冀教版八年级数学下册第二十一章《一次函数》（同步教学设计）

这是一份冀教版八年级数学下册第二十一章《一次函数》（同步教学设计），共67页。
0第二十一章 一次函数章 节 备 课21.1 一次函数第1课时21.1 一次函数第2课时21.2 一次函数的图像和性质第1课时21.2 一次函数的图像和性质第2课时21.3 用待定系数法确定一次函数表达式21.4 一次函数的应用第1课时21.4 一次函数的应用第2课时21.5 一次函数与二元一次方程的关系回顾与反思第二十一章本章所需课时数9课时课标要求1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式.2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.3.能画出一次函数的图像.根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k0时，y的值随x的值的增大而增大；当k0时，点（0，b）在x轴上方；当b0时，y的值随x的值的增大而增大.解2k-1>0,得.(2)当2k+1=0时，即时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点.(3)当2k+14500即可,解得x>150.【一起探究】如图21-4-1，某种称量体重的台秤，最大称量是150kg.称重时，体重x（kg）与指针按顺时针方向转过的角y（°）有如下一些对应数值：（1）请你在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图像.（2）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。（3）当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？【师生互动】老师：画函数图像的一般步骤有哪些？学生：列表、描点、连线.老师：好，同学们自己按照课本上提供的数据画一画.老师：好了，大家看一下老师画的图像，图像是一个什么形状啊？学生：是一条直线.老师：很好，再仔细看一下，这条直线过原点吗？学生：经过原点.老师：很对，这是我们学过的什么函数的图像啊？学生：正比例函数.老师：那我们设出它的函数表达式，代入一组数值求出它的函数表达式，然后小组内讨论一下，求出的函数表达式是不是一样的？老师：好了，大家都做完了吧，老师求出来的函数表达式是，是不是这样的啊？学生：还需要标准自变量的范围.老师：啊，你们真聪明，自变量的取值范围是多少呢？学生：0≤x≤150.老师：当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？学生：……老师：当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？学生：……由这些对应值画出的函数图像，如图21-4-2所示.由表格给出的数据可以看出，体重为0 kg时，台秤指针指向0"，每增加5 kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°，所以y是x的正比例.根据条件可得.当y=180时，，解得x=75.当x=50时，.即当体重为75 kg时，台秤的指针恰好转到180°的位置；当体重为50 kg时，台秤的指针转过的角度是120°.3.随堂训练，巩固新知1.某水库在春季播种前，向下游灌溉区开闸放水.放水量V（m3）与放水时间t(min)之间有如下对应数据：(1)求放水量V(m3)与放水时间t(min)之间的函数关系式.(2)求放水24 h的放水量.【解题思路】（1）题目中有没有明确说V与t是什么函数关系？（2）如何找出V与t之间的函数关系？（3）求放水24 h的放水量，如何求？2.某出版社出版了一种适合中学生阅读的科普书.当该书首次出版的印数不少于5千册时，该出版社投入的成本y(万元)与印数x(千册)之间为一次函数关系，并有下表中的对应值:(1)求y(万元)与x(千册)之间的函数关系式.(2)当出版社投入成本4.1万元时，能印该书多少千册？【解题思路】（1）题目中有没有明确说y与x是什么函数关系？（2）如何求y与x之间的函数关系式？（3）当出版社投入成本4.1万元时，求能印该书多少千册，如何求？4.布置作业1.课本P101习题A组第1，2，3题.2.课本P101习题B组.根据前面学习的一次函数的知识给出题目，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数的应用.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上.首先应让学生就所述情境涉及的数量及数量关系作深入分析，然后再去完成“试着做做”中提出的问题.函数是刻画两个变量之间的对应关系的，这是现实中极为普遍的一种数量关系的抽象，因而有着广泛的应用.应用一次函数解决实际问题的基本过程是:(1)根据问题情境的数量关系建立相应的一次函数表达式；(2)利用一次函数的相关性质解决需要解决的问题.显然完成(1)是最为关键的一步.而要得到一次函数的表达式，可通过直接列式，也可以借助待定系数法.“一次函数的应用”这节课的教学重点，就是要使学生把握如何地落实好以上两个过程.“一起探究”重要的是，感悟到体重与指针转过的角度具有函数关系，且由“匀速”变化，推测出具有一次函数关系.一次函数是对于自变量为“匀速”变化的函数，其反映的实际问题不仅大量存在，并且和我们的生活与生产密切相关，这决定了一次函数有着广泛的应用.当有了函数的表达式之后，要求某一函数值对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程;要求函数值大于(或小于)某确定的值时自变量的取值范围，就是解这些函数值所对应的自变量的不等式.在学习本节内容与解决方法的基础上，应引导学生体会函数、方程、不等式之间的关系.在许多情况下，函数反映的是某个过程中两个变量之间的对应关系，而方程反映的是这个过程中某一特定值(即刻)之间的对应；不等式反映的是这个过程中某一段落(区间)两个量之间的对应.解答一次函数的应用问题时，当写表达式时，首先需要关注的是“匀速”变化这个点.解答实际情景函数图象的信息（1）根据题意先求出表达式.（2）结合函数图像，转化为数学问题.（3）利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”.（4）解决问题，检验结果.一次函数表达式确定后，由自变量的值求其对应的函数值，就是“求代数式的值”;由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程.板书设计21.4 一次函数的应用解答实际情景函数图象的信息1.根据题意先求出表达式.2.结合函数图像，转化为数学问题.3.利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”.4.解决问题，检验结果.督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.课题一次函数的应用课型新授课教学内容教材第102-105页的内容教学目标1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式.2.学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系.3.在同一个问题情境中出现两个一次函数时，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题.教学重难点教学重点：在同一个问题情境中出现两个一次函数时，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题.教学难点：学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题秤是我国传统的计重工具．为了方便了人们的生活．如图，我们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据．在如表x,y的数据中，发现有一对数据（x,y）记录错误．当y为7斤时，对应的水平距离为 .【师生互动】老师：y与x之间是什么函数关系？题目中说了吗？学生：说了，是一次函数关系.老师：一次函数关系有什么特点呢？回忆一下我们上节课学过的.学生：是“匀速”变化的.老师：很好，根据这个思路，自己找一找，哪一对数据是记录错误的？学生：（4,2.00）是错误的.老师：要想知道当y为7斤时，对应的水平距离，我们需要先求什么？学生：先求函数表达式.老师：如何求函数表达式呢？学生：找出两个点，用待定系数法求解.老师：很对，求出函数表达式后，再结合“方程”的思路，我们就能把这个题目解决了.自己试着做一做吧.老师：这是一个一次函数的实际问题.对于在同一个问题情境中出现两个一次函数的实际问题，我们应该如何处理呢？我们这节课一起来研究一下吧.2.类比探究，学习新知【例题讲解】例 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶，出发3 h后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为 25 km/h.(1)设甲离开出发地的时间为x(h)，求：①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.(2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图像，并结合实际问题，解释两图像交点的意义.【师生互动】老师：本题是行程问题，行程问题中的数量关系大家还记的吗？学生：速度×时间=路程.老师：自变量x代表的是什么？学生：甲离开出发地的时间.老师：甲的速度是多少？学生：10 km/h.老师：甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式怎么写？学生：y=10x.老师：乙的速度是多少？学生：25 km/h.老师：乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式怎么写？学生1：y=25x.学生2：y=25（x-3）.老师：怎么不一样啊？x-3表示的什么？为什么不是x？同学们讨论一下吧.老师：甲出发3小时后，乙才出发，所以是x-3，对不对？学生：对.老师：两个图像的交点表示什么意思呢？大家讨论一下.【规范解答】解：(1)由公式s=vt，得①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x.自变量x的取值范围为x≥0.②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3)，即y=25x-75.自变量x的取值范围为x≥3.(2)以上两个函数的图像如图21-4-3所示.两个函数图像的交点坐标是(5，50)，即甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲).此时，两人距离出发地50 km.【大家谈谈】对于上例中甲、乙行驶的情况，你能借助图21-4-3解释“乙出发多少小时后可以超过甲”这一问题吗？还有其他方法解答这个问题吗？【师生互动】老师：“乙超过甲”表示什么意思？老师：观察画出的两个一次函数图像，以交点为界，交点对应的横坐标前面的时间，谁在前面？交点后面呢？老师：两图像的上下关系与25（x-3）=10x，25（x-3）>10x，25（x-3）2000x+40000，解得x>40.即当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算.③由3000x10(z+3)来解决这个问题，其中z表示乙离开出发地的时间.应让学生自己先思考如何解决这个问题，确定解决方案，然后再阅读小亮与小丽的做法.关于“一起探究”的教学,应当从如下两个方面展开并使认识强化:(1)用数学解决现实问题，很重要的一项任务就是求得某个过程的优化方案，“一起探究"所给出的就是这样一个问题情境.而优化方案的获得，多是以“比较”为基础或手段的.教学应从这一基本认识开始，并使这一认识得到强化.(2)数学中的“比较”，主要有两条途径，一是通过数量相减比大小,a-b>0,a-b=0，a-bb,a=b,a25x+150000,x>10000.至少生产并销售10000件以上.2.(1)甲行驶了4.5小时到达B地，乙行驶了6小时到达A地.(2)甲：s=8t.乙：s=-6t+36.（3）交点.甲、乙两人在出发h的时候，在离A地km处相遇.板书设计21.4 一次函数的应用有些一元一次方程和一元一次不等式问题，可以借助一次函数来考虑.借助一次函数的图像，往往能够使方程和不等式的意义更加直观和形象.督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.课题一次函数与二元一次方程的关系课型新授课教学内容教材第106-109页的内容教学目标1.体会一次函数与二元一次方程的关系.2.感悟数学知识之间的内在联系.3.认识到通过建立两个变量的一次等式（即二元一次方程），就可得到它们之间的一次函数关系.教学重难点教学重点：体会一次函数与二元一次方程的关系.教学难点：应用一次函数与二元一次方程的关系解决问题.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题老师：我们一起回忆一下二元一次方程的内容，解答下面的题目.1.若mx-4y=3x-7是二元一次方程，则m满足的条件是（ ）A.m≠-2 B.m≠0 C.m≠-1 D.m≠3老师：我们回忆一下，什么样的方程是二元一次方程呢？老师：若mx-4y=3x-7是二元一次方程，需要满足什么条件？2.下面四组数值中，哪组是二元一次方程x+2y=5的解（ ）A. B. C. D.老师：什么是二元一次方程的解？老师：如何判断哪组是二元一次方程x+2y=5的解？老师：实际上，一次函数与二元一次方程之间具有密切的联系，用不同的观点进行解释，二者可以互相转化.我们这节课一起来研究一下吧.2.类比探究，学习新知【观察与思考】1.二元一次方程x+y=1有无数组解，如等，都是这个方程的解.如图21-5-1，以这些解为点的坐标，在直角坐标系中描点.你认为这些点在一条直线上吗？如果在一条直线上，它们在哪条直线上？请说明理由.老师：试着把描出的点连一连，是不是都在一条直线上？学生：是的.老师：什么函数的图像是一条直线呢？学生：一次函数.老师：你能求出这个一次函数的表达式吗？学生：利用待定系数法可以求出一次函数的表达式.老师：很好，自己求一求吧.老师：你们求出来的一次函数的表达式是什么？学生：y=-x+1.老师：很对，你们看一下，y=-x+1与x+y=1有什么关系？学生：是同一个等式.老师：好，回答的很对，我们继续看下面一个题目.2.如图21-5-2，在直角坐标系中，设点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(3，-2)，经过点A,B画直线.直线AB上的点C(x0，y0)中，x0，y0之间有怎样的数量关系？是不是方程x+y=1的一组解？请说明理由.老师：直线AB的函数是什么函数？学生：一次函数.老师：直线AB的函数关系式怎么求？学生：设y=kx+b，利用待定系数法求解.老师：很好，试着求一求吧.学生：y=-x+1.老师：直线AB上的点C(x0，y0)中，x0，y0之间有怎样的数量关系？学生：满足y0=-x0+1.老师：是不是方程x+y=1的一组解？为什么？学生：是方程x+y=1的一组解，因为x0+y0=1.【课堂小结】一般地，如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标，在直角坐标系中画点，那么这些点在一条直线上.反过来，如果取定这个方程的两组解，那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线，此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解.因此，以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上.【一起探究】1.一次函数y=kx+b图像上的一个点的坐标是不是二元-次方程kx-y=-b的一组解？请说明理由.老师：y=kx+b经过怎样的变化能得到kx-y=-b？2.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线，是不是一次函数的图像？请说明理由.老师：ax+by=c经过怎样的变化能得到？3.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别？与同学交流你的看法.老师：根据上面两个问题的结论试着自己说一说.【课堂小结】事实上，我们把二元一-次方程ax+by=c变形为后，原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x，y表示未知数时，ax+by=c就是二元一次方程；当x，y表示变量时，就是一次函数.并且，有如下结论:以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上；反过来，一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.【做一做】1.方程2x+3y=5有多少组解？请填写下表，并把每组对应值作为点的坐标，在图21-5-3所示的直角坐标系中描出各点.老师：已知二元一次方程2x+3y=5，当x的值已知时，如何求y的值？老师：方程2x+3y=5有多少组解？老师：如何在直角坐标系中描出已知点？2.在上题直角坐标系中画出函数的图像.老师：画一次函数的图像，最少需要几个点？一般选取哪几个点？3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数的图像上？为什么？3.随堂训练，巩固新知1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图像.老师：如何改写呢？老师：画一次函数的图像，需要注意哪些问题？2.写出二元一次方程2x-y=1的三个解，以方程的解为坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上?老师：二元一次方程2x-y=1的解该如何确定？有多少组？老师：二元一次方程2x-y=1与一次函数y=2x-1有什么关系？4.布置作业1.课本P108习题A组第1，2题.2.课本P108习题B组第1，2题.3.课本P109自己读一读“匀速变化与一次函数”.复习七年级学过的二元一次方程的知识，解答与二元一次方程有关的问题，尤其是二元一次方程的解的问题，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数与二元一次方程的关系.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上.“探究与思考”的目的是引导学生体会:以二元一次方程的所有的解为坐标对应的点集，是坐标系里的一条直线,这条直线是一个一次函数的图像，从形的角度显示一次函数与二元一次方程的统一性.“观察与思考”是通过一个具体的例子来说明:以一个二元一次方程的解(有序数对)为坐标的点,它们的集合恰好是坐标系里的一条直线.为此,引导学生通过画图、观察、操作，获得两个方面的感悟和认同，一是该方程所有的解对应的点，都在同一条直线上;二是该直线上的每一个点的坐标，又恰好是这个二元一次方程的解.这一段所安排的两种活动，正是为实现以上两个方面的感悟和认同而设置的.应该清楚,学生进行以上两个方面的操作与验证，都只能是感知性的，带有“猜测”的色彩，即是“合情”思考，而不可能是严密推理性的.“一起探究”的目的是使学生搞清楚：第一，从式的变形角度认识一次函数与二元一次方程的一致性；第二，从图像和解集对应的点集的重合，认识一次函数与二元一次方程的一致性.“一起探究”是要实现对“二元一次方程和一次函数具有等价关系”的确认.前两个问题引导学生感悟二元一次方程解集对应的直线就是相应的一次函数的图像，由此获得第三个问题的答案:两种形式所表达的关系是一致的，只是表达方式与考察视角的不同.“做一做”的目的是让学生通过活动体会:二元一次方程与对应的一次函数，从坐标系里的图形角度看，是完全一致的.对于二元一次方程和一次函数的关系,可以从三个角度来看:函数角度:在关于x和y的二元一次方程ax+by=c(a,b均不为0)中,对于x的每一个值，都有y的唯一确定的值与之对应，可知变量y是变量x的函数.可见，二元一次方程实际上是确定了两个未知量(变量)间的一种函数关系.方程角度:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),可变形为二元一次方程的标准形式y-kx=b,一般地，一次函数，可以变形为ax+by=c(a,b均不为0).由此看来,二元一次方程与一次函数完全是等价的.图形角度:从对应的“形”来看，以满足二元一次方程ax+by=c的有序数对(解)为坐标的点集,恰好是一次函数的图像.板书设计21.5 一次函数与二元一次方程的关系一般地，如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标，在直角坐标系中画点，那么这些点在一条直线上.反过来，如果取定这个方程的两组解，那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线，此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解.因此，以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上.以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上；反过来，一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.课题回顾与反思课型新授课教学内容教材第110-114页的内容教学目标1.通过对本章知识的回顾与梳理,进步感受一次函数这一数学模型既是源于实际，又是解决现实与数学中众多问题的基本工具.2.通过对一次函数的概念及其图像关系的再认识,进一步感受“数形结合”的美妙及其应用的广泛性.3.引导学生自主完成对一次函数的概念、性质、表达式的建立及其各种应用的回顾与总结,培养学生的学习能力,提高数学思维品质.教学重难点教学重点：掌握一次函数的图像与性质，会用一次函数解决生活中的实际问题.教学难点：培养学生的学习能力,提高数学思维品质.教 学 过 程备 注1.复习旧知【知识结构】老师：同学们，第二十一章我们已经学完了，我们先来总结一下本章的知识结构.老师：同学们，之前我们学过的概念还记得吗？老师：还记得如何画一次函数的图像吗？最少需要几个点的坐标？老师：还记得如何求一次函数的表达式吗？老师：在用一次函数解决实际问题时，有哪些注意点？如果同一个问题情境中，有两个一次函数图像，你能解释相应的一些实际问题吗？老师：一次函数与相应的二元一次方程有什么关系？根据相应的函数图像，你能解决与之相关的二元一次方程的问题吗？【总结与反思】从现实问题建立一次函数模型是强化“符号意识”的过程，这个过程着重体现了抽象与模型化的思想.一次函数的图像，不仅揭示了一次函数的性质，更重要的是凸显了“数形结合”的思想方法.1.一次函数是一类重要的函数.2.一次丽数y=kx+b的图像是直线，故其图像又称为直线y=kx+b.3.一次函数y=kx+b中的系数k与b决定着它的性质：(1)当k>0时，y随x的增大而增大，图像从左向右是 的.(2)当k