专题25 与圆有关的计算的核心知识点精讲(讲义)-备战中考数学一轮复习考点帮(全国通用)
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1.掌握弧长和扇形面积计算公式;
2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算
考点1:圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
考点2:扇形的弧长和面积计算
扇形:(1)弧长公式:;
(2)扇形面积公式:
:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积
注意:
(1)对于弧长公式,关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即;
(2)公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n和180都不带单位,R为弧所在圆的半径;
(3)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,
即;
(5)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
考点3:扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
=
圆柱的体积:
2、圆锥侧面展开图
(1)=
(2)圆锥的体积:
注意:圆锥的底周长=扇形的弧长()
【题型1:正多边形和圆的有关计算】
【典例1】(2023•福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图,⊙O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为( )
A.B.2C.3D.2
【答案】C
【解答】解:如图,AB是正十二边形的一条边,点O是正十二边形的中心,
过A作AM⊥OB于M,
在正十二边形中,∠AOB=360°÷12=30°,
∴AM=OA=,
∴S△AOB=OB•AM==,
∴正十二边形的面积为12×=3,
∴3=12×π,
∴π=3,
∴π的近似值为3,
故选:C.
【变式1-1】(2023•临沂)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合,旋转角的大小不可能是( )
A.60°B.90°C.180°D.360°
【答案】B
【解答】解:由于正六边形的中心角为=60°,
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合,旋转角可以为60°或60°的整数倍,即可以为60°,120°,180°,240°,300°,360°,不可能是90°,
故选:B.
【变式1-2】(2023•安徽)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE﹣∠COD=( )
A.60°B.54°C.48°D.36°
【答案】D
【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠BAE==108°,∠COD==72°,
∴∠BAE﹣∠COD=108°﹣72°=36°,
故选:D.
【变式1-3】(2023•山西)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为,(0,﹣3),则点M的坐标为( )
A.(3,﹣2)B.(3,2)C.(2,﹣3)D.(﹣2,﹣3)
【答案】A
【解答】解:设中间正六边形的中心为D,连接DB.
∵点P,Q的坐标分别为,(0,﹣3),图中是7个全等的正六边形,
∴AB=BC=2,OQ=3,
∴OA=OB=,
∴OC=3,
∵DQ=DB=2OD,
∴OD=1,QD=DB=CM=2,
∴M(3,﹣2),
故选:A.
【变式1-4】(2023•内江)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在上,点Q是的中点,则∠CPQ的度数为( )
A.30°B.45°C.36°D.60°
【答案】B
【解答】解:如图,连接OC,OD,OQ,OE,
∵正六边形ABCDEF,Q是的中点,
∴∠COD=∠DOE==60°,∠DOQ=∠EOQ=∠DOE=30°,
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°,
∴∠CPQ=∠COQ=45°,
故选:B.
【题型2:弧长和扇形面积的有关计算】
【典例2】(2023•张家界)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于( )
A.πB.3πC.2πD.2π﹣
【答案】B
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=3,∠A=∠B=∠C=60°,
∴==,
∵的长==π,
∴该“莱洛三角形”的周长是3π.
故选:B.
【变式2-1】(2022•广西)如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB′C′,连接B′C并延长交AB于点D,当B′D⊥AB时,的长是( )
A.πB.πC.πD.π
【答案】B
【解答】解:∵CA=CB,CD⊥AB,
∴AD=DB=AB′.
∴∠AB′D=30°,
∴α=30°,
∵AC=4,
∴AD=AC•cs30°=4×=2,
∴,
∴的长度l==π.
故选:B.
【变式2-2】(2022•丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2m,高为2m,则改建后门洞的圆弧长是( )
A.mB.mC.mD.(+2)m
【答案】C
【解答】解:连接AC,BD,AC和BD相交于点O,则O为圆心,如图所示,
由题意可得,CD=2m,AD=2m,∠ADC=90°,
∴tan∠DCA===,AC==4(m),
∴∠ACD=60°,OA=OC=2m,
∴∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°,
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°,
∴改建后门洞的圆弧长是:=(m),
故选:C.
【变式2-3】(2023•锦州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠ABC=40°,连接OA,OC.若⊙O的半径为3,则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
A.πB.πC.πD.2π
【答案】D
【解答】解:∵∠ABC=40°,
∴∠AOC=2∠ABC=80°,
∴扇形AOC的面积为,
故选:D.
【题型3:有圆有关的阴影面积的计算】
【典例3】(2023•广元)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解答】解:连接OC,如图所示,
∵∠AOB=90°,CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90°,
∴四边形OECD是矩形,
∵CD=CE,
∴四边形OECD是正方形,
∴∠DCE=90°,△DCE和△OEC全等,
∴S阴影=S△DCE+S半弓形BCE
=S△OCE+S半弓形BCE
=S扇形COB
=
=,
故选:B.
【变式3-1】(2023•雅安)如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得∠AOB=120°,OA=15m,OC=10m,则种草区域的面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解答】解:S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD==(m2).
故选:B.
【变式3-2】(2023•鄂州)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O为BC的中点,以O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是( )
A.5πB.5﹣4πC.5﹣2πD.10﹣2π
【答案】C
【解答】解:连接OD.
在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,
∴BC=AB=4,
∴OC=OD=OB=2,
∴∠DOB=2∠C=60°,
∴S阴=S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=×4×4﹣﹣
=8﹣3﹣2π
=5﹣2π.
故选:C.
【变式3-3】(2022•凉山州)家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件,已知扇形的圆心角∠BAC=90°,则扇形部件的面积为( )
A.米2B.米2C.米2D.米2
【答案】C
【解答】解:连结BC,AO,如图所示,
∵∠BAC=90°,
∴BC是⊙O的直径,
∵⊙O的直径为1米,
∴AO=BO=(米),
∴AB==(米),
∴扇形部件的面积=π×()2=(米2),
故选:C.
【题型4:圆锥的有关计算】
【典例4】(2023•东营)如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是( )
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【解答】解:设底面半径为R,则底面周长=2πR,圆锥的侧面展开图的面积=×2πR×5=15π,
∴R=3.
故选:A.
【变式4-1】(2022•牡丹江)圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,它的侧面展开图的圆心角是( )
A.90°B.100°C.120°D.150°
【答案】C
【解答】解:圆锥侧面展开图的弧长是:2π×1=2π,
设圆心角的度数是n度.
则=2π,
解得:n=120.
故选:C.
【变式4-2】(2022•广安)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2m,圆锥的高AC=1.5m,圆柱的高CD=2.5m,则下列说法错误的是( )
A.圆柱的底面积为4πm2
B.圆柱的侧面积为10πm2
C.圆锥的母线AB长为2.25m
D.圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【解答】解:∵底面圆半径DE=2m,
∴圆柱的底面积为4πm2,所以A选项不符合题意;
∵圆柱的高CD=2.5m,
∴圆柱的侧面积=2π×2×2.5=10π(m2),所以B选项不符合题意;
∵底面圆半径DE=2m,即BC=2m,圆锥的高AC=1.5m,
∴圆锥的母线长AB==2.5(m),所以C选项符合题意;
∴圆锥的侧面积=×2π×2×2.5=5π(m2),所以D选项不符合题意.
故选:C.
【变式4-3】(2022•赤峰)如图所示,圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为( )
A.10cmB.20cmC.5cmD.24cm
【答案】D
【解答】解:设母线的长为R,
由题意得,πR=2π×12,
解得R=24,
∴母线的长为24cm,
故选:D.
一.选择题(共10小题)
1.如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,则正五边形的中心角∠COD的度数是( )
A.72°B.60°C.48°D.36°
【答案】A
【解答】解:∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°,
故选:A.
2.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为4,则这个正六边形的边心距OM和的长分别为( )
A.2,B.,πC.2,D.2,
【答案】D
【解答】解:如图所示,连接OC、OB,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC=60°,
∵OC=OB,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OBM=60°,
∴OM=OBsin∠OBM=4×=2,
的长==;
故选:D.
3.如图,⊙O的半径为1,点A、B、C都在⊙O上,∠B=45°,则的长为( )
A.πB.πC.πD.π
【答案】C
【解答】解:∵∠B=45°,
∴∠AOC=90°,
∵⊙O的半径为1,
∴的长===π,
故选:C.
4.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上两点,且满足∠ADC=120°,BC=1,则的长为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解答】解:如图,连接OC.
∵∠ADC=120°,
∴∠ABC=60°,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°,
OB=OC=BC=1,
∴的长为=,
故选:A.
5.如图,等边△ABC的边长为4,D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点,分别以A、B、C三点为圆心,以AD长为半径作三条圆弧,则图中三条圆弧的弧长之和是( )
A.πB.2πC.4πD.6π
【答案】B
【解答】解:依题意知:图中三条圆弧的弧长之和=×3=2π.
故选:B.
6.若扇形的半径是12cm弧长是20πcm,则扇形的面积为( )
A.120πcm2B.240πcm2C.360πcm2D.60πcm2
【答案】A
【解答】解:该扇形的面积为:(cm2).
故选:A.
7.如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.3π
【答案】C
【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,
∴∠ABC=30°.
∴AB=2AC=6.
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′,则S△ABC=S△AB′C′,AB=AB′.
∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
=
=.
故选:C.
8.如图,四边形ABCD为正方形,边长为4,以B为圆心、BC长为半径画,E为四边形内部一点,且BE⊥CE,∠BCE=30°,连接AE,则阴影部分面积( )
A.B.6πC.D.
【答案】C
【解答】解:如图,作EF⊥AB于点F,
∵BE⊥CE,∠BCE=30°,
∴BE=BC=2,∠CBE=60°,
∴CE=BE=2,∠EBF=30°,
∴EF=BE=1,
∴S阴影=S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE
=﹣×2×﹣×1
=4π﹣2﹣2.
故选:C.
9.如图,圆锥的母线长为5cm,高是4cm,则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是( )
A.180°B.216°C.240°D.270°
【答案】B
【解答】解:∵圆锥的母线长为5cm,高是4cm,
∴圆锥底面圆的半径为:=3(cm),
∴2π×3=,
解得n=216°.
故选:B.
10.已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则圆锥的侧面积是( )
A.10πB.15πC.20πD.25π
【答案】C
【解答】解:圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π,
故选:C.
二.填空题(共8小题)
11.AB是⊙O的内接正六边形一边,点P是优弧AB上的一点(点P不与点A,B重合)且BP∥OA,AP与OB交于点C,则∠OCP的度数为 90° .
【答案】90°.
【解答】解:∵AB是⊙O的内接正六边形一边,
∴∠AOB==60°,
∴=30°,
∵BP∥OA,
∴∠OAC=∠P=30°,
∴∠OCP=∠AOB+∠OAC=60°+30°=90°.
故答案为:90°.
12.已知正六边形的内切圆半径为,则它的周长为 12 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:如图,连接OA、OB,OG;
∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径,设正六边形的半径为a,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=a,
∴OG=OA•sin60°=a×=,解得a=2,
∴它的周长=6a=12.
故答案为:12.
13.如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧,点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90m,圆心角∠AOB=80°,则这段弯路的长度为 40π m.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:由题意得,这段弯路的长度为,
故答案为:40π.
14.已知扇形的圆心角为120°,面积为27πcm2,则该扇形所在圆的半径为 9cm .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵扇形的圆心角为120°,面积为27πcm2,
∴由S=得:r===9cm,
故答案为:9cm.
15.圆锥的侧面积是10πcm2,底面半径是2cm,则圆锥的母线长为 5 cm.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:底面半径是2cm,则扇形的弧长是4π.
设母线长是l,则×4πl=10π,
解得:l=5.
故答案为:5.
16.如图,用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 4 cm.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长==4π,
∴圆锥的底面圆的周长为4π,
∴圆锥的底面圆的半径为2,
∴这个纸帽的高==4(cm).
故答案为4.
17.如图,直径AB为6的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B到了点B′,则图中阴影部分的面积是 6π .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积,
则阴影部分的面积是:=6π,
故答案为:6π.
18.如图,将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起,则∠ABC的度数为 132 °.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:由题意得:正六边形的每个内角都等于120°,正五边形的每个内角都等于108°,
∴∠ABC=360°﹣120°﹣108°=132°,
故答案为:132.
一.选择题(共7小题)
1.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题,让世界观众感受到中国人的浪漫,如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中,“雪花”中心与原点重合,C,F在y轴上,则顶点B的坐标为( )
A.(4,2)B.(4,4)C.D.
【答案】C
【解答】解:连接OB,OA,如图所示:
∵正六边形是轴对称图形,中心与坐标原点重合,
∴△AOB是等边三角形,AO=BO=AB=4,AB⊥x轴,AM=BM,
∵AB=4,
∴AM=BM=2,
∴OM=,
∴点B的坐标为:(2,2),
故选:C.
2.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在弧AE上.若∠CDF=95°,则∠FCD的大小为( )
A.38°B.42°C.49°D.58°
【答案】C
【解答】解:如图,连接OE,OD,CE,
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠CDE=(5﹣2)×180°÷5=108°,
∵∠CDF=95°,
∴∠FDE=∠CDE﹣∠CDF=108°﹣95°=13°,
∴∠FCE=13°,
∵正五边形ABCDE内接于⊙O,
∴∠EOD=360°÷5=72°,
∴∠ECD==36°,
∴∠FCD=∠FCE+∠ECD=36°+13°=49°,
故选:C.
3.如图,在⊙O中,点C在优弧上,将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为5,AB=4,则的长是( )
A.B.C.D.4π
【答案】A
【解答】解:连接AC,OB,OD,CD,作CF⊥AB于点F,作OE⊥CF于点E,
由垂定理可知OD⊥AB于点D,AD=BD==.
又OB=5,
∴OD===,
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD,且∠CBA=∠CBD,
∴CA=CD,△CAD为等腰三角形.
∵CF⊥AB,
∴AF=DF==,
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=,
∴四边形ODFE为正方形.
∴,
∴CE===2,
∴CF=CE+EF=3=BF,
故△CFB为等腰直角三角形,∠CBA=45°,
∴所对的圆心角为90°,
∴==.
故选:A.
4.如图,将直径为4的半圆形分别沿CD,EF折叠使得直径两端点A,B的对应点都与圆心O重合,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解答】解:连接AC,OC,OE,BE,
由题意得:CD垂直平分OA,
∴AC=OC,
∵OC=OA,
∴△OAC是等边三角形,
同理△BOE是等边三角形,
∴∠AOC=∠BOE=60°,
∴∠COE=60°,
∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等,
∵圆的直径是4,
∴OA=2,
∴扇形OAC的面积==,△OAC的面积=OA2=,
∴扇形OCE的面积=扇形OAC的面积=,
∴弓形AMC的面积=扇形OAC的面积﹣△OAC的面积=﹣,
∴阴影的面积=扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2=﹣2×(﹣)=2﹣.
故选:A.
5.如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,上,连接BC,CD,点D,O关于直线BC对称,的长为π,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解答】解:连接BD、OD,交BC与E,
由题意可知,BD=BO,
∵OD=OB,
∴OD=OB=DB,
∴∠BOD=60°,
∵∠AOB=90°,
∴∠AOD=30°,
∵的长为π,
∴,
∴r=6,
∴OB=6,
∴OE==3,BE=OB=3,
∴CE=OE=,
∴阴影部分的面积=S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE=+﹣=6π﹣3.
故选:A.
6.如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=8,过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解答】解:如图,连接OA,
∵∠ABO=60°,OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=8,
∵AD∥BO,
∴∠OAD=∠AOB=60°,
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形,
∴S阴影=S扇形AOB==π.
故选:B.
7.如图,一个圆锥的母线长为6,底面圆的直径为8,那么这个圆锥的侧面积是( )
A.24πB.40πC.48πD.
【答案】A
【解答】解:根据题意,这个圆锥的侧面积=×8π×6=24π.
故选:A.
二.填空题(共5小题)
8.如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,以AB,AD为直径作两个半圆,分别取弧AB,弧AD的中点M,N,连结MC,NC,则图中阴影部分的周长为 (4) cm.
【答案】(4).
【解答】解:解法一:如图,取AD的中点O,连接NO,设CN交AD于点E,
∵N是弧AD的中点,
∴NO⊥AD,
∵CD⊥AD,
∴NO∥CD,
∴△NOE∽△CDE,
∴====,
∴OE=OD=,
在Rt△NOE中,NE===,
∴CM=CN=3NE=2,
∵点M,N分别为弧AB,弧AD的中点
∴弧AB,弧AD的长度和为2×=2π,
∴图中阴影部分的周长为(4)cm.
解法二:作NH⊥BC于点H,
则CH=2,NH=6,
在Rt△NHC中,NC===2,
∴CM=CN=2,
∵点M,N分别为弧AB,弧AD的中点
∴弧AB,弧AD的长度和为2×=2π,
∴图中阴影部分的周长为(4)cm.
故答案为:(4).
9.如图,△ABC是边长为1的等边三角形,曲线CC1C2C3C4…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的,其中的圆心为A,半径为AC;的圆心为B,半径为BC1;的圆心为C,半径为CC2;的圆心为A,半径为AC3……,,,,…的圆心依次按点A,B,C循环,则的长是 .(结果保留π)
【答案】.
【解答】解:∵△ABC是边长为1的等边三角形,
∴AC=AC1=1,∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,;
∴BC2=BC1=AB+AC1=2,CC3=CC2=BC2+AB=3,∠CAC1=∠C1BC2=C2CC3=120°,
∴的半径为1;的半径为2;的半径为3;所对的圆心角为120°,
∴的半径为n,所对的圆心角为120°,
∴所在圆的半径为2023,所对的圆心角为120°,
∴的长为.
故答案为:.
10.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,,以A为圆心,AD长为半径画弧交BC于点E,将扇形AED剪下围成一个圆锥,则该圆锥的底面半径为 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:cs∠BAE=,
∴∠BAE=30°,
∴∠DAE=60°,
∴圆锥的侧面展开图的弧长为:=π,
∴圆锥的底面半径为π÷2π=.
11.如图,从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形ABC围成一个圆锥,则该圆锥的底面半径是 .
【答案】.
【解答】解:连接BC,如图,
∵∠BAC=90°,
∴BC为⊙O的直径,即BC=20,
∴AB=10,
设该圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意得2πr=,
解得r=,
即该圆锥的底面圆的半径为m.
故答案为:.
12.如图,AB是圆锥底面的直径,AB=6cm,母线PB=9cm,点C为PB的中点,若一只蚂蚁从A点处出发,沿圆锥的侧面爬行到C点处,则蚂蚁爬行的最短路程为 cm .
【答案】cm.
【解答】解:由题意知,底面圆的直径AB=6cm,
故底面周长等于6πcm,
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π=,
解得n=120°,
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°,
因为半径PA=PB,∠APB=60°,
故三角形PAB为等边三角形,
又∵D为PB的中点,
所以AD⊥PB,在直角三角形PAD中,PA=9cm,PD=cm,
根据勾股定理求得AD=(cm),
所以蚂蚁爬行的最短距离为cm.
故答案为:cm.
1.(2023•连云港)如图,矩形ABCD内接于⊙O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π﹣20B.π﹣20C.20πD.20
【答案】D
【解答】解:如图,连接BD,则BD过点O,
在Rt△ABD中,AB=4,BC=5,
∴BD2=AB2+AD2=41,
S阴影部分=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
=π×()2+π×()2+4×5﹣π×()2
=+20﹣
=20,
故选:D.
2.(2023•广安)如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是( )
A.π﹣2B.2π﹣2C.2π﹣4D.4π﹣4
【答案】C
【解答】解:在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠A=∠B=45°,
∴阴影部分的面积S=S扇形CAE+S扇形CBF﹣S△ABC
=×2﹣
=2π﹣4.
故选:C.
3.(2023•上海)如果一个正多边形的中心角是20°,那么这个正多边形的边数为 18 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:360°÷20°=18.
故这个正多边形的边数为18.
故答案为:18.
4.(2023•衡阳)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 10 .
【答案】10.
【解答】解:∵多边形是正五边形,
∴正五边形的每一个内角为:×180°×(5﹣2)=108°,
∴∠O=180°﹣(180°﹣108°)×2=36°,
∴正五边形的个数是360°÷36°=10.
故答案为:10.
5.(2023•宿迁)若圆锥的底面半径为2cm,侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,则这个圆锥的母线长是 6 cm.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:设圆锥的母线长为x cm,
根据题意得=2π•2,
解得x=6,
即圆锥的母线长为6cm.
故答案为6.
6.(2023•徐州)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若母线长l为6cm,扇形的圆心角θ为120°,则圆锥的底面圆的半径r为 2 cm.
【答案】2.
【解答】解:由题意得:母线l=6,θ=120°,
2πr=,
∴r=2(cm).
故答案为:2.
7.(2022•广元)如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰经过圆心O,若AB=2,则阴影部分的面积为 .
【答案】.
【解答】解:如图,过点O作AB的垂线并延长,垂足为C,交⊙O于点D,连结AO,AD,
根据垂径定理得:AC=BC=AB=,
∵将⊙O沿弦AB折叠,恰经过圆心O,
∴OC=CD=r,
∴OC=OA,
∴∠OAC=30°,
∴∠AOD=60°,
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠D=60°,
在Rt△AOC中,AC2+OC2=OA2,
∴()2+(r)2=r2,
解得:r=2,
∵AC=BC,∠OCB=∠ACD=90°,OC=CD,
∴△ACD≌△BCO(SAS),
∴阴影部分的面积=S扇形ADO=×π×22=.
故答案为:.
8.(2023•金华)如图,在△ABC中,AB=AC=6cm,∠BAC=50°,以AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,则弧DE的长为 π cm.
【答案】π.
【解答】解:连接OE,OD,
∵OD=OB,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC,
∴∠EOD=∠AEO,
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠BAC=50°,
∴∠EOD=∠BAC=50°,
∵OD=AB=×6=3(cm),
∴的长==π(cm).
故答案为:π.
9.(2023•温州)图1是4×4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为,现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A,E,D,B在圆上,点C,F在AB上),形成一幅装饰画,则圆的半径为 5 .若点A,N,M在同一直线上,AB∥PN,DE=EF,则题字区域的面积为 .
【答案】5;.
【解答】解:如图所示,依题意,GH=2=GQ,
∵过左侧的三个端点Q,K,L作圆,QH=HL=4,
又NK⊥QL,
∴O在KN上,连接OQ,则OQ为半径,
∵OH=r﹣KH=r﹣2,
在Rt△OHQ中,OH2+QH2=QO2,
∴(r﹣2)2+42=r2,
解得:r=5;
连接OE,取ED的中点T,连接OT,交AB于点S,连接PB,AM,过点O作OU⊥AM于点U.连接OA.
由△OUN∽△NPM,可得==,
∴OU=.MN=2,
∴NU=,
∴AU==,
∴AN=AU﹣NU=2,
∴AN=MN,
∵AB∥PN,
∴AB⊥OT,
∴AS=SB,
∴NS∥BM,
∴NS∥MP,
∴M,P,B共线,
又NB=NA,
∴∠ABM=90°,
∵MN=NB,NP⊥MP,
∴MP=PB=2,
∴NS=MB=2,
∵KH+HN=2+4=6,
∴ON=6﹣5=1,
∴OS=3,
∵,
设EF=ST=a,则 ,
在Rt△OET中,OE2=OT2+TE2,即 ,
整理得 5a2+12a﹣32=0,
即(a+4)(5a﹣8)=0,
解得: 或a=﹣4,
∴题字区域的面积为 .
故答案为:.
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