吉林省实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线的倾斜角为,则其方向向量可以为( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆,,为其左右两个焦点,过的直线与椭圆交于AB两点,则的周长为( )
A.B.C.D.
3．已知为等差数列,则下面数列中一定是等差数列的是( )
A.B.C.D.
4．已知三棱锥中,点M为棱OA的中点,点G为的重心,设,,,则向量( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆方程为,P为椭圆上一点,若,r为的内切圆,则( )
A.B.C.D.
6．设O为坐标原点,P是圆上任意一点,,M是线段PA上的点,且,,则直线BM的斜率的最大值为( )
A.B.C.D.
7．已知等比数列的公比为,为其前n项和,且,,则当取得最大值时,对应的n为( )
A.2B.3C.4D.5
8．已知双曲线的左顶点为A,过A的直线l与C的右支交于点B,若线段AB的中点在圆上,且,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.2D.3
二、多项选择题
9．下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列,2,3与数列3,2,是同一个数列
B.数列的通项公式为,则120是该数列的第11项
C.在数列1,,,2,,…中,第8个数是
D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
10．已知椭圆,P为椭圆上一个动点,,为其左右焦点,当垂直于x轴时,,则下列选项正确的有( )
A.
B.的最小值为1
C.当构成三角形时,面积的最大值为
D.当构成三角形时,满足为直角三角形的点P的个数为8个
11．设动直线交圆于A,B两点(C为圆心),则下列说法正确有( )
A.直线l过定点B.当取得最大值时,
C.当最小时,其余弦值D.的取值范围是
12．已知抛物线,F为其焦点,过F的直线与抛物线H交于A,B两点,M为AB中点,过A,B两点分别作准线的垂线交准线于C,D两点,直线倾斜角为,则( )
A.若,则
B.A,O,D三点共线
C.的最小值为
D.过A,B两点分别作抛物线H的切线交于N点,则轴
三、填空题
13．若为等比数列,4和16为其中的两项,则4和16的等比中项为______.
14．已知双曲线,焦点到渐近线距离为3,则其渐近线方程为___________.
15．已知为等差数列的前n项和,d为其公差,且,给出以下命题:
①;
②;
③使得取得最大值时的n为8;
④满足成立的最大n值为17
其中正确命题的序号为___________.
16．已知数列的前n项和为,且,,,则________;若数列的前n项和为,且,,则________．
四、解答题
17．已知圆C经过和两点，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）从点向圆C作切线，求切线方程.
18．已知是公差不为零的等差数列,,且,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列前n项和.
19．如图,在四棱柱中,底面ABCD是等腰梯形,,,M是线段AB的中点.
（1）求证:平面:
（2）若,且,,记G为的重心,求二面角的平面角的余弦值.
20．已知双曲线,其中离心率为,且过点,求
（1）双曲线C的标准方程;
（2）若直线l与双曲线C交于不同的两点M,N,且,证明:为定值.
21．设数列满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）令,求数列的前项和.
22．已知抛物线的焦点为F,点在抛物线上,且满足,其中O为坐标原点．
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）直线l与抛物线C相交于M,N两点,以MN为直径的圆过点,作,D为垂足．是否存在定点Q,使得为定值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由．
参考答案
1．答案：D
解析：由题设,直线斜率为,则是直线的一个方向向量.
故选:D
2．答案：C
解析：由题意,,而,
故的周长为.
故选:C
3．答案：B
解析：若等差数列通项公式为,此时,,,,
不为常数,所以不是等差数列;
不为常数,所以不是等差数列,
为常数,所以是等差数列,
不为常数,所以不是等差数列.
故选:B
4．答案：A
解析：由题意知,,
则,
故选：A.
5．答案：B
解析：由椭圆定义及圆切线性质知:.
故选:B
6．答案：C
解析：令,,,又,则,
所以,可得,,
故M轨迹方程为,即圆心为,半径为的圆,
令直线,要使直线BM的斜率最大,只需直线与圆相切且,
所以最大斜率.
故选:C
7．答案：B
解析：由题设,,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
所以当取得最大值时,对应的n为3.
故选:B
8．答案：A
解析：设线段AB的中点为,双曲线的右顶点为D,左右焦点为,,连接DE,DB,
因为线段AB的中点在圆上,所以,
所以,所以,
因为,所以,
在中,由余弦定理得,
因为,所以,
所以,过B作轴于F,则,,
所以,
所以,得,
所以,,所以,
所以离心率,
故选:A
9．答案：CD
解析：A:由,2,3为递增数列,而3,2,为递减数列,显然不是同一数列,错;
B:令,则,显然11不是方程的解,错;
C:由数列1,,,2,,…可改写为,,,,,…,
即数列通项为,所以第8个数是,对;
D:数列3,5,9,17,33,…可改写为,,,,,…,
所以一个通项公式为,对.
故选:CD
10．答案：ACD
解析：由椭圆方程可知,,,
当垂直于x轴时,,则,
由勾股定理得,即,解得,,
则,,A选项正确;
的最小值为,B选项错误;
当构成三角形时,当P为上顶点或下顶点时,面积最大,为,C选项正确;
当构成三角形时,若直角顶点为或时,满足为直角三角形的点P有4个,
若直角顶点为点P时,由,以为直径的圆与椭圆有4个交点,点P有4个,
所以满足为直角三角形的点P的个数为8个,D选项正确.
故选:ACD
11．答案：AD
解析：对于A,由,得,
由,得,,
所以直线过定点,故A正确;
对于B,由可知,圆心,半径,
当直线经过圆心时,取得最大值,
所以,解得,故B不正确;
对于C,显然点P在圆C内,设圆心到直线l的距离为d,则,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以,
所以,
因为在单调递减,在内,所以当最小时,
最大,最小,
因为的最小值为2,所以此时,故C不正确;
对于D,因为,
由B知,,所以,即的取值范围是,故D正确.
故选:AD
12．答案：BD
解析：令,则,,如下图,
所以,,则,故,则,
根据抛物线对称性知:也满足,则,A错;
设,,且,则,故,,
由题意,令直线,联立抛物线得,
所以,故,即A,O,D三点共线,B对;
则,
当且仅当,或,时等号成立,C错;
令过A的切线为,将代入得,
所以有两个相等的根,
则,故,所以切线为,则①,
同理可得,过B的切线为,则②,
联立①②,,可得,则,
即点纵坐标为,又M为AB中点,即M点纵坐标为,故轴,D对.
故选:BD
13．答案：
解析：令4和16的等比中项为x,则.
故答案为:
14．答案：
解析：双曲线,(,),其焦点到渐近线的距离为,
,又,所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为:.
15．答案：①③
解析：由,即存在最大值,故,①③对;
则,即,
可得,故,且,②错;
令,则且,即,而,
所以,故,即满足成立的最大n值为15,④错.
故答案为:①③
16．答案：,2143
解析：因为,,
所以,解得,
当时,由,得,
所以,即,
所以,即,
又因为,
所以
所以数列是以首项为,公比为2的等比数列,
所以.
所以,
因为,
所以,解得
当时,,
当时,,
当时,,
所以,,
所以.
故答案为:;2143.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立解得，所以圆心，
又因为半径等于,所以圆C的方程为.
（2）设圆C的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为k，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d(),
因为,且,,成等比数列,
所以,即,
解得(舍去)或,
所以.
（2）由（1）可得,
所以
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,
所以四边形是平行四边形,
,平面,平面,
则平面.
（2）根据题意可得,
,,,
,又,,
平面ABCD,
建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,,
所以,,
令平面GCD的一个法向量为,
则,即,
取,,,则,
取平面的一个法向量,
所以二面角的平面角的余弦值为.
20．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）由题设,可得,故双曲线的标准方程为;
（2）由题设及双曲线渐近线,令直线且,则直线,
则,可得,即,故,
所以,
同理可得,故,所以,
所以为定值.
21．答案：（1）,;
（2）,.
解析：（1）由已知,当时,
,
当时,符合上式,
,.
（2）由（1）知,
①
②
①-②得
所以,,.
22．答案：（1）
（2）存在,且点Q的坐标为
解析：（1）抛物线C的准线方程为,由抛物线的定义可得,
将点A的坐标代入抛物线方程可得,
所以,,
所以,,因为,解得,
因此,抛物线C的标准方程为.
（2）若直线轴,则直线MN与抛物线C只有一个公共点,不合乎题意,
设直线MN的方程为,设点,,
联立可得,,则,
由韦达定理可得,,
,,
因为以为直径的圆过点,则,
所以,,
显然且,所以,,
即,即,可得,
所以,直线的方程为,
由可得,,所以,直线过定点,
所以,,
因为,当点Q为线段PE的中点时,即当点Q的坐标为时,
为定值.
因此,存在定点Q,且当点Q的坐标为时,为定值.