黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共计30）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
4．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部点的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形
8．2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
9．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．若方程的一根为，则 ．
12．因式分解： ．
13．如图，在数轴上，点表示的数为，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数为 ．
14．已知、是一元二次方程的两个根，则 ．
15．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 ．
16．已知：如图，四边形，，，，，，则四边形的面积是 ．
17．我国南宋数学家杨辉所著的《解答九章算法》一书上，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第三项的系数为 ．
18．已知如图，在中，，则的长为 ．
19．已知：在中，，，，则的长为 ．
20．在中，，点D是三角形外一点，，若，，则 ．
三、解答题（21题9分、22题6分、23题7分、24题8分、25-27题各10分，共计60分）
21．解方程
(1)
(2)
(3)
22．图（a）图（b）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
(1)在图（a）中画出一个周长为24，面积为24的直角三角形；
(2)在图（b）中画出一个等腰三角形，腰长为5，面积为10．
23．如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东30°方向上的A处，且A处距离灯塔C处80海里，轮船沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．
（1）求灯塔C到达航线AB的距离；
（2）若轮船的速度为20海里/时，求轮船从A处到B处所用的时间（结果保留根号）．

24．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
25．某商店经销一种进价为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答一下问题：
（1）当销售单价定位每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）商店要使月销售利润为8000元，销售单价应定为多少？
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与的负半轴交于点，已知．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，动点从点沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，连接，设运动时间是为秒，的面积为，求与的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，连接，若，求点的坐标和的值．
27．如图1，中，，在延长线上取一点，连接，作于点，交于点．

(1)求证：；
(2)如图2，在斜边上取一点，连接，使分别交于两点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取点，连接，使得．若，求线段的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为2的整式方程）判断即可．
【解答】解：A．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程；
C．是分式方程，不是一元二次方程；
D．未知数的次数为1，不是一元二次方程；
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【解答】解：A、，故不是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，此选项符合题意；
D、，故不是直角三角形，此选项不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【解答】解：该一元二次方程为，
，，，
，
该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
4．C
【分析】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
根据勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意可知，，，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用配方法进行变形即可．
【解答】解：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】根据解等腰直角三角形的性质，得到∠A=∠B=45°,a=b，再由勾股定理计算即可；
【解答】解：在中，∠A=90°-45°=45°=∠B，
∴
∴，即，
∴；
故选：C.
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理解直角三角形是解题的关键.
7．D
【分析】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出的值，并正确运用勾股定理的逆定理．根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．
【解答】解：，
，，，
解得：，，，
，，
，
该三角形是直角三角形，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．根据增长后的产量增长前的产量（增长率），设增长率是x，则2022年的产量是，据此即可列出方程．
【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则2021年的产量为，2022年的产量为：，
由题意得．
故选：B．
9．A
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=9，
四个直角三角形的面积是：ab×4=9﹣1=8，
即：ab=4．
故选A．
考点：勾股定理．
10．D
【解答】：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形FDCE全等，
所以EC=AF=AE，
由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即42+（8﹣AE）2=AE2，
解得，AE=AF=5，
所以BE=3，
作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形，
所以AG=3，GF=2，GE=AB=4，
由勾股定理得EF=．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解出的值，即可作答．
【解答】解：方程的一根为，
把代入中，
得：，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点，求出的长度是解题关键．根据数轴上的点及勾股定理求解即可．
【解答】解：在直角三角形中，，
，
点所表示的数为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的两个实数根与系数的关系是解此题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解．
【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：．
15．10
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
依题意，得：，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法．
16．36
【分析】连接，求出，再根据得出，再将四边形的面积拆分为，两部分的面积求解即可．
【解答】解：如图所示，连接，
即
又
即
故
故答案为：36．
【点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出的结论，进而求面积．
17．28
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）10的展开式中第三项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
∴（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴第三项系数为1+2+3+…+7=28，
故答案为：28．
【点拨】本题考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
18．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案．
【解答】解：如图，作交的延长线于，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
．
故答案为：
19．或
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，正确分类求解是关键．分为两种情况讨论：当为最长边时，当为最长边时，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：当为最长边时，如图，过点作交的延长线于点，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
；
当为最长边时，如图，过点作于点，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
20．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．作的平分线，交分别为，证明，，得到，利用勾股定理求得，证明，据此求解即可．
【解答】解：作的平分线，交分别为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
21．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可．
【解答】（1）解：
或
即，；
（2）解：
或
即，；
（3）解：
或
即，．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定：
（1）画一个两直角边为6和8的直角三角形即可；
（2）根据网格的特点画出一个腰长为5，腰上的高为4的等腰三角形即可．
【解答】（1）解；如图所示，即为所求，
其中；
（2）解；如图所示，即为所求；
其中．
23．（1）40海里；（2）小时．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，然后根据含30°的直角三角形性质 ；
（2）根据勾股定理求AB得长度，然后利用时间=路程÷速度公式求解．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，
由题意可知CN∥AB，∠NCA=30°
∴∠CAB=30°
∴在Rt△ACD中，
答：点C到AB的距离为40海里；
（2）由题意可得：∠MCB=45°
∴在Rt△CDB中，∠DCB=45°
∴DB=CD=40
在Rt△ACD中，
∴AB=AD+DB=
∴轮船从A处到B处所用的时间为（小时）．

【点拨】本题考查方位角，勾股定理，及含30°直角三角形的性质，掌握相关定理和性质，正确计算是解题关键．
24．(1)，
(2)，；
【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
（1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可；
（2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．
【解答】（1）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
故原方程的解为：，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得：，；
当时，，即，
，
方程无解；
故原方程的解为：，．
25．（1）月销售量是450千克；销售利润是6750元；（2）月销售利润达到8000元销售单价应定为60元或80元；
【解答】试题分析：（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；
（2）方法同（1）将55元换成x元，月销售利润为8000元，列出方程，求出x的值即可；
解：（1）根据题意得：
月销售量是：500﹣（55﹣50）×10=450（千克）；
销售利润：450×（55﹣40）=450×15=6750（元）；
（2）设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500﹣（x﹣50）×10]=（1000﹣10x）千克，
每千克的销售利润是：（x﹣40）元，
则（x﹣40）（1000﹣10x）=8000，
解得：x1=60，x2=80．
答：月销售利润达到8000元销售单价应定为60元或80元；
考点：一元二次方程的应用．
26．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由题意得，再由勾股定理求出的长，即可得出答案；
（2）分两种情况：当点在线段上时，即时；当点在的延长线上时，即时；分别利用三角形面积公式计算即可得出答案；
（3）作交于，延长、交于点，在上取一点，使，作于，设，则，，由同角的余角相等、三角形内角和定理、等角对等边得出，，从而得出，由等腰三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理建立方程得出，从而得出，证明，得出，设，则，再由等面积法求出的值，即可得解．
【解答】（1）解：，
，
，
点位于轴负半轴，
；
（2）解：当点在线段上时，即时，
此时，则，
的面积为；
当点在的延长线上时，即时，
此时，则，
的面积为；
综上所述，；
（3）解：如图，作交于，延长、交于点，在上取一点，使，作于，
设，则，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，，
．
【点拨】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质、等角对等边、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、坐标与图形、一次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由等角的余角相等得出，利用“”证明，即可得出；
（2）由等角的余角相等结合对顶角相等得出，由等角对等边得出，证明得出，由三角形外角的定义及性质得出，推出，进而得出，即可得证；
（3）设，则，证明，得出，，连接，证明为等腰直角三角形，得出，计算出，，求出，得出，进而得出，，，由勾股定理得出，再由得出，计算即可得解．
【解答】（1）证明：，，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解： ，，
，，，，
，
，
，，
，
，
由（1）可得，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
，，
，
，，
如图，连接，

由（2）可得，
为直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
解得：．