江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024届高三下学期数学周周清试卷2

这是一份江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024届高三下学期数学周周清试卷2，共17页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知单位向量，的夹角为120°，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2．复数z满足(1－i)2z＝1＋i，(i为虚数单位)，则|z|＝（ ）
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(,2),2) D．1
3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据中位数相等，则删除的数为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
4．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论)中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝eq \f(2π,\r(,GM))·aEQ \S(\F(3,2))，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
5．关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))，有下列四个说法：
①f(x)的最大值为3
②f(x)的图象可由y＝3sinx的图象平移得到
③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为eq \f(π,2)
④f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
若有且仅有一个说法是错误的，则f(eq \f(π,2))＝（ ）
A．－eq \f(3\r(,3),2) B．－eq \f(3,2) C．eq \f(3,2) D．eq \f(3\r(,3),2)
6．设O为坐标原点，圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝4与x轴切于点A，直线x－eq \r(,3)y＋2eq \r(,3)＝0圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则eq \\ac(\S\UP7(→),OA)·eq \\ac(\S\UP7(→),BC)＝（ ）
A． eq \f(\r(,15),4) B．eq \f(3\r(,5),4) C．eq \f(\r(,15),2) D．eq \f(3\r(,5),2)
7．若，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
8．用min{x，y}表示x，y中的最小数．已知函数f(x)＝eq \f(x,e\s(x))，则min{f(x)，f(x＋ln2)}的最大值为（ ）
A．eq \f(2,e\s(2)) B．eq \f(1,e) C．eq \f(ln2,2) D．ln2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则（ ）
A．y＞x B．x＋y＞1 C．xy＜eq \f(1,4) D．eq \r(,x)＋eq \r(,y)＜eq \r(,2)
10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
11．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过F的直线l1交E于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，E在B处的切线为l2，过A作与l2平行的直线l3，交E于另一点C(x3，y3)，记l3与y轴的交点为D，则（ ）
A．y1y2＝1 B．x1＋x3＝3x2
C．AF＝DF D．△ABC面积的最小值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在(x－eq \f(1,x\s(2)))6的展开式中，常数项为 ．
13．设双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ▲ ．
14．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sinα－sinβ＝－eq \f(1,2)，csα－csβ＝eq \f(1,2)，则tanα＋tanβ＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求b的值．
16．(本小题满分15分)
甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表：
（1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望.
附：，.
17．(本小题满分15分)
如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A＝D1D＝eq \r(,17)，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上．
(1)若BQ＝3QC，证明：PQ∥平面ABB1A1；
(2)若二面角P－QD－C的正弦值为eq \f(5\r(,26),26)，求BQ的长．
18．(本小题满分17分)
已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，202)．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
19．(本小题满分17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
参考答案
1. 已知单位向量，的夹角为120°，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的运算律整理式子，结合数量积的定义，可得答案.
【详解】.
故选：A.
2．复数z满足(1－i)2z＝1＋i，(i为虚数单位)，则|z|＝
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(,2),2) D．1
3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据中位数相等，则删除的数为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用中位数的定义求解即得.
【详解】依题意，新数据组有6个数，其中位数是，
显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.
故选：B
4．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论)中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝eq \f(2π,\r(,GM))·aEQ \S(\F(3,2))，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（B）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
5．关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))，有下列四个说法：
①f(x)的最大值为3
②f(x)的图象可由y＝3sinx的图象平移得到
③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为eq \f(π,2)
④f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
若有且仅有一个说法是错误的，则f(eq \f(π,2))＝（D）
A．－eq \f(3\r(,3),2) B．－eq \f(3,2) C．eq \f(3,2) D．eq \f(3\r(,3),2)
6．设O为坐标原点，圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝4与x轴切于点A，直线x－eq \r(,3)y＋2eq \r(,3)＝0圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则eq \\ac(\S\UP7(→),OA)·eq \\ac(\S\UP7(→),BC)＝（D）
A． eq \f(\r(,15),4) B．eq \f(3\r(,5),4) C．eq \f(\r(,15),2) D．eq \f(3\r(,5),2)
7．若，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比中项，结合三角恒等变换求解即得.
【详解】由，，成等比数列，得，
即，
，所以.
故选：B
8．用min{x，y}表示x，y中的最小数．已知函数f(x)＝eq \f(x,e\s(x))，则min{f(x)，f(x＋ln2)}的最大值为（C）
A．eq \f(2,e\s(2)) B．eq \f(1,e) C．eq \f(ln2,2) D．ln2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则（ACD）
A．y＞x B．x＋y＞1 C．xy＜eq \f(1,4) D．eq \r(,x)＋eq \r(,y)＜eq \r(,2)
10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.
【详解】对B，，B正确；
对A，，，A错误；
对C，，，C正确；
对D，
，D正确.
故选：BCD.
11．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过F的直线l1交E于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，E在B处的切线为l2，过A作与l2平行的直线l3，交E于另一点C(x3，y3)，记l3与y轴的交点为D，则（ACD）
A．y1y2＝1 B．x1＋x3＝3x2
C．AF＝DF D．△ABC面积的最小值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在(x－eq \f(1,x\s(2)))6的展开式中，常数项为 15 ．
13．设双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ▲ ．
14．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sinα－sinβ＝－eq \f(1,2)，csα－csβ＝eq \f(1,2)，则tanα＋tanβ＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求b的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和关系结合三角恒等变换分析求解；
（2）根据面积公式、余弦定理分析求解.
【小问1详解】
因为，
所以
【小问2详解】
因为，，所以，
因为，
又因为，即，
联立整理得，解得或.
16．(本小题满分15分)
甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表：
（1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望.
附：，.
【答案】（1）有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关
（2）分布列见解析，期望
【解析】
【分析】（1）先利用所给数据表完善列联表，再利用公式求出，利用临界值表进行判定；
（2）先求出不满意的概率为，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解
【小问1详解】
补全列联表如图所示：
，
故有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关．
【小问2详解】
由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，
且．
，
所以的分布列为：
所以．
17．(本小题满分15分)
如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A＝D1D＝eq \r(,17)，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上．
(1)若BQ＝3QC，证明：PQ∥平面ABB1A1；
(2)若二面角P－QD－C的正弦值为eq \f(5\r(,26),26)，求BQ的长．
第16题图
18．(本小题满分17分)
已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，202)．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可.
（3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可
【小问1详解】
，，当时，，
两式相减得，即，
则有，当时，，则，即，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，，则，数列是等差数列，
于是，解得，则，
所以的前项和
.
【小问3详解】
由（1）知，，
由成等差数列，得，整理得，
由，得，又，，不等式成立，
因此，即，令，则,
从而，显然，即，
所以存在，使得成等差数列.
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
19．(本小题满分17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合离心率求出即得.
（2）（ⅰ）在直线的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心到距离，列出的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得.
【小问1详解】
因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，
又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，
所以的方程为.
【小问2详解】
（i）当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去得：，
由直线与椭圆相切，得，整理得，
于是圆心到直线的距离，
则的面积为，
设，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，取得最大值，此时，
当的斜率不存在时，由（1）知，，
由，得，则.
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以.
（ii）因为均存在，
设点，且，
设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设，
令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因此，
而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则，
所以.
【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.
满意
不满意
男
440
60
女
460
40
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
男
440
60
女
460
40
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
总计
男
440
60
500
女
460
40
500
总计
900
100
1000
0
1
2
3