江苏省宿迁市泗洪县第一高级中学2023-2024学年高二下学期4月考试数学试题（原卷版+解析版）

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试卷满分：100分 考试时间：90分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 小明准备将新买的中国古典长篇小说四大名著《红楼梦》､《三国演义》､《水浒传》､《西游记》和《论语》五本书立起来放在书架上，若要求《三国演义》､《水浒传》两本书相邻，且《论语》放在两端，则不同的摆放方法有（ ）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种
3. 芜湖有很多闻名旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A. B. C. D.
4. 甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A. 1512种B. 1346种C. 912种D. 756种
6. 德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…，记此数列的前n项之和为，则的值为（ ）．
A. 452B. 848C. 984D. 1003
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A. 存在，展开式中有常数项
B. 对任意，展开式中没有常数项
C. 对任意，展开式中没有x的一次项
D. 存在，展开式中有x的一次项
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种
B. 有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种
C. 有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种
D. 有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种
11. 已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）．
A. B.
C. 若，独立，则D. 若，互斥，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量，，若，则______.
13. 10名同学进行队列训练，站成前排4人后排6人，现体育教师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有__________种．（数字作答）
14. 某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中_______次．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．
（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？
（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边站法有多少种？
（3）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？
16. 一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金．
（1）设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A发生的概率P（A）．；
（2）如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．
①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？
②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？
17. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱上的动点，且
（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正弦值．
18. 如图，在三棱锥中，分别为中点，为正三角形，平面平面．

（1）求点到平面的距离；
（2）在线段上是否存在异于端点点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
19. 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.
（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中，，的值；
（2）若从这批零件中随机选取3个，记为抽取的零件长度在的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？