浙教版八年级下册5.3 正方形同步练习题

这是一份浙教版八年级下册5.3 正方形同步练习题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
2、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A．①②B．②③C．①③D．②④
3、如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（ ）
A．67.5°B．45°C．60°D．75°
4、如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
5、如图，以正方形的边为边向正方形外作等边，与交于点F，
则的度数是（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
7、正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为

A．，B．，C．，D．，
8、如图，已知正方形ABCD边长为1，，，则有下列结论：①；②点C到EF的距离是-1；③的周长为2；④，其中正确的结论有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
9、如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（ ）
A．①③④B．①④C．②③④D．①②④
10、如图，正方形的边长为4，点是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接，，.在此运动过程中，下列结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④当时，，其中正确的结论是

A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
二、填空题
11、如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，
则∠EAD＝ ．
12、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，
则下列推理不成立的是
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④
13、如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE＝CA，则∠E的度数是 ．
14、如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
15、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF绕点E顺时
针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为______．

16、已知在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，点E在线段DC上，且∠ABE＝45°，若AE＝5，则CE的长为 ．
17、如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是18cm2，则AC长是 cm．
18、如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．（1）AM的长为 ；（2）EM+AF的最小值为 ．
三、解答题
19、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE，作BF⊥AE于点O，且点F在CD边上．
（1）求证：△ABE≌△BCF．
（2）若CE＝1，CF＝2，求AE的长．
20、已知：如右图，△ABC中，∠BAC = 90°，分别以AB、BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG，延长DC、GA交于点P. 求证：PD⊥PG.
21、如图，已知点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CM＝DN．
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝4，当点E在什么位置时，四边形EFMN的周长最小？并求四边形EFMN周长的最小值．
22、如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
23、如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC、BC上，且四边形DEFG是正方形
（1）求证：AE＝CG，并说明理由．
（2）连结AG，若AB＝17，DG＝13，求AG的长．
24、如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）判断与的大小关系？并说明理由；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．
25、如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
26、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．
5.3 正方形（解析）
一、选择题
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．
【解析】正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选：B．
2、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选C．
3、如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（ ）
A．67.5°B．45°C．60°D．75°
【分析】由正方形的性质和菱形的性质可得∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°，∠CAF＝∠EAF=∠CAB＝22.5°，由三角形的外角性质可求解．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°，
∵四边形AEFC是菱形，∴∠CAF＝∠EAF=∠CAB＝22.5°，
∴∠FGC＝∠ACB+∠CAF＝67.5°，
故选：A．
4、如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【分析】根据∠CDE＝90°﹣∠ADE，求出∠ADE即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
5、如图，以正方形的边为边向正方形外作等边，与交于点F，
则的度数是（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
【分析】由正方形和等边三角形的性质得∠BCD =90°，∠DCE=60°，CD=CE= CB，易得△BCE是等腰三角形，求出∠CBE=15°，利用三角形外角的性质求出∠AFB的度数即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，等边△CDE，
∴∠BCD =90°，∠ACB=45°，∠DCE=60°，CD=CE= CB，∴∠CBE=∠CEB．
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，∴∠CBE=15°．
∵∠ACB=45°，∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFE=120°． 故选：B．
6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【思路点拨】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果．
【答案】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝，∴EF的最小值为；
故选：D．
7、正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为

A．，B．，C．，D．，
【分析】作辅助线，根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH是等腰直角三角形，计算GH和BH的长，可解答．
【答案】解：过G作GH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵四边形AEFG是正方形，AE＝AB＝2，∴∠EAG＝90°，AG＝2，
∴∠HAG＝45°，
∵∠AHG＝90°，∴AH＝GH＝，∴G（，2+），
故选：D．
8、如图，已知正方形ABCD边长为1，，，则有下列结论：①；②点C到EF的距离是-1；③的周长为2；④，其中正确的结论有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2，易得∠1=∠2=∠22.5°，于是可对①进行判断；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，则CE=CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB=EH，FD=FH，则可对③④进行判断；设BE=x，则EF=2x，CE=1-x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=（1-x），解方程，则可对②进行判断．
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠1=∠2，
∵∠EAF=45°，∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正确；
连接EF、AC，它们相交于点H，如图，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF，而BC=DC，∴CE=CF，
∵AE=AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，∴EB=EH，FD=FH，∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④错误；
∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以③正确；
设BE=x，则EF=2x，CE=1-x，∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CE，即2x=（1-x），解得x=-1，∴BE=-1，
Rt△ECF中，EH=FH，∴CH=EF=EH=BE=-1，∵CH⊥EF，
∴点C到EF的距离是-1，所以②正确；
本题正确的有：①②③；故选：B．

9、如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（ ）
A．①③④B．①④C．②③④D．①②④
【思路点拨】①证明PF＝EC，△PDF是等腰直角三角形，即可说明PD＝EC；
②易知PE＝BE，四边形PECF的周长＝2（PE+PF）＝2BC＝8；
③P是BD上的动点，所以△APD不一定是等腰三角形；
④EF转化为CP，则CP⊥BD时有最小值．
【答案】解：①∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，∴PD＝PF＝EC，①正确；
②∵△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+EC＝BC＝4，
四边形PECF的周长为2（PE+PF）＝8，②正确；
③∵P点在BD上运动，∴△APD不一定是等腰三角形，③错误；
④矩形PECF中，EF＝CP，所以当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，
此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，
则CP＝BC＝2，所以EF的最小值为2，④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键．
10、如图，正方形的边长为4，点是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接，，.在此运动过程中，下列结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④当时，，其中正确的结论是

A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】过O作于G，于，由正方形的性质得到，求得，，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；，推出，故②正确；得到四边形的面积正方形的面积，四边形的面积保持不变；故③正确；根据平行线的性质得到，，求得，得到，
于是得到，故④正确．

【解析】解：过O作于G，于H，
∵四边形是正方形，，，，
∵点O是对角线BD的中点，，，，，
，，，∴四边形是正方形，，
，，在与中，，，，故①正确；
，，，故②正确；
，∴四边形的面积正方形的面积，
∴四边形的面积保持不变；故③正确；
，，，，
，，，，故④正确；
故选．
二、填空题
11、如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，
则∠EAD＝ ．
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质证明∠DAE＝∠DEA＝∠CBE＝∠CEB＝75°即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵△EBC是等边三角形，∴AB＝BE＝DC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°，
∵AB＝BE＝CE＝CD，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝75°，∴∠EAD＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
12、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，
则下列推理不成立的是
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④
【解答】解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
13、如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE＝CA，则∠E的度数是 ．
【思路点拨】根据正方形的性质就有∠ACD＝∠ACB＝45°＝∠CAE+∠AEC，根据CE＝AC就可以求出∠CAE＝∠E＝22.5°．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°．
∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC，∴∠CAE+∠AEC＝45°．
∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°
14、如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝＝3，∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝＝，
∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴GF＝5，∴DF＝2，
∴CF＝＝＝2，
故答案为：2．
15、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF绕点E顺时
针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为______．

【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，
∵BE=2，AF=2，BF=4∴GH=BF=EC=4，EH=EF=
∴在Rt△HEC中，CH=∴BE=CH
又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4∴△BEF≌△CHE
作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，
∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6
∴FH=, 故答案为：．
16、已知在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，点E在线段DC上，且∠ABE＝45°，若AE＝5，则CE的长为 ．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，
∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD，∴四边形BCDF是正方形，
把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABE＝∠ABG，
在△ABE和△ABG中，

∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AE＝AG，∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即（x+1）2+（6﹣x）2＝52，
整理得，x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，即CE的长度是2或3；
故答案为：2或3．
17、如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是18cm2，则AC长是 cm．
【分析】证Rt△AED≌Rt△AFB，推出S△AED＝S△AFB，根据四边形ABCD的面积是18cm2得出正方形AFCE的面积是18cm2，求出AE、EC的长，根据勾股定理求出AC即可．
【解析】∵四边形AFCE是正方形，
∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△AED和Rt△AFB中，
∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），∴S△AED＝S△AFB，
∵四边形ABCD的面积是18cm2，
∴正方形AFCE的面积是18cm2，∴AE＝EC=（cm），
根据勾股定理得：

故答案为：6；
18、如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．（1）AM的长为 ；（2）EM+AF的最小值为 ．
【分析】（1）根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；
（2）过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM＝EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可．
【解析】（1）∵正方形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∵M是BC的中点，∴BM=，

故答案为：；
（2）过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°，

∵EF⊥AM，∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°，∴∠BAM＝∠GFE，
∴△ABM≌△FGE（SAS），∴AM＝EF，
将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH，
当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小，
此时EM+AF＝AH=，
∴EM+AF的最小值为，故答案为：．
三、解答题
19、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE，作BF⊥AE于点O，且点F在CD边上．
（1）求证：△ABE≌△BCF．
（2）若CE＝1，CF＝2，求AE的长．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，由“ASA”可证△ABE≌△BCF；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝CF＝2，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BF⊥AE，∴∠AEB+∠FEB＝90°，
又∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝BC＝3，
∴AE=．
20、已知：如右图，△ABC中，∠BAC = 90°，分别以AB、BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG，延长DC、GA交于点P. 求证：PD⊥PG.
【答案】
先根据正方形的性质可得△ABG≌△DBC，即可得到∠BGA=∠BCD，从而可以证得结论.
∵正方形ABDE和正方形BCFG,∴BG=BC，BA=BD，∠GBC=∠ABD=90°
∴∠GBA=∠CBD,∴△ABG≌△DBC,∴∠BGA=∠BCD
∵∠BAC=90°∴∠PAC+∠PCA=90°,∴∠P=90°,∴PD⊥PG.
21、如图，已知点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CM＝DN．
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝4，当点E在什么位置时，四边形EFMN的周长最小？并求四边形EFMN周长的最小值．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CM＝DN，∴BE＝CF＝DM＝NA，又∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△BEF≌△CFM≌△DMN≌△ANE，∴EF＝FM＝MN＝NE，
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠AEN＝∠BFE，且∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEN＝90°，∴∠FEN＝90°．∴菱形EFMN是正方形；
（2）当EN最小时，正方形EFMN的周长最小，设AE＝DN＝x，则
∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝2，
又四边形EFMN是正方形，
∴四边形EFMN周长的最小值为2×4=8．
22、如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形．
【解析】解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．
又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．
又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC（三线合一），
∴∠AED=∠AEC=×60°=30°，
又∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，
∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴平行四边形ABCD是正方形．
23、如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC、BC上，且四边形DEFG是正方形
（1）求证：AE＝CG，并说明理由．
（2）连结AG，若AB＝17，DG＝13，求AG的长．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△DGC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过G作GH⊥CD于H，根据正方形的性质得到AC=AB＝17，根据全等三角形的性质得到∠DCG＝∠DAC＝45°，根据勾股定理得到CH＝5或CH＝12（不合题意舍去），于是得到结论．
【解析】（1）∵四边形EFGD是正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG；
（2）过G作GH⊥CD于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝17，∠B＝90°，∴AC=AB＝17，
∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG＝∠DAC＝45°，∴CH＝GH，
∴DG2＝DH2+HG2，∴132＝（17﹣CH）2+CH2，
∴CH＝5或CH＝12（不合题意舍去），∴CG＝5，
∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝90°，
24、如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）判断与的大小关系？并说明理由；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．
【分析】（1）利用角平分线的性质的得出，∠1＝∠2，进而得出，∠3＝∠2，即可得出OE与OF的大小关系；
（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF＝90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO＝FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝×180°＝90°．
即∠ECF＝90度，∴平行四边形AECF是矩形．
（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB＝90°时，四边形AECF会是正方形，
理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝45°，
∴AC⊥MN，∴四边形AECF是正方形．
25、如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【答案】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC=AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，∴AF＝FB, ∴DF==2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH=DF=，
∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM=，∴HM＝HF﹣FM=，
在Rt△EHM中，EM==．
26、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，
在△OAM和△OBN中，

∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，
∵E为OM的中点，∴HM＝8，
则OM4，∴MN=OM＝4

【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；
（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为8且E为OM的中点知OH＝HA＝4、HM＝8，再根据勾股定理得OM的长，由直角三角形性质知MN＝OM问题得解．