备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（四）

这是一份备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（四），共11页。试卷主要包含了记复数的一个构造等内容，欢迎下载使用。
1．（13分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，且．
（1）求；
（2）求的内切圆半径的取值范围．
2．（15分）如图，在四棱柱中，二面角，均为直二面角．
（1）求证：平面；
（2）若，，二面角的正弦值为，求的值．
3．（15分）记复数的一个构造：从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部．重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为．
已知复数具有运算性质：，其中，，，．
（1）当时，记的取值为，求的分布列；
（2）当时，求满足的概率；
（3）求的概率．
4．（17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点，处的二阶导数等于，则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）求曲线的曲率半径的最小值；
（3）若曲线在 和处有相同的曲率半径，求证：．
5．（17分）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线交于，两点在第一象限）．
（1）当时，求直线的方程；
（2）若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点，，，
（ⅰ）证明：的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
（ⅱ）求凸四边形的面积的取值范围．
备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（四）（新结构）
解答题（共5小题，满分77分）
1．（13分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，且．
（1）求；
（2）求的内切圆半径的取值范围．
【答案】（1）3；（2）
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，
所以，
由可知，，
所以，故；
（2）因为的内切圆半径为，
所以，
即，又因为，所以，
所以，
由正弦定理
，
又，则，
所以，故，
所以．
2．（15分）如图，在四棱柱中，二面角，均为直二面角．
（1）求证：平面；
（2）若，，二面角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在平面内取一点，过点作直线，
因为二面角为直二面角，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理，过点作直线，
因为二面角为直二面角，
所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，不平行，所以，不重合，又，，平面，
所以平面．
（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，则，1，，，0，，，0，，，1，，
所以，，0，，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，
取，则，，所以，2，，
设平面的法向量为，，，则，
取，则，，所以，，，
因为二面角的正弦值为，
所以，，
即，解得，
故．
3．（15分）记复数的一个构造：从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部．重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为．
已知复数具有运算性质：，其中，，，．
（1）当时，记的取值为，求的分布列；
（2）当时，求满足的概率；
（3）求的概率．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）由题意可知，可构成的复数为，
由复数模长的定义可知，，，，
所以的可能取值为，
由古典概型的概率公式可得：，
，，
所以的分布列为：
（2）当时，共有种，满足的情况有：
①3个复数的模长均为1，共有种，
②3个复数中，2个模长均为1，1个模长为或者2，共有种，
所以；
（3）当或2时，显然都满足，此时，
当时，满足共有三种情况：
①个复数的模长均为1，则共有种情况，
②个复数的模长为1，剩余1个模长为或者2，则共有种情况，
③个复数的模长为1，剩余2个模长为或者2，则共有种情况，
故，
此时当，2均成立，
所以．
4．（17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点，处的二阶导数等于，则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）求曲线的曲率半径的最小值；
（3）若曲线在 和处有相同的曲率半径，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由题意得，，
设，则，，，
所以，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为．
（2），，，
设点，，
所以，
联立解得，
所以，其中，
所以，
所以．
（3）证明：由题得，
所以，
设，则，
所以，
整理得，
所以，
设，则，
所以，得证．
5．（17分）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线交于，两点在第一象限）．
（1）当时，求直线的方程；
（2）若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点，，，
（ⅰ）证明：的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
（ⅱ）求凸四边形的面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析，定值为0；（ⅱ）
【详解】（1）解：设直线，，，，，
联立，消去得，
所以，，
，则
，则，
又由题意，则，
直线的方程是；
（2）（ⅰ）证明：设，，，，，，
因为，，，四点共圆，设该圆的方程为，
联立，消去得，
即，
所以，，即为关于的方程的3个根，
则，
因为，
由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0；
解：记，的面积分别为，，由已知得直线的斜率不为0，
设直线，
联立，消去得，
所以，，
所以，
由得，，
所以，即，，
因为，
点到直线的距离，
所以，
所以，
在第一象限，即，，，
依次连接，，，构成凸四边形，所以，即，
又因为，即，即，
所以，即，即，
所以，
设，则，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增，
所以，
所以的取值范围为．
1
2
3
4