临湘市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份临湘市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2．经过，两点的直线的方向向量为，则( )
A.1B.2C.D.
3．已知双曲线（）的离心率是则( )
A.B.4C.2D.
4．若直线将圆分成了面积相等的两部分，则( )
A.B.C.1D.
5．已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( )
A.7B.6C.5D.4
6．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，若一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则拱顶到水面的距离至少为( )
A.3米B.4米C.5米D.3.5米
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
10．方程表示曲线C，给出以下命题是真命题的有( )
A.曲线C可能为圆
B.若曲线C为双曲线，则或
C.若曲线C为椭圆，则
D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则
11．如图所示，已知几何体是正方体，则( )
A.平面B.平面
C.异面直线与所成的角为60°D.
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是( )
A.点P的轨迹方程是
B.直线是“最远距离直线”.
C.平面上有一点，则的最小值为3.
D.点P的轨迹与圆C：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
三、填空题
13．已知点，到直线的距离相等，则实数a的值为_______.
14．若圆关于直线对称的圆的方程是，则________.
15．如图，在平行六面体中，，，，则的长为______.
16．已知点P为椭圆上一点，直线，则点P到直线l的最短距离为_________.
四、解答题
17．已知的三个顶点分别是，，，求的面积.
18．已知圆C经过和两点，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）从点向圆C作切线，求切线方程.
19．在四棱锥中，，，，，，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20．已知，是椭圆两个焦点，且.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点P在椭圆上，且，求的面积.
21．（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程;
（2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程;
（3）点与定点，的距离和M到定直线的距离的比是常数（），求动点M的轨迹方程.
22．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于P，证明：P在定直线上.
参考答案
1．答案：A
解析：抛物线的标准式为，
其焦点在y上，坐标为.
故选：A.
2．答案：B
解析：经过，两点的直线的方向向量为，
所以，解得，
故选：B.
3．答案：D
解析：双曲线的离心率，，
，
解得，
故选D.
4．答案：A
解析：若直线将圆分成了面积相等的两部分,
则直线必过圆心，又圆的圆心为，
，
解得.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点M在C上，
所以M到准线的距离为，
又M到直线的距离为5，
所以，故.
故选：D.
6．答案：B
解析：记，，，
由题知，，
所以，
又，，
所以，
，，
所以，，
所以直线AM和CN夹角的余弦值为.
故选：B.
7．答案：B
解析：根据题意，如图：设圆O的半径为R，
已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，设此时的水面为，M为的中点，
则，依题意一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则，且，
所以，解得，，所以拱顶到水面的距离为米；
故选：B.
8．答案：B
解析：因为，所以A，B，三点共线，
又，所以为直角三角形，
记，则，
由双曲线定义和对称性可得，，，
则有，即，
解得或（舍去）.
记，则，
在中，由余弦定理得，
整理得，得.
故选：B.
9．答案：BC
解析：依题意构成空间的一个基底，
A选项，由于，所以，，共面.
B选项，由于不存在实数x，y使，所以，，不共面，B选项正确.
C选项，，由于不存在实数x，y使，所以，，不共面，C选项正确.
D选项，由于，所以，，共面.
故选：BC.
10．答案：AB
解析：当，即时，方程为，为圆，A正确
当，即或时，方程为双曲型，B正确；
当，即且时，方程为椭圆，C错误；
当，即时，方程为焦点在x轴上的椭圆，D错误；
故选：AB.
11．答案：BC
解析：根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，
所以与所成角为，所以与所成角为，
所以A选项错误，C选项正确.
根据正方体的性质可知平面平面，
由于平面，所以平面，B选项正确.
根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，
所以与所成角为，所以与所成角为，所以D选项错误.
故选：BC.
12．答案：BCD
解析：设点P为，点P到l的距离为d，
因为动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，
则，化简得，故A错误；
联立直线和椭圆方程，可得：，
故存在，直线是“最远距离直线”，B正确；
由可知，,
当点P与点A纵坐标相等时，最小距离为：，C正确；
圆C：化简得：，显然圆C在椭圆内，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：或
解析：因为点，到直线的距离相等，
所以，
解得或，
故答案为：或.
14．答案：2
解析：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，的中点为，
因为两圆关于直线对称，
所以，解得.
故答案为：2.
15．答案：2
解析：，
又因为，，，
.
故答案为：2.
16．答案：
解析：点P为椭圆上一点，设，，
则点P到直线l的距离为，
，
，
，
点P到直线l的最短距离为.
故答案为：.
17．答案：5
解析：，
边所在直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，
因此，.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立解得，所以圆心，
又因为半径等于,所以圆C的方程为.
（2）设圆C的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为k，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面，平面，
，
在中，，
在中，，
，又，都是锐角，
，即，
又，，面，
平面.
（2）取，
由（1）知平面，
为与平面所成角，
在中，，
，解得，
，
，
，
，
，
与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）此椭圆的方程为
（2）的面积为
解析：（1）因为，是椭圆两个焦点，
所以，①
又因为，②
所以由①②可得，，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，，，
由椭圆定义可知，③
在中，由余弦定理得，即，④
由③④式可得，，
所以.
即的面积为.
21．答案：（1）
（2）
（3），
解析：（1）由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为.
（2）由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为.
（3）由已知得，
整理得，，即动点M的轨迹方程为，.
22．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设双曲线C的方程为(，)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
所以双曲线C的方程为.
(2)解法一：设，，直线MN的方程为，
则，.
联立得，得.
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以，且.
由根与系数的关系得，所以.
因为，分别为双曲线C的左、右顶点，
所以，.
直线的方程为，直线的方程为，
所以，得，.
因为
，
所以，解得，
所以点P在定直线上.
解法二：由题意得，.
设，，直线MN的方程为，
则，即.
如图，连接，
①.
由，得，，
，.
由，得，，.
，，
两边同时除以，得，
即.
，，
由根与系数的关系得②.
由①②可得.
，.
由，解得.
所以点P在定直线.