2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下是某中学12名学生的一次政治考试成绩．
则这组数据的75%分位数是( )
A. 87.5B. 88C. 88.5D. 89
2.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为 5，则它的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=± 52xC. y=±12xD. y=± 6x
3.设Sn为数列{an}的前n项和，若a1=65，5an+1=5an+2，则S5=( )
A. 265B. 465C. 10D. 565
4.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若l⊂α，m⊂α，l⊥n，m⊥n，则n⊥α
B. 若α/​/β，l⊥α，l⊥m，m⊄α，则m//β
C. 若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，n/​/β，m⊥l，则m⊥n
D. 若l⊥α，m⊥β，α⊥β，n/​/l，则m/​/n
5.某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为( )
A. 20B. 40C. 66D. 80
6.已知tan(α2+π4)=2，则csα的值为( )
A. 45B. 35C. −45D. −35
7.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−3,0)在圆C：x2+y2+2mx−4y+m2−12=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数m的取值范围是( )
A. (3−2 3,1]∪[5,3+2 3)B. [1,5]
C. (3−2 3,3+2 3)D. (−∞,3−2 3)∪(3+2 3,+∞)
8.已知斜率为3的直线l与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，直线l与直线y=12x交于点P(不与原点重合)，且P恰好是AB的中点，则C的离心率为( )
A. 142B. 102C. 72D. 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z满足z−(1−i)=z+5i2−i，则( )
A. z=−4+iB. 复平面内z−对应的点在第一象限
C. zz−=17D. z的实部与虚部之积为−4
10.某质点的位移y(cm)与运动时间x(s)的关系式为y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(−π,π))的图象如图所示，其与y轴交点坐标为(0,− 32)，与直线y=12的相邻三个交点的横坐标依次为π6,7π18,5π6，则( )
A. ω=3
B. φ=−2π3
C. 质点在[1,32]s内的位移图象为单调递减
D. 质点在[0,7π18]s内的平均速率为9(1+ 3)7πcm/s(平均速率=总路程总时间)
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(x)满足f(2+3x)=f(−3x)，g(x−2)的图象关于直线x=2对称，且g(0)=1，则( )
A. f(x)是奇函数B. g(1)=0C. f(x)=f(x+4)D. k=12024g(k2)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1+2x)5的展开式中x3项的系数为 ．
13.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且1+tanCtanA= 2ba，则角C= ______．
14.记min{x,y,z}表示x，y，z中最小的数.设a>0，b>0，则min{a,1b,1a+3b}的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f(x)=2lnx−2(a−1)x−ax2(a>0)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线l的方程；
(2)讨论f(x)的极值．
16.(本小题15分)
把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．
(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；
(2)设恰有X个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2，AB=1．
(1)求证：MN/​/平面BDE；
(2)在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面MNE所成角的正弦值为2 621，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．
18.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是(0,−1)，(0,1)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为−12．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设点T在直线x=2上，过点T的两条直线分别交轨迹C于E，F和P，Q两点，且|TE|⋅|TF|=|TP|⋅|TQ|，求证：kEF+kPQ为定值．
19.(本小题17分)
给定正整数k，m，其中2≤m≤k，如果有限数列{an}同时满足下列两个条件，则称{an}为(k,m)−数列.记(k,m)−数列的项数的最小值为G(k,m)．
条件①：{an}的每一项都属于集合{1,2,3,⋯,k}；
条件②：从集合{1,2,3,⋯,k}中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是{an}的子数列．
注：从{an}中选取第i1项、第i2项、…、第is项(其中i1