初中数学6.2 实数教学设计及反思

这是一份初中数学6.2 实数教学设计及反思，共27页。教案主要包含了师生活动，交流学习，教材例题，交流思考等内容，欢迎下载使用。
第6章 实 数
单 元 备 课
6.1 平方根、立方根
6.1.1 平方根
第6章 实 数
6.1 平方根、立方根
6.1.2 立方根
第6章 实 数
6.2 实 数
第1课时 实数的概念及分类
第6章 实 数
6.2 实 数
第2课时 实数的运算与大小比较
第6章
本单元所需课时数
5课时
课标要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数.
2.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，并会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.
3.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
4.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值.
5.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
6.在解决实际问题时，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值.
教材分析
本章引入无理数，从有理数扩充到实数，是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，同时实数也是后面内容学习（如一元二次方程、函数等）的基础，因此，本章内容具有基础性，应要求学生能熟练掌握实数的有关运算.
主要内容
本章的主要内容是平方根与立方根，无理数与实数的概念，实数的运算及大小比较.主要包括两节：6.1节“平方根、立方根”主要介绍平方根（算术平方根）、立方根的相关概念及求法；6.2节“实数”是在学习根式后引进无理数，进而扩展到实数，进行实数的运算及大小比较.
教学目标
1.了解平方根、算术平方根、立方根、实数的概念，并会求平方根、算术平方根、立方根，能进行有关实数的简单运算.
2.探求实数性质及其运算规律，并会借助计算器计算平方根、立方根、探索数学规律等.
3.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识及解决问题的能力.
课时分配
6.1 平方根、立方根 2课时
6.1.1 平方根
6.1.2 立方根
6.2 实 数 2课时
第1课时 实数的概念及分类
第2课时 实数的运算及大小比较
教学活动
小结 1课时
教与学建议
1.加强实数的有关概念及其运算与有理数的类比教学.
2.重视培养学生实数运算的能力.
3.抓住重点、加强练习，打好基础.
课题
平方根
课型
新授课
教学内容
教材第2-5页的内容
教学目标
1.理解平方根、算术平方根的概念，并会表示一个数的平方根、算术平方根.
2.理解开平方的意义，会求一个非负数的平方根、算术平方根.
3.会用计算器求一个数的算术平方根或其近似值.
4.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重难点
教学重点：会求一个非负数的平方根、算术平方根.
教学难点：正确理解平方根、算术平方根的意义.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【探究1】复习引入（学生活动）
已知一个正方形的边长是4，
则这个正方形的面积是______.
【探究2】探究教材P2问题①
装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1 m²，问这种地砖一块的边长是多少？
【师生活动】学生尝试解答，列方程.
设一块正方形地砖的边长为x m，根据题意，有
x²=14.
教师提问：怎么解这个方程呢？
（学生先答，老师解答）因为12²=14，所以x=12.
因为−12²=14，所以x=−12.
地砖的边长不能是负数，x=−12舍掉，
所以地砖的边长是12 m.
2.探索新知，归纳知识
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
例如，上面问题①中，12²=14，−12²=14，
所以12和−12都是14的平方根.
或者说14的平方根是12和−12（合写为±12）.
【交流学习】（学生活动）请同学们口答下面各题．
1.16的平方根是什么？
2.0的平方根是什么？
3.-9有没有平方根？
【探究1】一个正数有几个平方根？0和负数呢？
根据学生的回答情况，引导归纳：
（1）一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.
我们用a表示a的正的平方根，读作“根号a”，其中a叫做被开方数，这个根也叫做a的算术平方根，另一个负的平方根记为-a.
（2）0的平方根是0.
（3）负数没有平方根.
【探究2】开平方与平方有什么关系？
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
例如：左图是求一个数的平方，右图是求一个数的平方根.
教师提问:根据上图，可以得到二者有什么关系呢？
（学生先答，老师解答）开平方是平方的逆运算.
利用两种运算互逆的关系可以求一些数的平方根.
【教材例题】
例1 判断下列各数是否有平方根，为什么？
25； 14； 0.016 9； -64.
解：因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以25，14，0.016 9都有平方根；-64没有平方根.
例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）1；（2）81；（3）64；（4）（-3）².
解:（1）因为（±1）²=1，所以1的平方根是±1，即±1=±1；1的算术平方根是1.
（2）因为（±9）²=81，所以81的平方根是±9，即±81=±9；81的算术平方根是9.
（3）因为（±8）²=64，所以64的平方根是±8，即±64=±8；64的算术平方根是8.
（4）（-3）²=9.因为（±3）²=9，所以9的平方根是±3，也就是（-3）²的平方根是±3，即±(−3)²=±3；（-3）²的算术平方根是3.
教师提问：如果不能直接求出一个被开方数的平方根，应该怎样求其平方根呢？
利用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值.
例3 利用计算器求下列各式的值（精确到0.01）：
（1）2；（2）1 830；（3）−0.876；（4）57.
解:（1）在计算器上依次键入： 2 =，
显示结果是1.414 213 562，精确到0.1，得2≈1.41.
（2）1 830≈42.78.
（3）−0.876≈−0.94.
（4）在计算器上依次键入：（ 5 ÷ 7 ） =，
即可得57≈0.85.
用计算器求一个数的平方根的应用
本章引言中提到的速度v2是第二宇宙速度，v2=2gr，
其中g取9.8 m/s²，r取6.4×106 m，用计算器可求得
v2≈2×9.8×6.4×106=11 200（m/s）=11.2（km/s）.
例4 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：h=12gr²，其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8 m/s².假设跳板的高度是3 m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2 m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？
解:设运动员下落到水面约需t s，根据题意，得
3+1.2=12×9.8t² ，
t²=2×4.29.8
≈0.857 1，
t≈0.93.
因而，运动员下落到水面约需0.93 s.
3.学以致用，应用新知
考点1 求一个数的平方根
【例1】求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)16； (2)925； (3)179； (4)(-2.1)2.
解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±16＝±4，16的算术平方根是4；
(2)由于(35)2＝925，因此925的平方根是35与－35，即±925＝±35，925的算术平方根是35；
(3)179＝169，由于(43)²＝169，因此179的平方根是43与－43，即±179＝±43，179的算术平方根是43；
(4)(－2.1)2＝2.12，因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±(−2.1)²＝±2.1，(－2.1)2的算术平方根是2.1.
考点2 利用平方根的意义求字母的值
【例2】某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )
A．1 B．3 C．－3 D．9
解析：因为一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，所以(2a－1)+(－a＋2)＝0，解得a＝-1.故这个数是（2a-1）²=（-3）²=9，故选D.
答案：D
考点3 算术平方根的非负性
【例3】 已知a，b满足|a－2|＋b−3＝0，求2a+b的值．
解：由绝对值的意义知|a－2|≥0；
由算术平方根的意义知b−3≥0，
所以a－2＝0，b－3＝0，所以a=2.b=3,
所以2a+b=2×2+3=7.
考点4 估计一个二次根式的范围
【例4】估计：51在哪两个相邻整数之间？
解：因为7²=49，8²=64，且49＜51＜64，
所以7＜51＜8.
4.随堂训练，巩固新知
（1）（广西桂林中考）9的平方根是( )
A．3 B．±3 C．－3 D．9
答案：B
（2）（山东济宁中考）4的算术平方根是（ ）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4
答案：A
（3）一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝______．
答案：2
(4)若式子x−2有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥0 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≥2
答案：D
（5）若|m-1|+n+3=0，求m+n的值.
解：因为|m-1|≥0，n+3≥0，又|m-1|+n+3=0，
所以|m-1|=0，n+3=0，所以m=1，n=-3，
所以m+n=1+(-3)=-2.
（6）用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
解：设每块地板砖的边长为x m.
由题意，得240x²=60，即x²=14，
于是x=14=0.5.
所以每块地板砖的边长是0.5 m.
5.课堂小结，自我完善
（1）平方根和算术平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.一个正数正的平方根叫作它的算术平方根.
（2）一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0（0的算术平方根也是0）；负数没有平方根.
（3）用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值.
6.布置作业
课本P5练习第3-5题，P8习题6.1第2、5、6题.
复习：已知正方形边长求面积.
思考：已知正方形面积如何求边长？
正方形的面积=边长²
通过解决实际问题，引导学生理解求平方根的必要性.
初步体会已知一个数的平方，求这个数.
提醒学生注意，解决实际问题，验证解要符合实际.
归纳总结平方根的概念，并举例说明.
让学生自主探索一个正数的平方根、一个负数的平方根、0的平方根，归纳平方根的情况，引出算术平方根的概念.
拓展：算术平方根的性质.
非负数a的算术平方根a满足：a≥0，a≥0.
算术平方根具有双重非负性.
通过举例，对比平方与开平方两种运算之间的关系，总结出开平方与平方是互逆运算，等同于有理数的加法与减法.
例1中给出了正整数、正分数、正小数和负数，判断这几个数平方根的情况.
例2一个数的算术平方根，是这个数的非负的平方根.
格外注意（4）的形式，（-3）²=9,9的平方根是±3.
以上学习的被开方数都是可以直接求出其平方根的，遇到无法直接求平方根的数，需要借助计算器求.求得的结果注意根据题目要求取近似值（四舍五入法）.
第二宇宙速度是指人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度.
通过让学生解决生活中的实际问题，进一步理解求一个数的平方根，培养计算能力，激发学习兴趣。
求一个数的算术平方根的一般步骤：
①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；
②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.
易错警示：注意本题要求的是这个数，而不是字母a的值.
几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0.
注意：a²≥0，|a|≥0，a≥0.
观察被开方数在哪两个相邻整数的平方数之间，则对应的二次根式就在这两个相邻整数之间.
注意：二次根式有意义的条件是被开方数非负.
注意被开方数和算术平方根的非负性.
板书设计
教后反思
本节课通过实际问题创设情境引入平方根，让学生感知“负数没有平方根”，激发学生的求知欲望．再让学生用计算器求一个数的平方根，通过对比认识到平方根与算术平方根的区别与联系．
课堂上，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，经历观察式子、探索规律、归纳概念的学习过程，使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路。
课题
立方根
课型
新授课
教学内容
教材第6-8页的内容
教学目标
1.了解立方根的概念，会求一个数的立方根，并会用根号表示一个数的立方根.
2.会用计算器求一个数的立方根或其近似值.
3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重难点
教学重点：理解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根.
教学难点：能用开立方运算求某些数的立方根，理解开立方与立方互为逆运算.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【探究1】复习引入（学生活动）
已知一个正方体的棱长是4，
则这个正方体的体积是______.
【探究2】探究教材P6问题②
要做一个容积是64 dm3的正方体木箱，问它的棱长是多少？
【师生活动】学生尝试解答，列方程.
设正方体木箱的棱长为x dm，根据题意，有
x³=64.
教师提问：怎么解这个方程呢？
（学生讨论，教师引导）想哪个数的立方是64?
1³=1,2³=8,3³=27,4³=64，x=4.
2.探索新知，归纳知识
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作3a，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.
例如，上面问题②中，因为4³=64，所以4是64的立方根，即364=4.
【探究1】（学生口答）
类比开平方与平方的关系，探究开立方与立方的关系？
（教师解答）开立方与立方互为逆运算.
根据这种关系，可以求一些数的立方根.
【教材例题】
例5 求下列各数的立方根：
（1）27；（2）-64；（3）0.
解:（1）因为33=27，所以27的立方根是3，即327=3.
（2）因为（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4，即3−64=-4.
（3）因为03=0，所以0的立方根是0，即30=0.
教师提问：如果不能直接求出一个被开方数的立方根，应该怎样求其立方根呢？（学生讨论）
利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.
【教材例题】
例6 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）：
（1）2；（2）7.797；（3）-17.456；（4）137398.
解:（1）在计算器上依次按键：2ndf 3 2 =，
显示结果是1.259 921 05，精确到0.01，得32≈1.26.
（2）37.797≈1.98.
（3）3−17.456≈02.59.
（4）在计算器上依次按键：2ndf 3 （ 137 ÷ 398 ） =，
即可得3137398≈0.70.
【探究2】（教师提问）
根据上面的例题，探究立方根有什么特征？
（学生口答下面问题）
（1）正数有几个立方根？
（2）0有几个立方根？
（3）负数有几个立方根？
（学生先答，老师归纳总结）
正数、0和负数都是只有一个立方根.
正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.
【探究3】探究平方根与立方根的区别？
请一名学生上台完成下表：
平方根
立方根
表示方法
______
______
被开方数
______
______
特征
一个正数有___个平方根；0只有____个平方根,它是0本身；负数_____平方根
正数的立方根是____；
0的立方根是______；
负数的立方根是_____
【探究4】猜想一下3a³和（3a）³分别等于什么？
计算：32³=_____;30³=_____;3(−3)³=_____.
（38）³=______;（327）³=______;（3−64）³=______.
（引导学生归纳总结）
3a³=a，（3a）³=a.
（教师引导，师生共同验证）根据立方根的定义，如果x³=a，那么x就是a的立方根，即x=3a，所以x³=（3a）³=a；
（参考上面验证方法，学生自行验证3a³=a）
【探究5】一般地，3−a=−3a对吗？
计算：3−27=_______;3−64=_______.
−327=_______;−364=_______.
（引导学生参考探究4证明）
验证：如果x³=a，那么−3a=−3x³=−x；
3−a=3−x³=3(−x)³=−x.
所以3−a=−3a.
教师总结：一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
3.学以致用，应用新知
考点1 求一个数的立方根
【例1】求下列各数的立方根：
(1)1 000； (2)−827； (3)0.125； (4)(-2.1)3.
解：(1)由于10³＝1 000，因此1 000的立方根10，即31 000=10；
(2)由于(−23)³＝−827，因此−827的立方根是−23，即3−827=−23；
(3)由于0.5³＝0.125，因此0.125的立方根0.5，即30.125=0.5；
(4)3(−2.1)³=-2.1.
考点2 立方根与平方根的综合问题
【例2】如果b+4a−3b为a−3b的算术平方根，a+21−a²为1−a²的立方根，求2a－3b的立方根．
解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3，所以b＝－2，a＝1.
所以2a－3b＝2×1－3×(－2)＝2＋6＝8.
所以32a−3b＝38＝2.
【例3】如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是( )
A．1 B．0或1 C．0或±1 D．任意非负数
答案：B
4.随堂训练，巩固新知
（1）有下列四个说法，其中正确的是( )
A.1的算术平方根是1；
B.18的立方根是±12；
C.－27没有立方根；
D.若一个数的立方根是这个数本身，则这个数一定是零．
答案：A
（2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2＝4，所以x＝6.
因为2x＋y＋7的立方根是3，所以2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得y＝8.
因为x2＋y2＝62＋82＝100，所以x2＋y2的算术平方根为10.
（3）若31−2x与33y−2互为相反数，求2x+1y的值.
解：因为31−2x与33y−2互为相反数，
所以1-2x与3y-2互为相反数，
所以1-2x+3y-2=0，即2x+1=3y，
所以2x+1y=3yy=3.
（4）将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解：因为600+129=729（cm³），3729=9，
所以这个正方体的棱长为9 cm.
已知一个正方体的体积是8m³，如果把它的体积扩大27倍，那么它的棱长扩大多少倍？
解：设这个正方体的棱长为a m，
根据立方根的概念，可知a=38=2.
如果体积扩大27，即变为8×27=216（m³），
设此时棱长为b m，根据立方根的概念，可知b=3216=6.
所以它的棱长扩大为b÷a=6÷2=3倍.
5.课堂小结，自我完善
（1）立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根.
（2）任何一个数都只有一个立方根.其中正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数.
（3）用计算器求一个数的立方根或它的近似值.
6.布置作业
课本P7练习第2-4题，P8习题6.1第7-10题.
复习：已知正方体棱长求体积.
思考：已知正方体体积如何求棱长？
正方体的体积=棱长³
通过解决实际问题，引导学生理解求立方根的必要性.
所列方程是已知一个数的立方，求这个数.
根据上面解决的实际问题，引出立方根，并抽象出立方根的概念.
注意：根指数3不能省略.
举例说明：
例5求立方根的过程是严格按照定义书写的，这样有利于学生体会开立方与立方的互逆关系.后面做练习时，学生的表述可以适当简化.
借助计算器求一个数的立方根，求得的结果注意根据题目要求取近似值（四舍五入法）.
按键时注意区分与3.
这样提问，是为了突出平方根与立方根的对比，便于弄清两者的区别与联系.
任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同．
探究3答案：
±a，3a；
非负数，任意数；
2，1，没有，正数，0，负数.
探究4答案：
2 0 -3
8 27 -64
根据立方的定义，可知a³是a的三次方，所以a³的立方根是a，即3a³=a.
探究5答案：
-3 -4 -3 -4
-a与a互为相反数，3−a与3a也互为相反数，
所以3−a=−3a.
任何一个数的立方根的符号与原数的符号相同．
（4）根据公式3a³=a可直接写出答案.
本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a－3b的立方根，体现了方程思想的应用．
只有0和1的算术平方根等于本身；
只有-1,0和1的立方根等于本身.
任何一个数都有立方根，且有唯一一个立方根.
本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求解．
互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
根据正方体体积求棱长，实质上就是求一个数的立方根.
如果已知正方体的体积扩大a倍，那么这个正方体的棱长扩大3a倍.
板书设计
教后反思
本节课通过实例引入了立方根的概念，通过合作探究得出了立方根的性质，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识．在教学时可引导学生对比平方根进行学习，理解立方根与平方根的区别.
课题
实数的概念及分类
课型
新授课
教学内容
教材第9-12页的内容
教学目标
1.理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数.
2.掌握实数的概念，会对实数进行分类.
教学重难点
教学重点：理解并掌握无理数、实数的概念，并会进行正确分类.
教学难点：判断一个数是不是无理数.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
思考：在下图中，你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？
老师提问，学生口答：
（1）有面积分别是1，4，9的格点正方形吗？
（2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来.
（找学生上来画一个面积是2的格点正方形）
老师追问：还有与这些面积不相同的格点正方形吗？
（找学生上来画一画）
教师根据学生画的，总结：还有面积为5的格点正方形.
2.探索新知，归纳知识
【探究1】我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形（如图），这种正方形的边长应是多少？
（老师引导学生，回顾已知正方形的面积求边长的方法）
（学生陈述，老师写板书）
设这种正方形的边长为x，则x²=2.
因为x＞0，所以x=2.
【探究2】2是一个怎样的数呢？
老师提问，学生口答：
问题1：2是整数吗？为什么？
（师生活动）学生思考并尝试解释，老师给出正确答案.
2显然不是整数.
因为1²=1＜2，2²=4＞2，所以没有任何一个整数的平方等于2.也就说明2不是整数.
问题2：2在哪两个相邻的整数之间？
因为1²=1＜2，2²=4＞2，所以1＜2＜2.
问题3：2在哪两个一位小数之间呢？
请学生计算：1.1²=____;1.2²=____;1.3²=____;1.4²=____;1.5²=____;1.6²=____.
从而得到：_____＜2＜_____.（提问学生回答）
（老师确认答案）因为1.4²=1.96＜2，1.5²=2.25＞2，所以
1.4＜2＜1.5.
问题4：2在哪两个两位小数之间呢？
请学生计算：1.41²=____;1.42²=____;1.43²=____.
从而得到：_____＜2＜_____.（提问学生回答）
（老师确认答案）因为1.41²=1.988 1＜2，1.42²=2.016 4＞2，所以1.41＜2＜1.42.
（老师使用计算机操作）归纳总结：
像上面这样一直（无限）做下去，可以得到：
2=1.414 213 5….
我们发现，这个小数是可以无限写下去，而且数字是没有规律的，可以称它为无限不循环小数.
问题5：2是不是有理数呢？
带领同学们复习有理数的相关概念.
（师生活动）学生回答后，老师给出总结：
我们知道，有理数包括整数和分数，而整数和分数可以统一写成分数的形式，也就是说，有理数可以写成分数的形式.
老师追问：如果有理数全部表示成小数形式呢？什么样的小数是有理数？（请学生计算下面各题,改写为小数）
2=________；58=_________；−911=_________；57=_________.
（师生活动）一起总结：发现任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.因此有理数是有限小数和无限不循环小数.
所以2不是有理数.
老师追问：那么像2这种无限不循环小数还有吗？
（学生举例，老师总结，引出无理数概念）
3=1.732 050 80…，33=1.442 249 57…，π=3.141 592 65….
这些都是无限不循环小数，无限不循环小数叫做无理数.
无理数可分为正无理数（如2，3，π等）与负无理数（如−2，−3，－π等）.
【探究3】实数的概念与实数的分类
有理数和无理数统称为实数.
老师提问：实数怎么分类？（学生尝试分类）
（师生活动）引导学生按两种形式分类
（1）按化成小数的类型分类
（2）按大小关系分类
3.学以致用，应用新知
考点1 认识无理数
【例1】在下列实数中：157，3.14，0，9，π，3，0.101 001 000 1…，无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
考点2 估计无理数的大小
【例2】设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：D
考点3 实数的分类
【例3】把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，27，4，5，3−7，0，π2，－3125，227，3.14，0.101 00….
(1)有理数集合{ …}；
(2)无理数集合{ …}；
(3)整数集合{ …}；
(4)负实数集合{ …}．
答案：(1)有理数集合{-3.6，4，5,0,－3125，227，3.14，…}；
(2)无理数集合{27，3−7，π2，0.101 00…，…}；
(3)整数集合{4，5，0，－3125，…}；
(4)负实数集合{－3.6，3−7，－3125，…}．
4.随堂训练，巩固新知
1.（日照中考改编）在实数38，π3，12，43中无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
2.下列说法正确的是( )
A．正实数和负实数统称为实数
B．正数、零和负数统称为有理数
C．带根号的数和分数统称为实数
D．无理数和有理数统称为实数
答案：D
3.下列各数分别填入下列相应的括号内：
39，14，7，π，−16，−5，−38，49，0，25，0.373 773 777 3….
（1）无理数：{ …}； （2）有理数：{ …}；
（3）正实数：{ …}； （4）负实数：{ …}.
答案：（1）无理数：{39，7，π，−5，0.373 773 777 3…，…}；
（2）有理数：{14，−16，−38，49，0，25，…}；
（3）正实数：{39，14，7，π，49，0，25，0.373 773 777 3…，…}；
（4）负实数：{−16，−5，−38，…}.
5.课堂小结，自我完善
（1）无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.
（2）实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
（3）实数的分类
6.布置作业
课本P12练习第1、3题，P15习题6.2第1、2题.
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，可以得到一个面积为2的大正方形.

根据上面的拼接，我们知道这个正方形的面积是四个小正方形面积的一半，即两个小正方形的面积和2.
正方形的边长，取面积的算术平方根.
采用逐步逼近的方法探究2是一个无限不循环小数.
用被开方数所在的范围，估计二次根式的范围.
设置多个小问的目的是降低思维难度，让学生真切感知推理探究的依据.
问题3答案：
1.21,1.44,1.69,
1.96,2.25,2.56.
1.4,1.5
问题4答案：
1.988 1,2.016 4，
2.044 9.
1.41,1.42
可以让学生放到教材P4,对照用计算器得到的2的结果.
答案：2.0；0.625；
0.81；0.714285.
参考数学园地尝试化一下：0.28.
0.28=28−290=2690=1345
开方开不尽的数（如5，37，−11等），π，2.101 001 000 1…（两个1之间依次增加一个0）等这些都是无限不循环小数，都是无理数.
分类的方法可以不同，但是一定要坚持分类的标准统一，做到不重复、不遗漏.
常见无理数的三种形式：①是开方开不尽的数，②是化简后含有π的数，③是无规律不循环的小数.
本题的关键是根据特殊有理数找出最接近的完全平方数.
实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．
判断一个数是有理数还是无理数，要看这个数化简后是什么数，比如38=2，是有理数.
提醒学生注意，并不是所有含根号的数都是无理数.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.
板书设计
1.无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.
无理数包含的三类数：
(1)开方开不尽而得到的数；
(2)圆周率π以及含有π的数；
(3)看似循环，但不循环的无限小数．
2.实数的概念
3.实数的分类
教后反思
本节课学习了无理数、实数的有关概念及实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念．
本节课要注意的地方有两个：
①所有的分数都是有理数
②化简后含有π的的数是无理数.
课题
实数的运算与大小比较
课型
新授课
教学内容
教材第13-15页的内容
教学目标
1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义.
2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较.
教学重难点
教学重点：理解实数与数轴一一对应的关系，能进行实数的大小比较.
教学难点：理解实数与数轴一一对应的关系.
教 学 过 程
备 注
1.回顾与思考
下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
2，0，1.41，9，−34
（学生回答）
老师追问：之前学习过有理数可以用数轴上的点来表示，那么无理数能用数轴上的点表示吗？
2.探索新知，归纳知识
【探究1】2能用数轴上的点表示吗？
如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线长（2）为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作A，那么，点A表示什么数？
（老师引导学生，回顾有关圆中半径的特点）
图中0A的长度等于所画圆弧的半径，即2，因此点A表示的数是2.
老师追问：图中点A’是画圆弧时与数轴的另一个交点，它表示什么数呢？
显然，图中0A’的长度等于所画圆弧的半径，即2，因为点A’在原点左侧，因此点A’表示的数是−2.
（根据学生的回答，老归纳总结）
一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以，把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
（请学生在数轴上找出表示无理数5）
【探究2】在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内一样吗？
（类比有理数，回答下面问题）
（1）2的相反数是______，2的相反数是______，
−39的相反数是______.
（2）2的倒数是_______，2的倒数是______，
−39的倒数是______.
（3）2的绝对值是_______，-2的绝对值是______.
2的绝对值是______，−2的绝对值是______.
（师生活动）根据学生的回答，老师引导学生归纳总结：
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内一样.
并且任一个实数a的绝对值仍然用|a|表示.
【探究3】有理数可以做加、减、乘、除、乘方、开立方运算，正有理数可以开平方运算，这些在实数范围可以进行吗？
（老师直接总结）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
（老师提问）两个无理数的和、差、积、商是否仍然是无理数？
（教师引导，学生举例说明）
两个无理数的和、差、积、商可能是有理数.
【探究4】实数的大小比较
两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点表示的数.
在实数范围内也有：
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个正数，绝对值大的数较大.
两个负数，绝对值大的数反而小.
【教材例题】
例1 近似计算：
（1）3+π（精确到0.01）；
（2）5×7（精确到0.1）.
解：（1）3+π≈1.732+3.142=4.874≈1.87.
（2）5×7≈2.24×2.65=5.936≈5.9 .
例2 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们.
-1，2，-2，-2，|-22|，5.
解：
-2＜-2＜-1＜＜2＜|-22|＜5.
【交流思考】比较7−23和13的大小
（学生分组讨论探究）学生给出答案
（教师确认答案及比较方法）7−23＜13
方法一：可以用计算器直接计算出近似值，然后比较.
方法二：根据分数的大小比较方法，分母相同，比较分子即可.
用作差法比较分子的大小：7−2−1=7−3.
9=3，所以7−3＜0，7−2＜1，7−23＜13.
3.学以致用，应用新知
考点1 求数轴上的点对应的实数
【例1】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是( )
A．π－1 B．－π－1
C．－π＋1 D．π－1或－π－1
解析：圆的周长为πR=π.
圆的滚动方向分情况讨论：
向左滚动一周后，点A’表示－π－1；
向右滚动一周后，点A’表示π－1.
答案：D
考点2 实数的性质
【例2】求下列各数的相反数和绝对值：
(1)5； (2)2－3； (3)－1＋3.
解：(1)5的相反数是－5，绝对值是5；
(2)2－3的相反数是－2－3，绝对值是－2－3；
(3)－1＋3的相反数是1－3，绝对值是－1＋3.
考点3 实数的简单运算
【例3】计算25－38的结果是( )
A．3 B．7 C．－3 D．－7
答案：A
考点4 实数的大小比较
【例4】比较大小：3−15与15.
解：因为3−15−15＝3−25