2024遂宁射洪中学高二下学期4月月考试题数学含答案

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1．B【详解】对于A选项，，正确.
对于B选项，，不正确.
对于C选项，，正确.
对于D选项，，正确.故B选项结论不正确.故选：B
【点睛】本小题主要考查导数运算，属于基础题.
2．B【详解】由得，所以，
所以故选：B
3．C【详解】由，得或，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.故选：C.
4．B【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B
5．A【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极小值，可得，解得或，
当时，令，解得或；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极大值，不符合题意，舍去；
当时，令，可得或；令，可得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极小值，符合题意，
综上可得，.故选：A.
6．D【详解】解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可得满足的x取值范围为. ，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.
7．D【详解】，
设 ，则，
故在上为减函数，故即，
所以，故，故选：D.
8．D【详解】由题意知，在时有唯一的正整数解.
设（），则，
又，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以要满足在时有唯一的正整数解，
则只需要，
又，，所以.故选：D.
9．ACD【详解】选项A. ,所以选项A不正确.
选项B. ,所以选项B正确.
选项C. ,所以选项C不正确.
选项D. ,所以选项D不正确. 故选：ACD
10．ABC【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点，
当时，，
时，，函数单调递减，无极值点，
当时，令，得，解得，
当，解得或，上单调递增，
当，解得，上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
所以当时，函数有两个极值点，故正确；
对于B，若，则，则，则，，
所以函数在处的切线方程为，即，故正确；
对于C，因为，
当时，由，得，则，
所以为定值，故C正确；
对于D，当时，则，则，
令，解得或，
所以当时，，
，，
上的值域是，故错误.故选：ABC.
11．BD【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.故选：BD.
12．AD【详解】因为的定义域为R，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
的定义域为，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
如图：
易知，且，
因为，所以，
因为，在上为增函数，所以，即，
同理，即，所以，
又，所以，故A正确，B错误；
又，
故D正确，C错误；故选：AD.
13．【详解】由，求导得，则，由，求导得，
所以.故答案为：
14．/或
【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减，
所以不等式≤0的解集为.故答案为：.
15．【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.故答案为：
16．【详解】由，不妨设，则，
所以，可变形化简为，
构造函数，则，
所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
又时，，而，所以，
所以，所以的取值范围为.故答案为：.
17．(1)的递增区间为，无递减区间；
(2)的递减区间为，无递增区间.
【详解】（1）由在定义域上恒成立，故的递增区间为，无递减区间；
（2）由在上恒成立，故的递减区间为，无递增区间.
18．(1) (2)
【详解】（1）因为函数，所以；
（2）因为，
所以函数在处的切线方程为，即.
19．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，综上所述：的取值范围为.
20．(1) (2)
【详解】（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
21．(1) (2)答案见解析
【详解】（1）由题意知，，，
则，，所以.
所以栈道总长度为
（2）建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时， ，当时， ，
则在单调递减，在单调递增，
故，此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
22．(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
又函数的图象在处的切线经过点，
所以，解得，
所以，函数的定义域为，又，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时恒成立，即恒成立，
所以在，上单调递增.
即的单调递增区间为，，无单调递减区间.
（2）因为不等式在区间上恒成立，
因为，则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
又，所以，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由（1）可知在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即区间上恒成立，
所以时在区间上恒成立，
即对任意关于的不等式在区间上恒成立.