备战2024届江苏新高考数学选填“8+3+3”结构专项限时训练卷（二）

这是一份备战2024届江苏新高考数学选填“8+3+3”结构专项限时训练卷（二），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则
A．B．C．D．
2．（5分）已知复数满足，则复数
A．2B．C．D．
3．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为
A．B．C．D．
4．等比数列的前项和为，已知，，则
A．B．C．D．
5．（5分）德国天文学家约翰尼斯开普勒根据丹麦天文学家第谷布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长与公转周期有如下关系：，其中为太阳质量，为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
6．设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于，两点，其中在第二象限，则
A．B．C．D．
7．若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是 )
A．，B．
C．D．
8．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是
A．B．C．D．
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是
A．时速在，的数据有40个
B．可以估计该组数据的第70百分位数是65
C．时速在，的数据的频率是0.07
D．可以估计汽车通过该路段的平均时速是
10．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则
A．异面直线与所成角大小为
B．二面角的平面角的余弦值为
C．此八面体一定存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为
11．已知函数为定义在上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2024个不同的交点，，，，，，，则下列叙述中正确的是
A．的图象关于对称B．的图象关于对称
C．D．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知，则 ．
13．已知，，若，则的取值范围是 ．
14．已知内接于单位圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则△的面积最大值为 ．
备战2024届江苏新高考选填“8+3+3”结构专项限时训练卷（二）
（新结构）
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则
A．B．C．D．
【答案】
【详解】集合，集合，
故．
故选：．
2．已知复数满足，则复数
A．2B．C．D．
【答案】
【详解】，
则，
故，．
故选：．
3．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为
A．B．C．D．
【答案】
【详解】在这8个数中任取3个数共有种取法，
能组成勾股定理关系的有，4，，，8，，，12，，共3组，
这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为．
故选：．
4．等比数列的前项和为，已知，，则
A．B．C．D．
【答案】
【详解】设公比为，，
所以，，
所以．
故选：．
5．德国天文学家约翰尼斯开普勒根据丹麦天文学家第谷布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长与公转周期有如下关系：，其中为太阳质量，为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
【答案】
【详解】设火星的椭圆轨道的长半轴长为，水星的长半轴长为，
由题意可得：，
则，
即火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的4倍．
故选：．
6．设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于，两点，其中在第二象限，则
A．B．C．D．
【答案】
【详解】由题意得：圆的圆心为，半径为2，
因为圆于轴切于点，所以，
因为直线交圆于，两点，
所以圆心到直线的距离，
，
的倾斜角为，
，
则．
故选：．
7．若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是 )
A．，B．
C．D．
【答案】
【详解】设，，
则，
即，
所以和同号，
所以，
即，
即，
设，
则，其两根，
结合的定义知，均是正根，
设，
则，则，
设，
因为（1），
应有，
所以（4），
综上所述：．
故选：．
8．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义得：，，
，，
设，
则在△中，由余弦定理得：，
化简得，
即，
则
，
当且仅当，
即时等号成立，
故选：．
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是
A．时速在，的数据有40个
B．可以估计该组数据的第70百分位数是65
C．时速在，的数据的频率是0.07
D．可以估计汽车通过该路段的平均时速是
【答案】
【详解】对于选项，根据频率分布直方图，时速在，的数据的频率为，所以时速在，的数据有 个，所以选项正确；
对于选项，由题意可得，解得，前两个矩形面积之和为0.4，前三个矩形面积之和为0.8，所以第70百分位数一定位于，内，设第70百分位数为，则有，解得，所以选项错误．
对于选项，时速在，的数据的频率为，所以选项错误．
对于选项，可以估计汽车通过该路段的平均时速是，所以选项正确．
故选：．
10．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则
A．异面直线与所成角大小为
B．二面角的平面角的余弦值为
C．此八面体一定存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为
【答案】
【详解】连接、交于点，连接、，因为四边形为正方形，
则，又因为八面体的每个面都是正三角形，
所以、、三点共线，且面，
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于项，，
设异面直线与所成角为，
则，因为，
所以，即异面直线与所成角大小为，故项正确；
对于项，，
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
所以，
又由图知面与所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为，故项错误；
对于项，因为，
所以为此八面体外接球的球心，
即此八面体一定存在外接球，故项正确；
对于项，设内切球的半径为，
则八面体的体积为，
又八面体的体积为，
所以，解得，
所以内切球的表面积为，故项正确．
故选：．
11．已知函数为定义在上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2024个不同的交点，，，，，，，则下列叙述中正确的是
A．的图象关于对称B．的图象关于对称
C．D．
【答案】
【详解】根据题意，函数为定义在上的奇函数，则有，
即，
所以函数的图象关于对称，选项错误，选项正确；
函数，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，
的函数图象也关于对称，
所以与的函数图象的交点关于对称，
不妨设，
则有，
，
所以，选项正确；
，选项错误．
故选：．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知，则 ．
【答案】
【详解】，
．
则，
故答案为：．
13．已知，，若，则的取值范围是 ．
【答案】，
【详解】当时，
，，且，
，
又当且仅当时“”成立；
，
，当且仅当时“”成立；
即；
当时，不妨设，则，满足题意；
当时，
又，
，
，
，
当且仅当、，或、时“”成立；
即；
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
14．已知内接于单位圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则△的面积最大值为 ．
【答案】
【详解】如图，根据题意△为等边三角形（拿破仑三角形），稍后证明，
为等边三角形的外心，，同理，
记，，，
则，
由余弦定理得
，
同理计算可得，
故，即△为等边三角形，
，，
，
，
由余弦定理得，，
，
解得，
．
故答案为：．