备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（五）

这是一份备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（五），共10页。试卷主要包含了已知某种机器的电源电压（单位，已知函数，，，对于任意的、，恒有等内容，欢迎下载使用。
1．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的值．
2．（15分）已知某种机器的电源电压（单位：服从正态分布，．其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值．
附：若取，．
3．（15分）已知函数，．
（1）当时，求函数在，上的值域；
（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围．
4．（17分）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．
（1）求的方程；
（2）为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点，．
①证明：直线，，的斜率成等差数列；
②经过，，三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
5．（17分）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有．定义：已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，，，，即，，，，请根据上述信息解决以下几个问题：
（1）求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
（2）①求有序数组2、5、3、4的波动距离，5，3，；
②求证：若、、、且，则，，，，，，；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）．设两两不相等的四个实数、、、，，，，求有序数组、、、的波动距离，，，的最大值．
备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（五）（新结构）
解答题（共5小题，满分77分）
1．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）1或3
【详解】（1）
，
又，
则；
（2）由于，
则，
又的面积为，
则，则，
由余弦定理可得，，
则，则，
故，或，，
综上，的值为1或3．
2．（15分）已知某种机器的电源电压（单位：服从正态分布，．其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值．
附：若取，．
【答案】（1）0.09；（2）当时，，所以最大，因此当时，最大
【详解】（1）记电压“不超过”、“在之间”、“超过”分别为事件，，，
“该机器生产的零件为不合格品”为事件．
因为，，所以，
（B），
，
所以（D）（A）（B）（C），
该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取件，设不合格品件数为，则，
所以，
由，
解得，所以当时，；
当时，，所以最大，因此当时，最大．
3．（15分）已知函数，．
（1）当时，求函数在，上的值域；
（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）当时，，所以，
令，则，
所以，又，
所以在，上的值域为．
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易求，因为，所以．
①当，时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为在上有两个零点，
所以，所以．
因为，，
令，
所以在上，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点．
综上，实数的取值范围是．
4．（17分）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．
（1）求的方程；
（2）为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点，．
①证明：直线，，的斜率成等差数列；
②经过，，三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）由右焦点为，得，
因为，所以，
若，则，得无解，
若，则，得，所以，
因此的方程为：；
（2）设，易知过且与相切的直线斜率存在，设为，
联立，整理可得：，
由△，
得，
设两条切线，的斜率分别为，，
且，，
①证明：设的斜率为，则，
因为，
即证得：，，的斜率成等差数列；
②要使，即或，
在中，令，得，
故，
同理可得，
由等面积法得，
即，
整理得，即，
整理得，
所以，
整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合题意的点，使得，此时．
5．（17分）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有．定义：已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，，，，即，，，，请根据上述信息解决以下几个问题：
（1）求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
（2）①求有序数组2、5、3、4的波动距离，5，3，；
②求证：若、、、且，则，，，，，，；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）．设两两不相等的四个实数、、、，，，，求有序数组、、、的波动距离，，，的最大值．
【答案】（1）函数的最小值为2，此时的取值范围是，；（2）①6；②证明见解析；174
【详解】（1）由三角不等式可知，当且仅当时，
即当时，即当时，等号成立，
由三角不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，
因此，函数的最小值为2，此时的取值范围是，．
（2）①由题中定义可得，5，3，；
②证明：若、、、且，则，，，，，，，
当时，，，，，
，，，，
所以，，，，，，，，
即，，，，，，，
且有，，，，，，，
当，，，取得最大值时，，，或，，，
同理，，或，，，
若，，，则，所以，，，
故，，，
，
当且仅当，，，时，等号成立，
所以，，，为，，，的最大值，
若，，，则，所以，，，
同理可得，，，为，，，的最大值，
综上所述：，，，的最大值为174．
0
单调递减
极小值
单调递增