵EC=8，
∴BE=20−8=12，
在Rt△ABE中，AE= AB2−BE2= 202−122=16，
在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2= 162+82=8 5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴OE=12AC=4 5．
【解析】(1)由菱形的性质得AD//BC且AD=BC，再证BC=EF，则四边形AEFD是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
(2)由菱形的性质得AD=AB=BC=20，再由勾股定理求出AE=16，AC=8 5，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．