四川省成都市第四十三中学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
2. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. m（a+b）＝ma+mbB. x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
C. x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D.
【答案】B
【解析】
【分析】将多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义依次判断．
【详解】解：m（a+b）＝ma+mb是整式乘法，故选项A不符合题意；
x2+3x+2＝（x+1）（x+2）是因式分解，故选项B符合题意；
x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3不是因式分解，故选项C不符合题意；
不是因式分解，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解定义，熟记定义并正确理解是解题的关键．
4. 若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的定义得出3+m=1，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴3+m=1，
∴m=-2，
∴-6-5x＞4，
∴该不等式的解集是；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出m的值．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：由得：，
由得，
在数轴上表示如下：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式的解集是解答本题的关键．
6. 如图，的垂直平分线1交于点D．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等要三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质求出，从而可得结果．
【详解】∵，
∴
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
7. 已知关于x的不等式（2a﹣4）x＞3的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A. a＜0B. a＞0C. a＜2D. a＞2
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断x的系数为负，列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（2a﹣4）x＞3的解集为x＜，
∴2a﹣4＜0，
∴a＜2，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质，根据不等式的性质列出不等式．
8. 如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
【详解】解：由图中可以看出，当x＜−3时，kx+b＜2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了数形结合的数学思想，学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用，解答此题的关键是会利用数形结合的思想解决问题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：=______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
10. 不等式的正整数解是______．
【答案】1，2，3
【解析】
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故不等式的正整数解是，，．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
11. 如图，把沿方向平移1得到，，则________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可得，
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．
12. 关于x的不等式2x-a≤-3的解集如图所示，则a的值是______ ．
【答案】1
【解析】
【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．
【详解】∵2x-a≤-3，
∴x≤，
∵x≤-1，
∴a=1．
故答案为1．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
13. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）分解因式：
（2）解下列不等式组，并把解集数轴上表示出来：
①
②
【答案】（1）；（2）①；数轴见解析；②无解；数轴见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，解不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先提公因式，然后再用完全平方公式进行计算即可；
（2）①先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可；
②先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）
；
（2）①，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
②，
解不等式①得：
解不等式②得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
∴不等式组无解．
15. 解不等式组：，并写出所有非负整数解．
【答案】；非负整数解为：，1，2
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后求出非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组非负整数解为：，1，2．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）将平移，使点A移动到点，请画出；
（2）作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标；
（3）与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，，，
（3）与成中心对称，对称中心的坐标为
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）根据中心对称的性质求解即可．
【小问1详解】
如图，△为所作；
【小问2详解】
如图，△为所作．

∴，，；
【小问3详解】
连接，，，

根据与的顶点坐标的特点可得，，，交于点，
∵点和点关于点，点和点关于点，点和点关于点，
∴与成中心对称，对称中心的坐标为．
17. 如图，已知函数＝2x+b和＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点P（-2，-5）分别代入函数=2x+b和=ax-3，求出a、b的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵将点P （-2，-5）代入，
得-5=2×（-2）+b，解得b=-1，
将点P （-2，-5）代入，
得-5=a×（-2）-3，解得a=1，
∴这两个函数的解析式分别为和；
【小问2详解】
∵在中，令，得x=，
∴A（，0）．
∵在中，令，得x=3，
∴B（3，0）．
∴．
【小问3详解】
由函数图象可知，当x＜-2时，2x+b＜ax-3．
∴不等式2x+b＜ax﹣3的解集为：x＜-2．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
18. 在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段BC反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）∠DEC =60°＋α；（3）2
【解析】
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论．
（2）证明∠ECD＝60°，∠CDE＝∠CAE＝60°−α，可得结论．
（3）证明BC＝CD，AF＝DF，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：如图2中，设AE交CD于O．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝180°−∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠ACE−∠ACB＝60°，
∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°，
∴∠EDC＝∠CAO＝60°−α，
∴∠DEC＝180°−∠EDC−∠ECD＝180°−（60°−α）−60°＝60°＋α；
（3）解：如图3中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ADB＝90°−60°＝30°，
∴∠BAD＝180°−∠B−∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴CA＝CD，
∴CB＝CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∵EA＝ED，CA＝CD，
∴CE垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴S△ACF＝S△ACD＝2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上）
19. 若，则的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】先因式分解，再整体代换求值．
【详解】解：，
原式．
故答案为：3．
【点睛】本题考查求代数式的值，正确因式分解是求解本题的关键．
20. 若方程组的解满足，则m的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先将两个方程相加，得到x+y的值，然后求解即可．
【详解】解：解方程组：
①＋②得，x+y=m+2，
∵，
∴m+2>5，
解得：．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查解方程组及不等式，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．
21. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________．
【答案】﹣3＜k≤﹣2
【解析】
【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜k+4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜k+4≤2，
解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案为：﹣3＜k≤﹣2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的不等式．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，4），作点C关于直线AB：yx+1的对称点D，则点D的坐标是 _____．
【答案】（，-）
【解析】
【分析】由直线解析式可求出A和B的坐标，可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，连接BD，作DE⊥y轴于点E，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得D的坐标．
【详解】解：连接BD，BD与直线AB相交于点F，作DE⊥y轴于点E，
∵直线AB：y=x+1，
∴A（-，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∴AB==2，
∴AB=2OB，
∴∠BAO=30°，∠ABO=∠CBF=60°，
∵点D与点C关于直线AB对称，
∴BC=BD，∠DBF=∠CBF=60°，
∴∠DBE=60°，
∵点C的坐标是（0，4），
∴BC=3，
∴BD=BC=3，
∴在Rt△BDE中，BD=3，∠BDE=30°，
∴BE=BD=，DE==，
∴OE=，
∴D的坐标为（，-）．
故答案：（，-）．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了一次函数的性质，对称点、图形与坐标、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等，正确运用勾股定理与含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
23. 如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接．设，，y与x的函数关系式是 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】延长到M，使，连接，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出，，证明，得出，
最后求出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：延长到M，使，连接，如图所示：
∵中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 为建设天府新区“公园城市”．天府新区某公司生产一种产品面向全国各地销售．该公司经过实地考察后,现将200件该产品运往A,B,C三地进行销售,已知运往A地的运费为30元/件,运往B地的运费为8元/件,运往C地的运费为25元/件,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,设安排x件产品运往A地．
（1）试用含x的代数式表示总运费y元;
（2）若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有几种运输方案？A,B,C三地各运多少件时总运费最低？最低总运费是多少元？
【答案】（1）y＝56x+1600（2）共有3种运输方案, 当运往A地40件、运往B地80件、运往C地80件时,总运费最低,最低总运费是3840元．
【解析】
【分析】（1）根据总运费=每件运费×运往该地的件数，即可用含x的代数式表示总运费y元；
（2）根据“运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出运输方案的次数，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：（1）∵安排x件产品运往A地，
∴安排2x件产品运往C地，安排(200﹣x﹣2x)件产品运往B地，
∴总运费y＝30x+8(200﹣x﹣2x)+25×2x＝56x+1600；
（2）依题意，得：，
解得：40≤x≤42．
又∵x为正整数，
∴x可以取40，41，42，
∴共有3种运输方案．
∵在y＝56x+1600中k＝56＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，y取得最小值，最小值＝56×40+1600＝3840，此时2x＝80，200﹣x﹣2x＝80，
即当运往A地40件、运往B地80件、运往C地80件时，总运费最低，最低总运费是3840元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25. 如图，BC为等边△ABM的高，AB＝，点P为射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接MD，BD．
（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：BP＝MD；
（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，求证：BP＝MD；
（3）若点P在线段BC的延长线上，且∠BDM＝30°时，请直接写出线段AP的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP＝5
【解析】
【分析】（1）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；
（2）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；
（3）由△BAP≌△MAD和BC为等边△ABM的高，计算得∠DBM＝60°，从而证明点D在BA的延长线上，再利用Rt△BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案．
【详解】（1）如图①，连接AD

∵△ABM是等边三角形
∴AB＝AM，∠BAM＝60°
由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°
∴△APD是等边三角形
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠MAD＝∠PAD﹣∠CAP
∴∠BAP＝∠MAD
∵
∴△BAP≌△MAD（SAS）
∴BP＝MD；
（2）如图②，连接AD

∵△AMB是等边三角形
∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°
由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°
∴△APD是等边三角形
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°
∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP
∴∠BAP＝∠MAD
在△BAP与△MAD中
∵
∴△BAP≌△MAD（SAS）
∴BP＝MD；
（3）∵BC为等边△ABM的高
∴∠ABC＝30°
∵△BAP≌△MAD
∴∠ABP＝∠AMD＝30°
∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°
∴∠BMD＝90°
∵∠BDM＝30°
∴∠DBM＝60°
∴点D在BA的延长线上
如图③

∵∠BDM＝30°,∠BMD＝90°
∴BD＝2BM＝10
∴AD＝BD﹣AB＝5
∵PA＝PD＝AD
∴AP＝AD＝5．
【点睛】本题考查了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．
26. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）如图1，点在直线上，求点A、B坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，点是点A关x轴的对称点，点Q是第二象限内一点，连结AQ、PQ、和，如果和面积相等，且，求点Q的坐标；
（3）如图3，点C点D是该直线在第一象限内的两点，点C在点D左侧，且两点的横坐标之差为1，且，作轴，垂足为点E，连结DE，若，求k的值．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【解析】
【分析】（1）将代入直线得出直线解析式，即可求得点A、B坐标；
（2）根据题意画出图形，过P，A分别作，，设AQ和交于点C，由和面积相等可得PM=AN，可得，由平行的性质和已知得出，根据等角对等边得出PC=AC，QC=C，则=AQ，可证出，可得，利用勾股定理求出，设，再利用两点间的距离公式即可求解；
（3）设，则，由已知，利用两点间的距离公式即可求解．
【详解】解：（1）将代入直线，得
，解得，
∴直线解析式为，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴时，，
时，，
∴，；
（2）如图2，过P，A分别作，，设AQ和交于点C，
∵和面积相等，
∴PM=AN，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，PC=AC，
∴QC=C，
∴=AQ，
∵，
∴，
∴，
∵，点是点A关x轴的对称点，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
解得：，，
∴点Q的坐标为或；
（3）设，则，
∵，
∴
，
解得：（符合题意），
∴k的值为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，两点间的距离公式，三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握一次函数的性质和两点间的距离公式是解题的关键．