浙教版八年级下册6.1 反比例函数巩固练习

这是一份浙教版八年级下册6.1 反比例函数巩固练习，共37页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共26题，如图，反比例函数y＝，如图，点P等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）
1．如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y＝的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，连接OA，∠AOB＝60°，则k的值是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】根据三角形外角性质得∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，易得OA＝OC＝4，然后再Rt△AOB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝OA＝2，AB＝OB＝2，则可确定A点坐标为（﹣2，2），最后把A点坐标代入反比例函数解析式y＝中即可得到k的值．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴OA＝OC＝4，
在△AOB中，∠ABC＝90°，∠AOB＝60°，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝OA＝2，
∴AB＝OB＝2，
∴A点坐标为（﹣2，2），
把A（﹣2，2）代入y＝得k＝﹣2×2＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．
2．如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为（3，0），点D为边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过C，D两点，若∠COA＝α，则k的值等于（ ）
A．8sin2αB．8cs2αC．4tanαD．2tanα
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质假设出C点坐标，利用相似三角形的性质表示出D点坐标，进而得出答案．
【解答】解：方法一：
过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OA交OA的延长线于点F，
设C点横坐标为：a，则：CE＝a•tanα，
∴C点坐标为：（a，a•tanα），
∵平行四边形OABC中，点D为边AB的中点，
∴D点纵坐标为：a•tanα，
设D点横坐标为x，
∵C，D都在反比例函数图象上，
∴a×a•tanα＝x×a•tanα，
解得：x＝2a，
则FO＝2a，
∴FE＝a，
∵∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA，
∴△COE∽△DAF，
∴＝＝2，
∴AF＝，
∴AO＝OF﹣AF＝a，
∵点A的坐标为（3，0），
∴AO＝3，
∴a＝3，
解得：a＝2，
∴k＝a×a•tanα＝2×2tanα＝4tanα．
方法二：
∵C（a，atanα），A（3，0），∴B（a+3，atanα），
∵D是线段AB中点，∴D（，atanα），即D（，atanα）．
∵反比例函数过C，D两点，∴k＝a•atanα＝（a+6）•atanα，
解得a＝2，
∴k＝4tanα．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，根据已知得出D点横坐标是解题关键．
3．已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意有：xy＝36；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限，即可得出答案．
【解答】解：∵矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，
∴xy＝36，
∴函数解析式为：y＝（x＞0，y＞0）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4．已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
【解答】解：由矩形的面积8＝xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y＝（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
5．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（﹣1，1）得到k＝﹣1，即反比例函数解析式为y＝﹣，且OB＝AB＝1，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ＝45°，然后轴对称的性质得PB＝PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ＝∠B′PQ＝45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B′的坐标可表示为（﹣，t），于是利用PB＝PB′得t﹣1＝|﹣|＝，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【解答】解：如图，
∵点A坐标为（﹣1，1），
∴k＝﹣1×1＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵OB＝AB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ＝45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ＝∠OPQ＝45°，∠B′PB＝90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（﹣，t），
∵PB＝PB′，
∴t﹣1＝|﹣|＝，
整理得t2﹣t﹣1＝0，解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．
6．如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO＝1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（ ）
A．10B．8C．6D．不确定
【分析】设直线l1的解析式为y＝mx+n，根据P（﹣1，1）在直线l1上以及tan∠BAO＝1求得A、B点坐标；设反比例函数为y＝，结合P（﹣1，1）在反比例函数图象上求得解析式为y＝﹣，设M点横坐标为a，进而可得M点坐标（a，﹣）；再设直线l2的解析式为y＝bx+c，根据条件“过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点”，将M点坐标代入直线l2的解析式，求得用a表示的C、D两点坐标．由A、B、C、D四点坐标，可得AC、BD的长，因为AC⊥BD，有S四边形ABCD＝AC•BD，据此得到一个关于a的式子，通过化简、配方即可求得S四边形ABCD的最小值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，
∵点P（﹣1，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy＝﹣1．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
设直线l1的解析式为y＝mx+n，
当x＝0时，y＝n，则点B的坐标为（0，n），OB＝n．
当y＝0时，x＝﹣，则点A的坐标为（﹣，0），OA＝．
∵tan∠BAO＝1，∠AOB＝90°，
∴OB＝OA．
∴n＝
∴m＝1．
∵点P（﹣1，1）在一次函数y＝mx+n的图象上，
∴﹣m+n＝1．
∴n＝2．
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）．
∵点M在第四象限，且在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴可设点M的坐标为（a，﹣），其中a＞0．
设直线l2的解析式为y＝bx+c，
则ab+c＝﹣．
∴c＝﹣﹣ab．
∴y＝bx﹣﹣ab．
∵直线y＝bx﹣﹣ab与双曲线y＝﹣只有一个交点，
∴方程bx﹣﹣ab＝﹣即bx2﹣（+ab）x+1＝0有两个相等的实根．
∴[﹣（+ab）]2﹣4b＝（+ab）2﹣4b＝（﹣ab）2＝0．
∴＝ab．
∴b＝，c＝﹣．
∴直线l2的解析式为y＝x﹣．
∴当x＝0时，y＝﹣，则点D的坐标为（0，﹣）；
当y＝0时，x＝2a，则点C的坐标为（2a，0）．
∴AC＝2a﹣（﹣2）＝2a+2，BD＝2﹣（﹣）＝2+．
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝AC•BD
＝（2a+2）（2+）
＝4+2（a+）
＝4+2[（﹣）2+2]
＝8+2（﹣）2．
∵2（﹣）2≥0，
∴S四边形ABCD≥8．
∴当且仅当﹣＝0即a＝1时，S四边形ABCD取到最小值8．
故选：B．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道好题．
7．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9B．﹣9C．4D．﹣4
【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值．
【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为ρ＝，
则1.5＝，
解得k＝9，
故选：A．
【点评】此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．同学们要认真观察图象．
8．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．12B．20C．24D．32
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值．
【解答】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OD＝3，CD＝4，
∴OC＝＝＝5，
∴OC＝BC＝5，
∴点B坐标为（8，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，
∴k＝32，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大，是一道不错的习题．
9．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，＝．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（ ）
A．2B．3C．5D．7
【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式是x＝，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2＝，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
【解答】解：设OA＝3a，则OB＝4a，
∴A（3a，0），B（0，4a）．
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
则根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是y＝﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．
根据题意得：，
解得：
则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x＝，则C的坐标是（，），
将C点坐标代入反比例函数y＝，
则k＝．
设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
则OF＝CF＝，OE＝DE＝a，
∵∠DOA＝45°，
∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，
∴OC＝OF＝a，OD＝OE＝a，
∴CD＝OD﹣OC＝（）＝（﹣）＝a．
∵以CD为边的正方形的面积为，
∴＝，
则a2＝，
∴k＝×＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．
10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y＝（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（ ）
A．8B．10C．3D．4
【分析】过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，），C（b，），由△OAD∽△BCO，得到＝＝，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO＝，S△BOC＝，求出k2＝，得到k＝﹣，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝（﹣）•b+＝6，列出关于k的方程k2+k﹣12＝0，求得k＝3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，），
∵点C在函数y＝（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△OCB，
∴＝＝，
∵S△ADO＝，S△BOC＝，
∴k2＝，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝（﹣）•b+＝6，
∴k2﹣＝12，
①当k＞0时，
k＝﹣，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），
②当k＜0时，
k＝，
∴k2﹣k﹣12＝0，
解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），
∴k2＝9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S△OBC′＝S△OBC＝＝，
∵S△OAA′＝2S△OAD＝1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题2分，共16分。注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）
11．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 s＝ ．
【分析】利用长方体的体积＝圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．
【解答】解：由题意可得：sh＝3×2×1，
则s＝．
故答案为：s＝．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．
12．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k＝4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG＝，则k＝1．
其中正确的命题的序号是 ②④ （写出所有正确命题的序号）．
【分析】（1）若k＝4，则计算S△OEF＝≠，故命题①错误；
（2）如答图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG＝，求出k＝1，故命题④正确．
【解答】解：命题①错误．理由如下：
∵k＝4，
∴E（，3），F（4，1），
∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣1＝2．
∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF
＝S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF
＝4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2＝12﹣2﹣2﹣＝，
∴S△OEF≠，故命题①错误；
命题②正确．理由如下：
∵k＝，
∴E（，3），F（4，），
∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣＝．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝；
在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝，连接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝，
∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣﹣＝．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝＝＝．
∴NF＝CF，
又∵EN＝CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
为简化计算，不妨设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有
，解得，
∴y＝x+3m+3．
令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．
∴DE•EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，
∴k＝12m＝1，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：②④，
故答案为：②④．
【点评】本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．
13．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①＝；
②阴影部分面积是（k1+k2）；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是 ①④ （把所有正确的结论的序号都填上）．
【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB＝S△COB，利用三角形面积公式得到AE＝CF，则有OM＝ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM＝|k1|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，所以有＝；由S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，得到S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|）＝（k1﹣k2）；当∠AOC＝90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM＝CN，则不能确定|k1|＝|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA＝OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM＝CN，所以|k1|＝|k2|，即k1＝﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB＝S△COB，
∴AE＝CF，
∴OM＝ON，
∵S△AOM＝|k1|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，
∴＝，故①正确；
∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，
∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分＝（k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM＝ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM＝CN，
∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA＝OC，
而OM＝ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM＝CN，
∴|k1|＝|k2|，
∴k1＝﹣k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．
14．如图，反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP．
（1）k的值为 2 ．
（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 （2，﹣） ．
【分析】（1）把点（﹣1，﹣2）代入反比例函数y＝，求出k即可；
（2）连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，先由AAS证明△OAM≌△CON，得出OM＝CN，AM＝ON，再由三角形的角平分线性质得出＝，根据平行线的性质得出比例式：＝，设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x，根据题意得出方程：x•x＝2，解方程求出CN、ON，即可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）把点（﹣1，﹣2）代入反比例函数y＝得：
k＝﹣1×（﹣2）＝2，
故答案为：2；
（2）连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，如图所示：
则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
根据题意得：点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB为斜边，
∴OC⊥AB（三线合一），OC＝AB＝OA，AC＝BC，AB＝BC，
∴∠AOC＝90°，
即∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠OAM＝∠CON，
在△OAM和△CON中，
，
∴△OAM≌△CON（AAS），
∴OM＝CN，AM＝ON，
∵BP平分∠ABC，
∴＝，
∵AM∥CN，
∴＝，
设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x，
∵点A在反比例函数y＝上，
∴OM•AM＝2，
即x•x＝2，
解得：x＝，
∴CN＝，ON＝2，
∴点C的坐标为：（2，﹣）；
故答案为：（2，﹣）．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线性质、平行线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用三角形的角平分线的性质才能得出结果．
15．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则a＝ 2 ．
【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，后根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．
【解答】解：对于直线y＝﹣3x+3，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0），
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
∴C（4，1），
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y＝，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，
∴D（3，4），
把y＝4代入反比例解析式得：x＝1，即D1（1，4），
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝（k≠0）上的点D1处，即a＝2，
故答案为：2．
【点评】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
16．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，则y与x之间的函数关系式是 y＝ ．
【分析】因为近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，可设出函数式，根据500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m可确定系数，从而求出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设y＝，
∵500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，
∴500＝，
k＝100．
∴y＝．
故答案为：y＝．
【点评】本题考查根据实际问题列反比例函数式，关键是设出函数式，根据给的数据确定系数，从而求出函数式．
17．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V＝200时，p＝50，则当p＝25时，V＝ 400 ．
【分析】首先利用待定系数法求得v与P的函数关系式，然后代入P求得v值即可．
【解答】解：∵在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，
∴设P＝
∵当V＝200时，p＝50，
∴k＝VP＝200×50＝10000，
∴P＝
当P＝25时，得v＝＝400
故答案为：400．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求得反比例函数的解析式．
18．如图，点E，F在函数y＝（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF＝1：m．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是 2 ，△OEF的面积是 （用含m的式子表示）
【分析】作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义由△OEP的面积为1易得k＝2，则反比例函数解析式为y＝，再证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF＝mPE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（tm，），由于S△OEF+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD＝S△OEC＝1，所以S△OEF＝S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算．
【解答】解：作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为1，
∴|k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴＝＝，即HF＝mPE，
设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（tm，），
∵S△OEF+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，
而S△OFD＝S△OEC＝1，
∴S△OEF＝S梯形ECDF＝（+）（tm﹣t）
＝（+1）（m﹣1）
＝．
故答案为：2，．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义；会利用相似比确定线段之间的关系．
三、全面答一答（本题有6个小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
19．如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（﹣1，4），C（m，﹣2），AB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求函数y1＝ax+b与y2＝的解析式；
（2）当x为何值时，y2＞y1；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得反比例函数的解析式，然后将点C的坐标代入求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定一次函数是的解析式即可；
（2）根据求得的点A和点C的坐标结合函数的图象确定x的取值范围即可；
（3）分以OA为底边、以OA为腰且以A为顶点和以OA为腰且以O为顶点三种情况确定点P的坐标即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，4）代入y2＝中，得4＝
解得k＝﹣4，即双曲线解析式为y2＝﹣，
把点C（m，﹣2）代入y2＝﹣中，得﹣2＝﹣
解得，m＝2，
∴C（2，﹣2），
∵一次函数y1＝ax+b的图象经过A、C，
∴，
解得 ，
所以直线解析式为y1＝﹣2x+2；
（2）∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、C两点，坐标分别为（﹣1，4）、（2，﹣2）．
∴当y2＞y1时，﹣1＜x＜0或x＞2．
（3）如图，∵点A（﹣1，4），
∴OA＝＝，
当以AO为底边时，由△P1DO∽△ABO，
∴＝，
即：＝，
解得：P1O＝，
∴点P1的坐标为（﹣，0）；
当以AO为腰以A为顶点时，
P2B＝BO＝1，
此时点P2的坐标为（﹣2，0）；
当以AO为腰以O为顶点时，
P3O＝P4O＝OA＝，
此时点P3的坐标为（﹣，0），点P4的坐标为（，0）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中涉及到了待定系数法确定反比例函数和一次函数的解析式及分类讨论的数学思想，知识点较多，难度较大．
20．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y＝上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝＝，
由题意知：CB∥OA且CB＝，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝＝，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题．
21．如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．
【分析】（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．
（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值．
【解答】解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠CAB＝60°，
∴AD＝3，CD＝sin60°×AC＝×6＝3，
∴点C坐标为（3，3），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝9，
∴反比例函数的解析式y＝；
（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，
则此时B点的横坐标为6，
即纵坐标y＝＝，也是向上平移n＝．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB＝1，AD＝2．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，根据A（﹣3，），AD∥x轴，即可得到B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；
（2）根据平移的性质将矩形ABCD向右平移m个单位，得到A′（﹣3+m，），C′（﹣1+m，），由点A′，C′在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，得到方程（﹣3+m）＝（﹣1+m），即可求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，
∵A（﹣3，），AD∥x轴，
∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；
（2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，
∴A′（﹣3+m，），C′（﹣1+m，），
∵点A′，C′在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（﹣3+m）＝（﹣1+m），
解得：m＝4，
∴A′（1，），
∴k＝，
∴矩形ABCD的平移距离m＝4，
反比例函数的解析式为：y＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，图形的变换﹣平移，反比例函数图形上点的坐标特征，求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题的关键．
23．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（﹣1，3），B（+2，﹣2）的勾股值「A」、「B」；
（2）点M在反比例函数y＝的图象上，且「M」＝4，求点M的坐标；
（3）求满足条件「N」＝3的所有点N围成的图形的面积．
【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）点M在反比例函数y＝的图象上，且「M」＝4，列方程组即可得到结果；
（3）设N点的坐标为（x，y），由「N」＝3，得到方程|x|+|y|＝3，得到x+y＝3，﹣x﹣y＝3，x﹣y＝3，﹣x+y＝3，化为一次函数的解析式y＝﹣x+3，y＝﹣x﹣3，y＝x﹣3，y＝x+3，于是得到所有点N围成的图形是边长为3的正方形，则面积可求．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，3），B（+2，﹣2），
∴「A」＝|﹣1|+|3|＝4，「B」＝|+2|+|﹣2|＝+2+2﹣＝4；
（2）设：点M的坐标为（m，n），
由题意得
解得：，，，，
∴M（1，3），（﹣1，﹣3），（3，1），（﹣3，﹣1）．
（3）设N点的坐标为（x，y），
∵「N」＝3，
∴|x|+|y|＝3，
∴x+y＝3，﹣x﹣y＝3，x﹣y＝3，﹣x+y＝3，
∴y＝﹣x+3，y＝﹣x﹣3，y＝x﹣3，y＝x+3，
如图：所有点N围成的图形的面积＝3＝18．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，点的坐标的求法，求一次函数的解析式，正确理解勾股值的定义是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO＝，tan∠AOB＝，一次函数y＝k1x+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝的图象过OA的中点D．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y＝k1x+b的图象得y＝k1x+b1，当一次函数y＝k1x+b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，求b1的取值范围．
【分析】（1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE＝OE＝OB，OB⊥AC，由三角函数tan∠AOB＝＝，得出OE＝2AE，设AE＝x，则OE＝2x，根据勾股定理得出OA＝x＝，解方程求出AE＝1，OE＝2，得出OB＝2OE＝4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y＝，求出k2的值即可；
（3）由题意得出方程组 无解，消去y化成一元二次方程，由判别式Δ＜0，即可求出b1的取值范围．
【解答】解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：
∵四边形ABCO是菱形，
∴BE＝OE＝OB，OB⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∴tan∠AOB＝＝，
∴OE＝2AE，
设AE＝x，则OE＝2x，
根据勾股定理得：OA＝x＝，
∴x＝1，
∴AE＝1，OE＝2，
∴OB＝2OE＝4，
∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），
把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y＝k1x+b得：，
解得：k1＝，b＝2，
∴一次函数的解析式为：y＝x+2；
∵D是OA的中点，A（﹣2，1），
∴D（﹣1，），
把点D（﹣1，）代入反比例函数y＝得：k2＝﹣，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y＝x+b1，
∵一次函数y＝x+b1的图象与反比例函数y＝﹣的图象无交点，
∴方程组 无解，
即x+b1＝﹣无解，
整理得：x2+2b1x+1＝0，
∴△＝（2b1）2﹣4×1×1＜0，b12＜1，
解得：﹣1＜b1＜1，
∴当一次函数y＝k1x+b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，b1的取值范围是﹣1＜b1＜1．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的反比例函数解析式．
【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA＝DB，即可证出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y＝，把点E坐标代入求出k的值即可．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA＝AC，DB＝OB，AC＝OB，
∴DA＝DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA＝3，OC＝2，
∴EF＝DF＝OA＝，AF＝AB＝1，3+＝，
∴点E坐标为：（，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y＝，
把点E（，1）代入得：k＝，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y＝．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．
26．如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD＝30°，ED＝2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；
（3）设F（t，﹣t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y＝，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（4，0），B（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD＝30°，ED＝2，
∴EF＝2，DF＝4，
∵点D与点A重合，
∴D（4，0），
∴F（2，2），
∴G（3，），
∵反比例函数y＝经过点G，
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：
∵点F在直线AB上，
∴设F（t，﹣t+4），
又∵ED＝2，
∴D（t+2，﹣t+2），
∵点G为边FD的中点．
∴G（，）
即G（t+1，﹣t+3），
若过点G的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y＝，
则，
整理得：（﹣t+3）（t+1）＝（﹣t+4）t，
解得：t＝，
∴m＝，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y＝．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．