初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形随堂练习题

这是一份初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形随堂练习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD
3、如图，点E，F分别在矩形ABCD的两条边上，且EF⊥EC，EF=EC，若该矩形的周长为16，AE=3，
则DE的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
4、如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
5、如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为（ ）
A．9B．8C．D．
6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
7、如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（ ）
A．43°B．34°C．33°D．19°
9、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF平分∠ADC，交EB的延长线于点F，BC＝6，CD＝3，则为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是 ．
12、在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是 ．
13、在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是 ．
14、如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若CD=，∠ABE＝45°，则此矩形的面积为 ．
15、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．

16、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数等于 ．
17、如图，，矩形的顶点，分别在边， 上，当点在边上移动时，点随之在边上移动，，，运动过程中，点到点的最大距离为______．

18、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，
则PE+PF的值为_____．

三、解答题
19、如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：四边形CEAF是矩形；
（2）若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四边形ABCF的面积．
20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论．
21、如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
22、如图，的对角线，相交于点，，是上的两点，并且，连接，．
（1）求证：；
（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
23、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝ ，EF＝
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
24、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到F，使CF＝BE，连接DF和OF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形．
（2）若AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求OF的长．
5.1 矩形（解析）
一、选择题
1、下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.
【解析】解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.
2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD
【答案】D
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
【详解】∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
A、AB=CD是平行四边形的性质，并不能得出四边形是矩形；
B、AD=BC是平行四边形的性质，不能推出四边形是矩形；
C、AB=BC时，四边形是菱形，而不是矩形；
D、AC=BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形．故选：D．
3、如图，点E，F分别在矩形ABCD的两条边上，且EF⊥EC，EF=EC，若该矩形的周长为16，AE=3，
则DE的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．∴∠FEC=90°．∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中， ,∴△AEF≌△DCE（AAS）．∴AE=CD=3，
∵矩形ABCD的周长为16cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（6+DE）=16，
解得：DE=2．
故答案为：B．
4、如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质证得，然后求解即可．
【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N，

∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，
∵，，，，，
∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，
∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴，∴S阴=，故选：A．
5、如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】D
【分析】先求出DE＝3，CE＝6，根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角的性质求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据平行线的性质求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出FC，从而得解．
【详解】解：∵DC＝3DE＝9，∴DE＝3，CE＝6，
由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，
所以，在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，
所以，∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，
∵矩形对边AD∥BC，∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CFE＝∠CFP＝30°，∴EF＝2CE＝2×6＝12，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC＝＝＝6=FP．
故选：D．
6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=AB×AC=BC×AD，

∴MN的最小值为；
故选：A．
7、如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据线段垂直平分线的的性质，求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，即可列方程求解．
【答案】解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴MD长为5．
故选：C．
8、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（ ）
A．43°B．34°C．33°D．19°
【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AE＝BE，求出∠ABD＝∠BAC＝38°，由角平分线定义得出∠BAM＝∠CAM=∠BAC＝19°，则∠ABF＝90°﹣∠BAM＝71°，由∠DBF＝∠ABF﹣∠ABD即可得出结果．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AE＝BE，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣52°＝38°，
∴∠ABD＝∠BAC＝38°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM=∠BAC=×38°＝19°，
∵BF⊥AM，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAM＝90°﹣19°＝71°，
∴∠DBF＝∠ABF﹣∠ABD＝71°﹣38°＝33°，
故选：C．
9、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，又∵ AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误；
∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，∴，故⑤正确；故选：B．
10、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF平分∠ADC，交EB的延长线于点F，BC＝6，CD＝3，则为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】由矩形的性质可得∠COB＝2∠CDO，∠EBO＝∠BDF+∠F，结合角平分线的定义可求得∠F＝∠BDF，可证明BF＝BD，结合矩形的性质可得AC＝BF，根据三角形的面积公式得到BE，于是得到结论．
【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，OA＝OD，∴∠COD＝2∠ADO，
又∵BE⊥AC，∴∠EOB+∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠BDF+∠F，∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝90°，
又∵DF平分∠ADC，∴∠ADO+∠BDF＝∠ADC＝45°，
∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝45°+∠ADO+∠F＝90°，∴∠ADO+∠F＝45°，
又∵∠BDF+∠ADO＝45°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD，∴AC＝BF，
∵BC＝6，CD＝3，∴AD＝6，∴BF＝AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC•BE＝AB•BC，∴BE＝，∴＝＝，
故选：C．
二、填空题
11、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是 ．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
【解析】若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．
12、在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是 ．
【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线相等而且互相平分即可求解．
【解析】因为矩形的对角线相等而且互相平分，
所以BD＝AC＝2OA＝4．
故答案为：4．
13、在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是 ．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．
【解析】当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴∠ACB＝∠DCA，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：①③④．
14、如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若CD=，∠ABE＝45°，则此矩形的面积为 ．
【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC＝∠ECB＝∠BEC，推出BE＝BC，求得AE＝AB，然后依据勾股定理可求得BE的长，由矩形的面积公式可求解．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD=，∴∠DEC＝∠BCE，
∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠ECB，∴BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE=，

∴BC=，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC==3，
故答案为：3．
15、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．

【答案】75°
【详解】
∵∠EAF是∠DAE折叠而成，
∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°，∠EAF= ，
在△AEF中∠AFE=90°，∠EAF=15°，
∠AEF=180°−∠AFE−∠EAF=180°−90°−15°=75°
故答案为：75°.
16、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数等于 ．
【思路点拨】由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB＝OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB＝BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，
∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．
故答案为75°．
17、如图，，矩形的顶点，分别在边， 上，当点在边上移动时，点随之在边上移动，，，运动过程中，点到点的最大距离为______．

【答案】.
【分析】取AB的中点E，则OE=1，DE=，利用三角形原理可确定最大值.
【详解】如图，取AB的中点E，连接OE，DE，
∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线，AB=2，∴OE=1，
在直角三角形DAE中，根据勾股定理，得DE==，
∴当O，D，E三点共线时，DO最大，且最大值为+1，故应该填.

18、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，
则PE+PF的值为_____．

【答案】．
【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，根据勾股定理求出BD、 AO、DO，最后根据三角形面积公式求出答案即可．
【解析】解：连接OP，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝ ，∴AO＝OD＝5，
∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，
∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝，故答案为：．
三、解答题
19、如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：四边形CEAF是矩形；
（2）若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四边形ABCF的面积．
【分析】（1）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积=AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积AB•AC，代入数据即可得到结论．
【答案】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，
同理：FO＝CO，∴EO＝FO，
又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO＝FO＝CO，
∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（2）解：∵四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，
∵AE＝3，EC＝4，∴AC==5，
∵AB＝12，BC＝13，∴AB2+AC2＝122+52＝132＝BC2，∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABCF的面积=AB•AC+AF•CF=×12×5+×3×4=36．

20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论．
（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，
∵E为AD的中点，∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，
又AD为中线，∴BD=CD，∴AF=CD；
（2）△ABC是等腰三角形，即AC=AB，
∵AF=CD，且AF∥CD，∴四边形ADCF为平行四边形，
当AC=AB时，∵AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴四边形ADCF为矩形．
21、如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得AO=AC，BO=BD，等量代换得到AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，设EC与BD交于F，根据垂直的定义得到∠CFD＝90°，根据平行四边形的性质得到AE∥BO，根据直角三角形的性质得到EO＝AO，推出△AEO是等边三角形，于是得到结论．
【答案】（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，BO=BD，
∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，
∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．
22、如图，的对角线，相交于点，，是上的两点，并且，连接，．
（1）求证：；
（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析
【分析】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，由AE＝CF即可得OE＝OF，利用SAS即可证明△BOE≌△DOF；（2）四边形BEDF是矩形．由（1）得OD＝OB，OE＝OF， 根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形， 再由BD＝EF，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD是矩形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，．
又，，即，
在和中，，∴．
（2）四边形是矩形，理由如下：
，相交于点，，，四边形是平行四边形．
又，四边形是矩形．
23、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝ ，EF＝
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【思路点拨】（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5，
（2）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，
∵AE＝CF，∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
24、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到F，使CF＝BE，连接DF和OF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形．
（2）若AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求OF的长．
【分析】（1）先由平行四边形性质得到AB∥DC且AB＝DC，再由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，然后证得△ABE≌△DCF，得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）先由矩形的性质得到EF＝AD＝5，求得BE＝CF＝2，BF＝7，再由∠ABE＝60°可求得AB＝2BE＝4，然后由勾股定理可求得DF＝AE＝2，BD，最后由直角三角形斜边的中线性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，OB＝OD，
∵EC＝3，∴BE＝CF＝2，∴BF＝BC+BF＝7，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4，


∵OB＝OD，∠DFC＝90°，
∴OF=BD=．