浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都不给分）
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．−32,3 13．k≤−2 14．16
四、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题共13分）解：
（1）∵sinAsinB+sinC=c−bb， ∴ab+c=c−bb，∴ab=c2−b2，即c2=ab+b2，……………………………1分
又∵C=π3，∴c2=a2+b2−2abcsπ3，即c2=a2+b2−ab，……………………………………3分
联立方程组c2=ab+b2c2=a2+b2−ab，可得a2=2ab，即a=2b，∴c=3b，
∵csB=a2+c2−b22ac=6b243b2=32，…………………………………………………………………………5分
又∵B∈(0,π)，∴B=π6.………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知c2=b2+ab，可得a=c2−b2b，且c>b，
∴a+cb=c2−b2+bcb2=c2b2+cb−1，…………………………………………………………………………8分
由三角形三边关系，可得a+b>cb+c>a，可得b令x=cb∈1,2，可得fx=x2+x−1，其中1∴函数fx=x+122−54∈1,5，…………………………………………………………………11分
∴c2b2+cb−1∈1,5，∴a+cb的取值范围是1,5.………………………………………………………13分
16．（本题共15分）解：
（1）由x∈[0,3π2]，得ωx−π4∈[−π4,3πω2−π4]，………………………………………………………3分
因为函数f(x)=sin(ωx−π4)在区间[0,3π2]上恰有3个零点，
于是2π≤3πω2−π4<3π，解得32≤ω<136，而ω为正整数，因此ω=2，……………………………5分
所以f(x)=sin(2x−π4).…………………………………………………………………………………7分
（2）由（1）知，g(x)=f(x+π4)=sin[2(x+π4)−π4]=sin(2x+π4)，…………………………8分
由f(x)≠0，得2x−π4≠kπ,k∈Z，即有x≠kπ2+π8,k∈Z……………………………………………10分
因此F(x)=g(x)f(x)=sin(2x+π4)sin[(2x+π4)−π2]=sin(2x+π4)−cs(2x+π4)=−tan(2x+π4)，………………………………………13分
由kπ−π2<2x+π4所以函数F(x)=g(x)f(x)的单调减区间为(kπ2−3π8,kπ2+π8)(k∈Z).………………………………………15分
17．（本题共15分）解：
（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，……………………2分
则两人选考科目数为1的情况数为C202，…………………………………………………………………3分
数目为2的为C402，数目为3的有C402，则PA=C202+C402+C402C1002=3599．………………………………5分
（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2．
当X为0时，对应概率为（1）中所求概率：PX=0=C202+C402+C402C1002=3599；…………………………6分
当X为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：
PX=1=C201C401+C401C401C1002=1633；……………………………………………………………………………7分
当X为2时，1人为1，1人为3：PX=2=C201C401C1002=1699．………………………………………8分
则分布列如图所示：………………………………………………………………………………………9分
故X的期望为EX=0×3599+1×1633+2×1699=8099．………………………………………………10分
（3）由题意可得：………………………………………………………………………………………12分
零假设为H0：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关．………………………………………………………………………………………13分
χ2=100×30×5−10×55240×60×85×15≈5.229>3.841，……………………………………………………………14分
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．……………………………………15分
18．（本题共17分）解：
（1）f−x=ae−x+1e−x−1=a+ex1−ex=−fx=−aex+1ex−1，………………………………………………………3分
即有a+ex=aex+1，即aex+1=ex+1恒成立，…………………………………………………4分
故a=1；…………………………………………………………………………………………………5分
（2）①当x∈0,π2时，函数y=lnx与函数y=sinx均在定义域上单调递增，
故y=gx在0,π2上单调递增，…………………………………………………………………………7分
又g1e=−1+sin1e<0，g1=0+sin1=sin1>0，
故y=gx存在唯一零点x0∈1e,1，……………………………………………………………………9分
当x∈π2,π时，y=lnx>0，y=sinx≥0，故gx>0，
当x∈π,+∞时，y=lnx>lnπ>1，y=sinx≥−1，故gx>0，……………………………11分
故当x∈π2,+∞时，y=gx无零点，
综上所述，y=gx有且只有一个零点，且该零点x0∈1e,1；…………………………………13分
②由上可知x0∈1e,1，且有gx0=lnx0+sinx0=0，则sinx0=−lnx0，………………………14分
即fsinx0=f−lnx0=e−lnx0+1e−lnx0−1=1x0+11x0−1=1+x01−x0=−1+21−x0，………………………………………16分
由函数y=−1+21−x在区间1e,1上单调递增，故fsinx0=−1+21−x0>−1+21−1e=e+1e−1.………17分
19．（本题共17分）解：
（1）由fx=gx，即x2−x+1=12(x−1x)+1，解得x=1或x=−12．…………………………1分
在同一个平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=g(x)的图象，如图，
由图可知，当x≤−12时，函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，且f(−12)=g(−12)，
所以f(x)≥g(x)；…………………………………………………………………………………………3分
当−12则f(x)当0g(x)单调递增，且f(1)=g(1)，所以f(x)≥g(x)；
当x>1时，函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，且f(1)=g(1)，f(x)≥g(x)，…………………7分
所以不等式f(x)≥g(x)的解集为−∞,−12∪0,+∞.………………………………………………8分
（2）由（1）知，令f(x)=g(x)，由x>0解得x=1，
当x=1时，f(x)=g(x)=1，即y=f(x),y=g(x)有公共点(1,1)，……………………………10分
设y=fx与y=gx存在隔离直线函数y=kx+b，
则点(1,1)在隔离直线函数y=kx+b上，则k+b=1，即b=1−k，所以y=kx+1−k；……12分
若当x>0时有f(x)≥kx+b，即x2−x+1≥kx+1−k，
则x2−1+kx+k≥0在(0,+∞)上恒成立，即(x−1)(x−k)≥0，
由于1∈(0,+∞)，故此时只有k=1时上式才成立，则b=1−k=0.……………………………14分
下面证明g(x)≤x(x>0)，令y=gx−x=−12x+1x+1≤−12×2x⋅1x+1=0，
即y=gx−x≤0，故g(x)≤x，当且仅当x=1x即x=1时，等号成立，………………………16分
所以y=kx+1−k，即y=x为y=fx与y=gx的隔离直线函数.………………………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
A
B
C
D
D
B
9
10
11
BC
ACD
ABD
X
0
1
2
P
3599
1633
1699
性别
纯理科生
非纯理科生
总计
男性
30
55
85
女性
10
5
15
总计
40
60
100