专题22 特殊平行四边形过关检测-备战中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

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1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．∠ABC＝90°C．AC⊥BDD．AB＝BC
【答案】B
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】B
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝4，
∴菱形的周长为：4×4＝16；
故选：B．
3．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（ ）
A．米B．6米C．米D．3米
【答案】A
【解答】解：如图，记AC与BD的交点为O．
∵四边形ABCD是菱形，且周长为24米，
∴AC⊥BD，AC＝2OA，∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝6米．
∵AB＝AD，∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝6米，
∴OB＝OD＝3米，
又∵AC⊥BD，
∴（米），
∴（米）．
故选：A．
4．如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣5，4）B．（﹣5，5）C．（﹣4，4）D．（﹣4，5）
【答案】A
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：A．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
【答案】C
【解答】解：如图，连接CE，
在矩形ABCD中，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即AE的长为5．
故选：C．
6．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解；如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG+∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
∴BE的长为2．
故选：A．
7．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（ ）
A．4B．2C．4D．2
【答案】B
【解答】解：连接AC、CF，如图：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝8，CE＝4，
∴AC＝8，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝＝4，
∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，
∴CH＝AF＝2，
故选：B．
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．62.5°B．45°C．32.5°D．22.5°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠E+∠ACE＝180°﹣45°＝135°，
∴2∠ACE＝135°，
∴∠ACE＝67.5°，
∴∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠BCE的度数是22.5°，
故选：D．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（ ）
A．3B．3.5C．2D．2.5
【答案】D
【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴AC＝2MN＝2×3＝6，
∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，AC•BD＝24，
即×6×BD＝24，
∴BD＝8，
∴OD＝BD＝4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∵点M是AD的中点，OA＝OC，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AM∥BD，DM∥AC，若四边形AODM的周长为12，则BC的长为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】D
【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，
∴AC＝BD，∠AOB＝60°，
∵矩形对角线相互平分，
∴OA＝OB＝OC＝OD，△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝OC＝OD
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，，
∵AM∥BD，DM∥AC，
∴四边形AODM是平行四边形，
∵OA＝OD，
∴四边形AODM是菱形，
∴OA＝OD＝DM＝AM，
∵菱形AODM的周长为12，
∴AB＝3，
∴，
故选：D．
填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：解法一：过点P作PF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠BAD，
又∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴PE＝PF＝3，
∴点P到直线AB的距离为3．
解法二：过点P作PF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵AE＝PE，
∴四边形AFPE为正方形，
∴AE＝PF＝3，
∴点P到直线AB的距离为3．
故答案为：3．
12．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为 67.5° ．
【答案】67.5°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故答案为：67.5°．
13．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接CE，
，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3，
∴DE的长是3．
故答案为：3．
14．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，连接OE．下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②CD＝BE；
③BC＝2AB；
④S△AOE＝S△COE．其中正确的有 ①②④ （填序号）．
【答案】①②④．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AE平分∠BAD，
∴，OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠COD＝∠AOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵在矩形ABCD中，∠ABE＝90°，AB＝CD，
又∵∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB，
∴CD＝BE，故②正确；
∵△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA，
又∵OA＝OC，
∴AC＝2AB，
∵BC＜AC，
∴BC＜2AB，故③错误；
∵△AOE和△COE的底边OA＝OC，点E到AC的距离相等，
∴S△AOE＝S△COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P的坐标为 （9，12）或（3，12）或（24，12） ．
【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．
【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，
∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，
∴此时点P坐标为（6，12）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，
∴此时点P坐标为（9，12）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，
∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，
∴此时点P坐标为（24，12）．
综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；
故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．
16．如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，点E在边CD上，连接AE，在AE上取点F，连接OF，若∠DOF+∠AED＝90°，tan∠CAE＝，则OF的长为 ．
【答案】．
【解答】解：设AE与BD相交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOH＝90°，
在Rt△AOH中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵∠DOF+∠AED＝90°，
又∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠DOF＝∠EAD，
∵∠OHF＝∠AHD，
∴△OHF∽△AHD，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，
∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8．
19．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）24．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点，
∴AD＝BC，BD＝CD＝BC，
∵AE＝BD，
∴AE＝DC，
∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵平行四边形ADCE是菱形，
∴S△ADC＝S△AEC，
∵D是BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABD，
∴菱形ADCE的面积＝三角形ABC的面积＝AC•AB＝6×8＝24．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，
∴四边形BDCE为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，
∴，
∴四边形BDCE为菱形；
（2）解：连接DE交BC于O点，如图，
∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，
∴，
∴∠ACB＝60°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2，
∴．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：DE＝EF；
（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
【答案】（1）见解析；（2）4．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE．
（2）解：CE+CG的值是定值，定值为4．
理由：∵EF＝DE．
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×2＝4．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．
∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．
23．（10分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x2﹣8x+16；
（2）当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8..
【解答】解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16；
（2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10，
解得x＝1或x＝3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴y有最小值，最小值为8．
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8．