浙教版八年级下册2.1 一元二次方程精练

这是一份浙教版八年级下册2.1 一元二次方程精练，共15页。
1．（海州区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0B．xy+1＝0C．x2﹣2x﹣3D．x2﹣4x﹣1＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、不是等式，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（市中区期末）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据增长率的一般规律，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
3．（滨江区期末）下列配方正确的是（ ）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2﹣
【分析】完全平方公式的掌握a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；
B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；
C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；
D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式在配方法中的运用．
4．（江西模拟）关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±3B．a＝3C．a＝﹣3D．a＝±3
【分析】根据一元二次方程的定义得出a2﹣7＝2且a﹣3≠0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a2﹣7＝2且a﹣3≠0，
解得：a＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
5．（永嘉县校级期末）方程（m﹣2）﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．﹣3B．2C．3D．2或﹣3
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2+m﹣4＝2，求出m即可．
【解答】解：∵方程（m﹣2）﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2+m﹣4＝2，
解得：m＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，能根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0和m2+m﹣4＝2是解此题的关键．
6．（江北区期末）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝x2﹣9B．（﹣x﹣3）（x+3）＝﹣x2﹣9
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1D．（﹣x+1）2＝x2﹣2x+1
【分析】利用完全平方公式、平方差公式、配方法把各个选项中的算式进行计算，判断即可．
【解答】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，故本选项错误；
B、（﹣x﹣3）（x+3）＝﹣x2﹣﹣6x﹣9，故本选项错误；
C、x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，故本选项错误；
D、（﹣x+1）2＝x2﹣2x+1，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是整式的运算，掌握配方法的一般步骤、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
7．（怀化期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为3，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（温岭市一模）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【分析】把解代入所给的方程，求出m的值．
【解答】解：把y＝0代入（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0得：
4m2﹣4＝0，即m2﹣1＝0
解得：m1＝1，m2＝﹣1
当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，
所以m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大．本题易错，容易出现求出m就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件．
9．（金乡县二模）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝5
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．
【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34B．30C．30或34D．30或36
【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
11．（嘉兴期末）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或3
【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论．
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．
12．（永嘉县校级模拟）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6B．3﹣3C．3﹣2D．3﹣
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解答】解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
设4a＝6，
则a＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
13．（东安县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0B．k≥0且k≠1C．k≥D．k≥且k≠1
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（武义县期末）关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据公式法或因式分解法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．
【解答】解：m2x2﹣8mx+12＝0，
解法一：Δ＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，
∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
【点评】此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
15．（永年区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
16．（襄城区模拟）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 8 队参赛．
【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：＝28．
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），
所以比赛组织者应邀请8队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
17．（昌图县期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ﹣3 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．
18．（常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，
∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
19．（舟山）在x2+（ ±4x ）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即Δ＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
【解答】解：
要使方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0
得b＝±4
故一次项为±4x
故答案为±4x
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
20．（石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 0 ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x＝a代入方程可得，
a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，
∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2
＝（a+1）2﹣3a﹣2
＝a2﹣a﹣1＝0．
【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取等量关系a2＝a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值．解此题的关键是降次，把a4﹣3a﹣2变形为（a2）2﹣3a﹣2，把等量关系a2＝a+1代入求值．
21．（磴口县校级二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ 6 ．
【分析】设x2+y2＝t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0；然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意x2+y2＝t中的t的取值范围：t≥0．
22．（2014•哈尔滨）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则m的值为 1 ．
【分析】根据x＝﹣1是已知方程的解，将x＝﹣1代入方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：1﹣3+m+1＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
23．（桓台县二模）若关于x的方程x3+36x+a＝0有一个根是﹣2，则66﹣a的值是 ﹣14 ．
【分析】将x＝﹣2代入方程求a，再求原代数式的值．
【解答】解：∵关于x的方程x3+36x+a＝0有一个根是﹣2．
∴﹣8﹣72+a＝0．
∴a＝80．
∴66﹣a＝66﹣80＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查高次方程解的含义，将x的值代入方程求出a值是求解本题的关键．
24．（鄞州区期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】利用换元法解方程（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，即可得到x2+y2＝5，进而得出这个直角三角形的斜边长为．
【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程可化为：
t（t﹣1）＝20，
∴t2﹣t﹣20＝0，
即（t+4）（t﹣5）＝0，
∴t1＝5，t2＝﹣4（舍去），
∴x2+y2＝5，
∴这个直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
25．（嘉峪关校级期中）解方程
（1）（x﹣1）（x+3）＝12
（2）（x﹣3）2＝3﹣x
（3）3x2+5（2x+1）＝0．
【分析】（1）方程整理为一般形式后，左边利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（3）方程整理为一般形式后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出值．
【解答】解：（1）方程整理得：x2+2x﹣15＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+5）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣5；
（2）方程变形得：（x﹣3）2+（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝2；
（3）方程整理得：3x2+10x+5＝0，
这里a＝3，b＝10，c＝5，
∵△＝100﹣60＝40，
∴x＝＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
26．（永嘉县校级期中）选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）2x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）因式分解法求解．
（2）用公式法解方程．
【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．
∴x﹣5＝±＝±6．
∴x1＝﹣1或x2＝11．
（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．
△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．
由求根公式x＝得：
x＝．
∴x1＝或x2＝．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键．
27．（东阳市期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，
探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 8 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 13 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．
探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为 4 ，这时相应的x＝ ﹣1 ．
根据上述探究，请解答：
（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．
（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．
【分析】探究一：把x＝1和x＝2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；
探究二：先将代数式x2+2x+5配方后得：（x+1）2+4，可得结论；
（1）将代数式﹣x2﹣8x+17配方后可得结论；
（2）存在A＝B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．
【解答】解：探究一：
当x＝1时，x2+2x+5＝12+2+5＝8；
若x＝2，x2+2x+5＝22+2×2+5＝13；
故答案为：8，13；
探究二：
x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4，
∵（x+1）2是非负数，
∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x＝﹣1．
故答案为：4，﹣1；
（1）∵﹣x2﹣8x+17＝﹣（x+4）2+33，
∴当x＝﹣4时，代数式﹣x2﹣8x+17有最大值是33；
（2）∵A＝﹣x2﹣8x+17，B＝9y2+12y+37，
当A＝B时，则B﹣A＝0，
∴（9y2+12y+37）﹣（﹣x2﹣8x+17）＝0，
9y2+12y+4+x2+8x+16＝0，
（3y+2）2+（x+4）2＝0，
∴3y+2＝0，x+4＝0，
∴x＝﹣4，y＝﹣，
∴x•y＝﹣4×（﹣）＝．
【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
28．在实数范围内定义运算“◎”，其法则为：a◎b＝a2﹣b2，求方程a◎＝9的解．
【分析】理解新定义，根据定义把方程转化为一般式求解，结合字母的取值范围确定原方程的解．
【解答】解：由题意得：，（2分）
即a2﹣a﹣6＝0．
解得：a1＝﹣2，a2＝3．（2分）
又∵有意义，
∴a﹣3≥0，
∴a≥3．
∴a＝3．（2分）
【点评】此题考查对新定义的理解和综合应用能力，注意定义中的字母取实数这一前提条件．
29．（西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
【分析】（1）由Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0知方程有两个实数根；
（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m的根大于等于4，即可求出m的值；
（3）先由韦达定理得出x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4，代入n＝x12+x22﹣4，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（﹣5，9）代入验证即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及韦达定理得应用，以及点的坐标与函数的对应关系．
30．（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．
【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0，列式计算出m的值；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x1+x2+x1x2＝5中得：m1＝4，m2＝﹣2，再根据△的取值确定其m的值．
【解答】解：（1）Δ＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，
4（m+1）2﹣4m2+4＞0，
8m＞﹣8，
m＞﹣1，
则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，
x1+x2+x1x2＝5，
﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，
m2﹣2m﹣8＝0，
（m﹣4）（m+2）＝0，
m1＝4，m2＝﹣2，
∵方程两实数根分别为x1，x2，
∴△≥0，
∴m≥﹣1，
∴m＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，①x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，②一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．要注意第（2）中根据已知式子得出m的值后，利用根的判别式进行取舍．