专题24 与圆有关的位置关系过关检测-备战中考数学一轮复习考点帮(全国通用)
展开选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)。
1.若⊙O的半径为6cm,PO=8cm,则点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定
【答案】A
【解答】解:∵点P到圆心的距离8cm大于圆的半径6cm,
∴点P在圆外.
故选:A.
2.下列说法中,正确的是( )
A.弦的垂直平分线必经过圆心
B.三点确定一个圆
C.平分弦的直径垂直于这条弦
D.长度相等的弧是等弧
【答案】A
【解答】解:A、弦的垂直平分线必经过圆心,故本选项符合题意;
B、不在同一直线上的三点确定一个圆,故本选项不符合题意;
C、平分弦(非直径)的直径垂直这条弦,该选项说法错误,故此选项不符合题意;
D、在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧,长度相等的弧不一定能够重合,故本选项不符合题意.
故选:A.
3.如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠C=50°,则∠B的大小等于( )
A.20°B.25°C.40°D.50°
【答案】A
【解答】解:连接OA,
∵AC是⊙O的切线,
∴∠OAC=90°,
∵∠C=50°,
∴∠AOC=90°﹣50°=40°,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB,
∵∠AOC=∠B+∠OAB=40°,
∴∠B=20°,
故选:A.
4.如图,PA、PB分别切⊙O于A、B,PA=10,C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合),过点C的切线分别交PA、PB于点E、F.则△PEF的周长为( )
A.10B.15C.20D.25
【答案】C
【解答】解:∵PA、PB分别切⊙O于A、B,
∴PB=PA=10cm,
∵EA与EC为⊙的切线,
∴EA=EC,
同理得到FC=FB,
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF
=PE+EA+FB+PF
=PA+PB
=10+10
=20(cm).
故选:C.
5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=80°,则∠ABO的度数是( )
A.40°B.45°C.50°D.55°
【答案】A
【解答】解:∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∵∠P=80°,
∴∠BOA=360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P=100°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=(180°﹣∠BOA)=(180°﹣100°)=40°,
故选:A.
6.如图,PA,PB为⊙O的两条切线,点A,B是切点,OP交⊙O于点C,交弦AB于点D.下列结论中错误的是( )
A.PA=PBB.AD=BDC.OP⊥ABD.∠PAB=∠APB
【答案】D
【解答】解:由切线长定理可得:∠APO=∠BPO,PA=PB,从而AB⊥OP,AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB,可知:D是错误的.
综上可知:只有D是错误的.
故选:D.
7.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为( )
A.1B.C.D.1.5
【答案】B
【解答】解:过点0作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.
∵AB、BC是⊙O的切线,
∴点E、F是切点,
∴OE、OF是⊙O的半径;
∴OE=OF;
在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,
∴由勾股定理,得BC=4;
又∵D是BC边的中点,
∴S△ABD=S△ACD,
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,
∴AB•OE+BD•OF=CD•AC,
即5×OE+2×OE=2×3,
解得OE=,
∴⊙O的半径是.
故选:B.
8.如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点,BD垂直平分OE交⊙O于点D,过点D的切线与BE的延长线交于点C.若,则AB的长为( )
A.4B.2C.D.
【答案】A
【解答】解:连接OD、AD,
∵DC是⊙O的切线,
∴OD⊥CD,
∵BD垂直平分OE交⊙O于点D,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC,OB=BE,
∵∠ABD=∠AOD,OB=OE,
∴∠ABC=∠AOD,△OBE是等边三角形,
∴OD∥BC,∠OBE=60°,
∴BC⊥CD,∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°=∠DCB,
∴△ABD∽△DBC,
∴,
设AD=x,则AB=2x,BD=,
∴,
∴x=2,
∴AB=2x=4,
故选:A.
9.如图,在⊙O中,AB为直径,点M为AB延长线上的一点,MC与⊙O相切于点C,圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧,且使得MC=MD=AC,连接AD.现有下列结论:
①MD与⊙O相切;②四边形ACMD是菱形;③AB=MO;④∠ADM=120°.
其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】A
【解答】解:连接OC,OD,
∵OC=OD,CM=DM,OM=OM,
∴△CMO≌△DMO(SSS),
∴∠ODM=∠OCM,
∵MC与⊙O相切于点C,
∴∠OCM=90°,
∴∠ODM=90°,
∵OD是⊙O的直径,
∴MD与⊙O相切;故①正确;
∵△CMO≌△DMO,
∴∠COM=∠DOM,
∴∠AOC=∠AOD,
∵OA=OA,
∴△AOC≌△AOD(SAS),
∴AC=AD,
∴AC=AD=CM=DM,
∴四边形ACMD是菱形,故②正确;
∵AC=CM,
∴∠CAM=∠CMA,
∵∠COM=2∠CAM,
∴∠COM=2∠CMO,
∴∠CMO=30°,
∴OC=OM,
∵OC=AB,
∴AB=OM,故③正确;
∵四边形ACMD是菱形,
∴∠DAM=∠DMA=∠AMC=∠CAM=30°,
∴∠ADM=120°,故④正确;
故选:A.
10.如图,在直线l上有相距7cm的两点A和O(点A在点O的右侧),以O为圆心作半径为1cm的圆,过点A作直线AB⊥l.将⊙O以2cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上),则⊙O与直线AB在( )秒时相切.
A.3B.3.5C.3或4D.3或3.5
【答案】C
【解答】解:当点O到AB的距离为1cm时,⊙O与AB相切,
∵开始时O点到AB的距离为7,
∴当圆向右移动7﹣1或7+1时,点O到AB的距离为1cm,此时⊙O与AB相切,
∴t==3(s)或t==4(s),
即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切.
故选:C.
填空题(本题共6题,每小题2分,共12分)。
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC外接圆的圆心坐标是 (5,2) ,半径是 2 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等,
又∵到B,C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上,
∴三角形的外心位置基本确定,只有(5,2)点到三角形三个顶点距离相等,
∴(5,2)点是三角形的外接圆圆心.
利用勾股定理可得半径为:2.
故答案为:(5,2),2.
12.如图,等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,AB=AC,tan∠ABC=.则BC的长为 6 .
【答案】6.
【解答】解:连接OA,交BC于E,连接OB,
∵AB=AC,
∴=,
∵OA是⊙O的半径,
∴OA⊥BC,
∴BE=EC,
∵tan∠ABC=,
∴=,
设AE=x,则BE=3x,OE=5﹣x,
在Rt△OEB中,OB2=OE2+BE2,即52=(5﹣x)2+(3x)2,
解得:x1=1,x2=0(舍去),
∴BE=3x=3,
∴BC=2BE=6.
13.如图,BC为⊙O的直径,P为CB延长线上的一点,过P作⊙O的切线PA,A为切点,PA=4,PB=2,则⊙O的半径等于 3 .
【答案】3.
【解答】解:连接OA,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,∵PA=4,PB=2,
在Rt△PAO中,PO2=PA2+AO2,
即(BO+2)2=42+AO2,
∴(AO+2)2=42+AO2,
解得AO=3,
故答案为:3.
14.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=120°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为 30° .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:如图所示:连接OC、CD,
∵PC是⊙O的切线,
∴PC⊥OC,
∴∠OCP=90°,
∵∠A=120°,
∴∠ODC=180°﹣∠A=60°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=60°,
∴∠DOC=180°﹣2×60°=60°,
∴∠P=90°﹣∠DOC=30°;
故答案为:30°.
15.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD交于点E.=2,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= 66 °.
【答案】66.
【解答】解:如图,连接OC,OD,
∵BF是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,
∴OB⊥BF,
∴∠ABF=90°,
∵∠AFB=68°,
∴∠BAF=90°﹣∠AFB=22°,
∴∠BOD=2∠BAF=44°,
∵,
∴∠COA=2∠BOD=88°,
∴∠CDA=,
∵∠DEB是△AED的一个外角,
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°,
故答案为:66.
16.如图,半圆的圆心与坐标原点重合,半圆的半径1,直线l的解析式为y=x+t.若直线l与半圆只有一个交点,则t的取值范围是 t=或﹣1≤t<1 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:若直线与半圆只有一个交点,则有两种情况:直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A).
直线y=x+t与x轴所形成的锐角是45°.
当直线和半圆相切于点C时,则OC垂直于直线,∠COD=45°.
又OC=1,则CD=OD=,即点C(﹣,),
把点C的坐标代入直线解析式,得
t=y﹣x=,
当直线过点A时,把点A(﹣1,0)代入直线解析式,得t=y﹣x=1.
当直线过点B时,把点B(1,0)代入直线解析式,得t=y﹣x=﹣1.
即当t=或﹣1≤t<1时,直线和圆只有一个公共点;
故答案为t=或﹣1≤t<1.
三、解答题(本题共7题,共58分)。
17.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O,交边AC于点D,BC为⊙O的切线,弦DE⊥AB于点F,连结BE.
(1)求证:∠ABE=∠C.
(2)若点F为OB中点,且OF=1,求线段ED的长.
【答案】(1)见解答;
(2)2.
【解答】(1)证明:AB为直径,BC为⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠BFE=90°,
∴∠E+∠ABE=90°,
∵∠E=∠A,
∴∠ABE=∠C.
(2)解:连接OE,
∵点F为OB中点,
∴OF=OB=OE,
∴∠OEF=30°,
∵OF=1,
∴OE=2,EF=,
∵弦DE⊥AB于点F,AB为直径,
∴DE=2EF=2.
18.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并证明;
(2)若BE=8,DE=16,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;
(2)6.
【解答】解:(1)相切,
证明:如图,连接OC,
在△OCB与△OCD中,
,
∴△OCB≌△OCD(SSS),
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥DC,
又∵OD为⊙O的半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,
在Rt△OBE中,∵OE2=EB2+OB2,
∴(16﹣r)2=r2+82,
∴r=6,
∴⊙O的半径为6.
19.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,以点O为圆心,OA为半径的圆交AB于点C,点D在边OB上,且CD=BD.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)已知tan∠ODC=,AB=40,求⊙O的半径.
【答案】(1)直线CD与⊙O相切,理由见解析过程;
(2)24.
【解答】解:(1)直线CD与⊙O相切,
理由如下:如图,连接OC,
∵OA=OC,CD=BD,
∴∠A=∠ACO,∠B=∠DCB,
∵∠AOB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠ACO+∠DCB=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
又∵OC为半径,
∴CD是⊙O的切线,
∴直线CD与⊙O相切;
(2)∵tan∠ODC==,
∴设CD=7x=DB,OC=24x=OA,
∵∠OCD=90°,
∴OD===25x,
∴OB=32x,
∵∠AOB=90°,
∴AB2=AO2+OB2,
∴1600=576x2+1024x2,
∴x=1,
∴OA=OC=24,
∴⊙O的半径为24.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,DE=5,求⊙O的直径.
【答案】(1)直线DE与⊙O相切,理由见解析;
(2).
【解答】解:(1)直线DE与⊙O相切,
理由:连接DO,如图,
∵∠BDC=90°,E为BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠EDC=∠ECD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,
∴DE⊥OD,
∵OD是⊙O的半径,
∴DE与⊙O相切;
(2)由(1)得,∠CDB=90°,
∵CE=EB,
∴DE=BC,
∴BC=10,
∴BD===8,
∵∠BCA=∠BDC=90°,∠B=∠B,
∴△BCA∽△BDC,
∴=,
∴,
∴,
∴⊙O直径的长为.
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E.F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求⊙O的半径.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)线BC与⊙O的位置关系是相切,
理由是:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥BC,
∵OD为半径,
∴线BC与⊙O的位置关系是相切;
(2)设⊙O的半径为R,
则OD=OF=R,
在Rt△BDO中,由勾股定理得:OB2=BD2+OD2,
即(R+2)2=(2)2+R2,
解得:R=4,
即⊙O的半径是4.
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=3,DE=,求⊙O的直径.
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明:连接DO,如图,
∵直径所对圆周角,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDC=90°,E为BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠EDC=∠ECD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,
∴DE⊥OD且OD为半径,
∴DE与⊙O相切;
(2)由(1)得,∠CDB=90°,
∵CE=EB,
∴DE=BC,
∴BC=5,
∴BD===4,
∵∠BCA=∠BDC=90°,∠B=∠B,
∴△BCA∽△BDC,
∴=,
∴=,
∴AC=,
∴⊙O直径的长为.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)如果AB=5,BC=6,求DE的长.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)相切,理由如下:
连接AD,OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴CD=BD=BC.
∵OA=OB,
∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠CED.
∵DE⊥AC,
∴∠ODE=∠CED=90°.
∴OD⊥DE.
∴DE与⊙O相切.
(2)由(1)知∠ADC=90°,
∴在Rt△ADC中,由勾股定理 得
AD==4.
∵SACD=AD•CD=AC•DE,
∴×4×3=×5DE.
∴DE=.
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