江西省南昌市第十九中学2022-2023学年高三下学期第一次月考文科数学试卷

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【详解】因为，所以或或或或或或或，即满足条件的集合的个数为8，
故选：A．
2．D
【分析】由题知，进而计算即可得答案.
【详解】解：因为，
所以
故选：D
3．D
【分析】根据统计图可依次计算中位数、众数和平均数，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，这名学生测试得分的中位数为得分从小到大排列后，第和名学生成绩的平均数，
由统计图可知：中位数为，A正确；
对于B，由统计图可知：这名学生测试得分的众数为，B正确；
对于C，这名学生测试得分的平均数为，即平均数比中位数大，C正确；
对于D，这名学生测试得分的平均数、众数、中位数均较低，由此可预测该校学生对疫情防控的知识掌握的不够好，D错误.
故选：D.
4．C
【分析】将抛物线方程变形为标准方程即可求解.
【详解】抛物线的标准形式为，
则，解得，
即抛物线的准线为，
故选：C
5．A
【分析】将点的坐标分别代入不等式组进行验证即可．
【详解】当x＝1，y＝0时，满足不等式组，故A正确；
当x＝－1，y＝1时，x≥0不成立，故B错误；
当x＝1，y＝1时，2x＋y≤2不成立，故C错误；
当x＝1，y＝－1时，x－y≤1不成立，故D错误，
故选：A．
6．B
【分析】由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值．
【详解】解：由程序框图知第一次运行S=0+2，k=2；
第二次运行S=0+2+4，k=3；
第三次运行S=0+2+4+6，k=4；
第四次运行S=0+2+4+6+8，k=5；
第五次运行S=0+2+4+6+8+10，k=6
∵输出k=6，∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30，
∴m的取值范围为20＜m≤30．
故选：B．
7．D
【分析】求出平移后的解析式，根据的图像关于轴对称，得到方程，求出，从而求出答案.
【详解】平移后的解析式为：，
因为的图像关于轴对称，
所以，
解得：，
当时，，D正确；
经验证，其他三个选项均不合要求.
故选：D
8．C
【分析】在区间内随机取两个数，满足，得到围成的正方形的面积，再画出不等式组所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解.
【详解】由题意，在区间内随机取两个数，满足，
则不等式组所围成的正方形的面积为，
由这两个数的和小于，即，
作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
则阴影部分的面积为，
所以这两个数的和小于的概率为.
故选：C.
9．B
【分析】由，得A点坐标代入抛物线方程解得，得到焦点坐标和抛物线方程，直线与抛物线联立方程组利用弦长公式计算弦长
【详解】设，过A向x轴作垂线，垂足为，如图所示
由，，直线倾斜角为，则有，可得，，
代入抛物线方程有，∴，（舍去），
则抛物线方程为．
则有，所以直线方程为，
代入抛物线方程得，即，∴，
根据抛物线焦点弦长公式，得．
故选：B．
10．C
【分析】根据函数对称性的定义得到函数关于点对称，函数也关于点对称，从而得到函数与的图象的交点关于点对称，即可求解.
【详解】由可得，
则函数图象上的点关于点的对称点也在的图象上.
又由可知，函数的图象也关于点对称.
因此，函数与的图象的交点关于点对称.
不妨设，与关于点对称，
与关于点对称，…，与关于点对称，
则，
所以,
故选：C
11．B
【分析】作出图形，利用双曲线的对称性可知：为平行四边形，再利用双曲线的定义得出的长，在焦点三角形中利用余弦定理求出角，从而得出，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】设双曲线的左焦点为，根据题意作出图形，如图所示：
由双曲线的对称性可知：为平行四边形，所以，
由双曲线的定义可知：，则，
，在中，因为，
由余弦定理可知：，
所以，则，
所以，
故选：.
12．D
【分析】设切点为，根据题意得到，然后求导，再由求解.
【详解】设切点为，且，
由题意得：有两个相等实根，故
所以，
求导，
令，得或，
因为，而，
所以，即，解得，
所以，所以.
故选：D
13．
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以
故答案为：
14．
【分析】根据题意，利用充分不必要的性质即可求出实数m的取值范围为.
【详解】因为，所以，
因为若p是q的一个充分不必要条件，
所以，
故答案为：.
15．
【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解.
【详解】∵甲乙两射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：甲乙二人都没有射中目标，
∴目标被射中的概率为．
故答案为：.
16． ##
【分析】求得，根据三棱锥的结构特征，将其补成一个长方体，设出其棱长 ，表示出，求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】如图示：
在平行四边形中，，，，
则 ,
所以,
则在三棱锥中，，
故可将三棱锥中补成一个长方体，如图示：
则，故，
由题意可知三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，设球的半径为r,
则，
故外接球体积为，
故答案为：
17．(1)；；
(2)详见解析.
【分析】（1）根据与的关系及等比中项的性质可得，进而即得；
（2）由题可得，然后利用裂项相消法即得.
【详解】（1）因为，
所以，，，又为等比数列，
所以，即，
所以，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，经检验适合题意，
故；
（2）因为，
所以，
，
即.
18．(1)证明过程见详解；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知可得两两垂直，所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接,
因为F为中点，
所以∥，，
因为为中点，
所以，
因为∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
因为四边形为矩形，所以，
所以两两垂直，
所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为为中点，F为中点，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以点到平面的距离为
.
19．(1)分钟；
(2)填表见解析；没有90%的把握认为“满意度与性别有关”.
【分析】（1） 由频率分布直方图可知样本数据的相关频率，即可求得该节目收看观众的平均时间；（2）由已知可得2×2列联表，结合独立性检验计算即可判断.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：样本数据在[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率分别为：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14，
故调查表平均值为：
，
所以该节目收看观众的平均时间为分钟.
（2）由（1）可知观看平均时间不低于30分钟的频率为：，
所以观看平均时间不低于30分钟的样本数为：.
由已知可得列联表如下：
．
，
所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设椭圆的标准方程为，分析可得，将点代入椭圆的方程，可得的值，即可得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，可得，利用根与系数的关系，用表示面积，利用基本不等式可求得答案．
【详解】（1）由题意得椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆E的标准方程为，焦距为2c，
∵，∴b＝c，∴，∴椭圆E的标准方程为．
∵椭圆E经过点， ∴，解得＝1．
∴椭圆E的标准方程为．
（2）设直线的方程为，
由，消去x得
∴，解得
∴
∵点到直线的距离
∴△F2MN的面积为＝
令
∴，当且仅当，即时，S有最大值，此时
∴△F2MN的面积的最大值是.
21．(1)曲线的极坐标方程为；
即曲线的直角坐标方程为
(2)2
【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)利用极径的几何意义求解.
【详解】（1）∵,则，
∵，
曲线的极坐标方程为；
由，得，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）由得 ， ①
由得，②
可得 ，
即
设P，Q两点所对应的极径分别为，
则，
∴.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，得到解析式，进而可得最小值；
（2）方法一：利用基本不等式化简左侧分式的分子，将所得不等式右侧式子改写为，再次利用基本不等式可证得结论；
方法二：将所证不等式拆分成形如的形式，利用基本不等式可求得，以此类推，加和即可证得结论.
【详解】（1）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：的最小值.
（2）由（1）知：，
方法一：（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）.
方法二：（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）．
23．(1)极大值，极小值0
(2)，的最大值为0，
【分析】（1）由极值的概念求解，
（2）根据的取值分类讨论求解的单调区间后得，再由导数判断单调性后求解最大值，
【详解】（1）当时，，
，
当或时，，
当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
（2），，
当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为，
当时，当或时，，
当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
在区间上的最小值为，
当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减，
若，在区间上的最小值为，
若，在区间上的最小值为
综上，
令，则 ，
故在上单调递增，
可知在上单调递增，故的最大值为0，
不满意
满意
总计
男
27
48
75
女
30
45
75
总计
57
93
150