初中数学浙教版八年级下册5.2 菱形课时训练

这是一份初中数学浙教版八年级下册5.2 菱形课时训练，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．四条边相等B．对角线互相垂直
C．四个角相等D．对角线互相平分
2、在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则该菱形的面积是（ ）
A．10B．40C．96D．192
3、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AC＝BDD．AB＝BC
4、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（ ）
A．AD⊥BCB．AD为BC边上的中线
C．AD＝BDD．AD平分∠BAC
5、如图，线段AB＝10，分别以点A，点B为圆心，以6为半径作弧，两弧交于点C，点D，连接CD．则CD的长为 ．
6、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5cmB．4.8cmC．4.6cmD．4cm
7、如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（ ）
A．∠A＝60˚B．DE＝DF
C．EF⊥BDD．BD 是∠EDF的平分线
8、如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（ ）
A．EF＝DOB．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形D．四边形EBOF是菱形
9、如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10、如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）

A．仅甲正确B．仅乙正确
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
二、填空题
11、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是 ．
12、已知一个对角线长分别为4cm和6cm的菱形，则菱形的边长是 cm．
13、如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 （填序号）．
14、如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足 时，四边形EGFH是菱形．
15、菱形的周长为12cm，一个内角等于120°，则这个菱形的面积为 cm2．
16、如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
17、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 ．
18、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为 ．
三、解答题
19、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．试问当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
20、如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF，AE＝AF．
求证：四边形AECF是菱形．
21、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．
（1）求证：四边形DCEB为菱形；
（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．
22、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．
（1）求证：EB＝ED；
（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，
①试判断△ABF的形状，并加以证明；
②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．
23、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC=，求菱形ABCD的面积．
24、如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
25、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E
（1）若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
5.2 菱形（解析）
一、选择题
1、关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．四条边相等B．对角线互相垂直
C．四个角相等D．对角线互相平分
【分析】利用菱形的性质，依次判断可求解．
【解析】∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴四个角相等不是菱形的性质，
故选：C．
2、在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则该菱形的面积是（ ）
A．10B．40C．96D．192
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=12×16＝96；
故选：C．
3、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AC＝BDD．AB＝BC
【分析】由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
【解析】需要添加的条件是AB＝BC；
理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：D．
4、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（ ）
A．AD⊥BCB．AD为BC边上的中线
C．AD＝BDD．AD平分∠BAC
【答案】D
【解析】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，
理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形，
故选：D．
5、如图，线段AB＝10，分别以点A，点B为圆心，以6为半径作弧，两弧交于点C，点D，连接CD．则CD的长为 ．
【答案】2．
【解析】解：∵分别以点A，点B为圆心，以6为半径作弧，两弧交于点C，点D，
∴AC＝AD＝BC＝BD＝6，∴四边形ACBD是菱形，∴AB⊥CD，
设AB与CD相交于点O，
则OA＝OB＝AB＝5，OC＝OD，
∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∴OC＝＝＝，
∴CD＝2OC＝2，故答案为：2．
6、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5cmB．4.8cmC．4.6cmD．4cm
【答案】A
【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，
∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，
故选：A．

7、如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（ ）
A．∠A＝60˚B．DE＝DF
C．EF⊥BDD．BD 是∠EDF的平分线
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠ABF＝∠CDE，由平行线的性质可得∠ABF＝∠AED，可证DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，利用菱形的判定依次判断可求解．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，
又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CDE，
∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，
∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形，
若DE＝DF，则四边形BFDE为菱形；
若EF⊥BD，则四边形BFDE为菱形；
若BD平分∠EDF，∴∠BDF＝∠BDE，
∵DF∥BE，∴∠FDB＝∠DBE＝∠BDE，∴DE＝EB，∴四边形BFDE为菱形；
故选：A．
8、如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（ ）
A．EF＝DOB．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形D．四边形EBOF是菱形
【解析】解：∵菱形ABCD，∴BO＝OD，BD⊥AC，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，∴EF＝DO，EF⊥AO，
∵E是AB的中点，O是BD的中点，∴2EO＝AD，
同理可得：2FO＝AB，
∵AB＝AD，∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形EOFA是菱形，
∵AB≠BD，∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，
故选：D．
9、如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解析】如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，
∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，
∴AE+CF的最小值为2． 故选：A．
10、如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）

A．仅甲正确B．仅乙正确
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【解析】甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
二、填空题
11、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是 ．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PE＝5，
∴点P到BC的距离等于5，
故答案为：5．
12、已知一个对角线长分别为4cm和6cm的菱形，则菱形的边长是 cm．
【分析】由菱形的性质可求得OA，OB的长，然后由勾股定理即可求得边AB的长，继而求得答案．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，BD＝6cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA=AC＝2cm，OB=BD＝3cm，AC⊥BD，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
即菱形的边长是cm，
故答案为：．
13、如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 （填序号）．
【分析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA＝DC即可解决问题．
【解析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．
理由：∵AE∥CD，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，∴四边形ADCE是菱形．
故答案为②
14、如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足 时，四边形EGFH是菱形．
【思路点拨】本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG＝HF，因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH＝CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG＝EH，那么就需要AB、CD满足AB＝CD的条件．
【答案】解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，
∵AB＝CD，∴EG＝EH，∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB＝CD．
15、菱形的周长为12cm，一个内角等于120°，则这个菱形的面积为 cm2．
【分析】作AE⊥BC于E，由直角三角形的性质求出菱形的高AE，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可．
【解析】作AE⊥BC于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，
∴菱形的面积＝BC•AE＝3（cm2）；
故答案为：．
16、如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
【分析】首先根据勾股定理求得AB＝10，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，根据勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的长．
【解析】如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB==10
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵AB•OC=AC•BC，∴OC=．∴OB=
∴AD＝AB﹣2OB=
故答案为：
17、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 ．
【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
【答案】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，
此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，∴DF＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：3．
18、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为 ．
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF＝5，则AF＝8，AC＝10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．
【解析】∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，∴BD＝DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，解得：CF＝12．
故答案是：12．
三、解答题
19、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．试问当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．理由如下：
∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；
∵D是AB的中点，∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，
∵AB＝BC，∴BD＝DE，∴四边形DBFE是菱形．
20、如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF，AE＝AF．
求证：四边形AECF是菱形．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由AE＝AF，即可得出四边形AECF是菱形．
【解析】证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
21、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．
（1）求证：四边形DCEB为菱形；
（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．
【答案】（1）证明：∵O是BC边中点，∴OC＝OB，
又∵OE＝OD，∴四边形DCEB是平行四边形．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，
∴四边形DCEB为菱形；
（2）解：∵CD＝BD，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝∠DCB＝30°，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，∴AB＝12，BC＝．
∵D为AB中点，O是BC中点，∴DO＝AC＝3，
∴S菱形DCEB＝BC•DO＝．
【解析】（1）根据线段中点的定义得到OC＝OB，根据平行四边形的判定定理得到四边形DCEB是平行四边形．根据直角三角形的性质得到CD＝BD，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ABC＝∠DCB＝30°，解直角三角形得到AB＝12，BC＝．根据三角形中位线定理得到DO＝AC＝3，于是得到结论．
22、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．
（1）求证：EB＝ED；
（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，
①试判断△ABF的形状，并加以证明；
②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴EA⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED
（2）解：①结论：△ABF是等腰三角形（AB＝AF）；
理由：∵∠AEB＝45°，EO⊥OB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，
∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠BOC＝90°，∴∠GAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠OBC＝90°，
∴∠CAG＝∠CBO＝∠ABO，
∵∠ABF＝∠ABO+∠OBE＝∠ABO+45°，∠AFB＝∠CAG+∠AEB＝∠CAG+45°，
∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF，∴△ABF是等腰三角形．
②作EH⊥AF交AF的延长线于H．
由题意CE＝OC＝OA＝m，OB＝AC═OD＝2m，AE＝3m，AB＝AF＝m，
tan∠CBO＝tan∠CAG＝＝， ∴EH＝m，AH＝m，
∴FH＝AH﹣AF＝m，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝m．

23、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC=，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，已知AC=，只需求得BD的长度即可（利用平行四边形以及菱形的性质可得AC⊥CE，再利用勾股定理可求出BD的长度）．最后利用菱形ABCD的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，
∵Rt△ACE中，∠E＝60°，∴∠EAC＝30°，∴AE＝2CE，
设CE＝x，AE＝2x，
由题意得x2 +（）2 ＝（2x）2，解得x＝1（负值舍去），∴CE＝1，
∵四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE＝1，
∴菱形ABCD的面积=

24、如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）先根据三角形的内角和定理得到∠AED＝40°，再根据平行线的性质得到CBE＝∠A＝50°，求得∠BOE＝90°，然后根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，理由如下：
∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，∴∠AED＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠A＝50°，∴∠BOE＝90°，
∴BC⊥DE，∴四边形BECD是菱形，
故答案为：90．
25、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E
（1）若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
【思路点拨】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出BE＝AB，BE2+AE2＝AB2，求出AB＝2，即可得出结果；
（2）证明△ABE≌△ADF，得出BE＝DF，证出CE＝CF，由等腰三角形的性质得出∠CEF＝∠CBD＝（180°﹣∠C），即可得出结论；
（3）连接CG，证明△ADG≌△CDG，得出AG＝CG，△ADG和△CDG的面积相等，得出S1﹣S2＝S△CGE，AB＝BC＝CE+BE＝12，由勾股定理得出AE＝＝4，设EG＝x，则AG＝CG＝4﹣x，由勾股定理得出方程，求出EG＝，即可得出结果．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，∴BE＝AB，BE2+AE2＝AB2，
∵AE＝3，∴（AB）2+32＝AB2，解得：AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD＝BC＝CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF，
∵BC＝CD，∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CBD＝（180°﹣∠C），∴EF∥BD；
（3）解：连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADG＝∠CDG，AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，△ADG和△CDG的面积相等，∴S1﹣S2＝S△CGE，
AB＝BC＝CE+BE＝4+8＝12，
∵AE⊥BC，∴AE＝＝＝4，
设EG＝x，则AG＝CG＝4﹣x，
∵AE⊥BC，∴EG2+EC2＝CG2，即：x2+42＝（4﹣x）2，
解得：x＝，即EG＝，
∴S1﹣S2＝S△CGE＝CE•EG＝×4×＝．