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沪科版七年级数学下册第八章《整式乘法与因式分解》（同步教学设计）
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0沪科版七年级数学下册第八章（同步教学设计）第8章 整式乘法与因式分解单 元 备 课 8.1 幂的运算8.1.1 同底数幂的乘法 8.1 幂的运算8.1.2 幂的乘方与积的乘方第1课时 幂的乘方 8.1 幂的运算8.1.2 幂的乘方与积的乘方第2课时 积的乘方 8.1 幂的运算8.1.3 同底数幂的除法第1课时 同底数幂的除法 8.1 幂的运算8.1.3 同底数幂的除法第2课时 零次幂、负整数次幂的运算 8.1 幂的运算8.1.3 同底数幂的除法第3课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 8.2 整式乘法8.2.1 单项式与单项式相乘第1课时 单项式乘单项式 8.2 整式乘法8.2.1 单项式与单项式相乘第2课时 单项式除以单项式 8.2 整式乘法8.2.2 单项式与多项式相乘第1课时 单项式乘多项式 8.2 整式乘法8.2.2 单项式与多项式相乘第2课时 多项式除以单项式 8.2 整式乘法8.2.3 多项式与多项式相乘 8.3 完全平方公式和平方差公式第1课时 完全平方公式 8.3 完全平方公式和平方差公式第2课时 平方差公式 8.4 因式分解8.4.1 提公因式法 8.4 因式分解8.4.2 分组分解法 8.4 因式分解8.4.2 公式法 第8章本单元所需课时数20课时课标要求1.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数.2.能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间相乘以及一次式与二次式相乘）.3.能推导乘法公式:（a+b)(a-b） =a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算.4.能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解（指数是正整数）.5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系.教材分析本章是在学生掌握了有理数、整式的加减等知识之后进行安排的，其中最基本的内容是幂的运算性质，本章进行了集中安排，使学生进一步体会幂的意义，然后在此基础上，通过对乘法分配律的应用，探索出整式的乘除发及三个重要的乘法公式，最后介绍了最简单的因式分解的方法.这样的设计符合学生的认知规律，同时也加强了有关知识之间的内在联系.主要内容本章的主要内容是幂的运算、整式乘法、乘法公式与因式分解.8.1节“幂的运算”是本章最基本的内容，在此基础上进行下一节8.2节“整式乘法”的学习，之后利用整式乘法的法则推导出8.3节的“完全平方公式和平方差公式”，接下里学生继续探索8.3节的两个公式的逆用，引出8.4节“因式分解”.教学目标1.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数.2.能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间相乘以及一次式与二次式相乘）.3.能推导乘法公式:（a+b)(a-b） =a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算.4.能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解（指数是正整数）.5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系.课时分配8.1 幂的运算 6课时8.2 整式乘法 5课时8.3 完全平方公式与平方差公式 2课时8.4 因式分解 3课时8.5 综合与实践 纳米材料的奇异特性 2课时数学活动小结 2课时教与学建议1.教学中注重对幂的运算性质和整式乘除法则等探索过程进行评价.2.教学过程中，积极引导学生对整式乘法与因式分解的互逆关系进行分析.3.教学中必须要适当地提供一些必要的训练，使学生能准确地进行计算.课题同底数幂的乘法课型新授课教学内容教材第45-46页的内容教学目标1.理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法).2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.3.经历探索同底数幂的乘法法则的过程,进一步体会幂的意义,提高推理能力和有条理的表达能力.教学重难点教学重点：理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法).教学难点：运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.教 学 过 程备 注1.回顾复习，巩固旧知老师：同学们，还记得什么叫幂吗？举例说明一下.学生1：35就是幂.学生2：(12)8也是幂.老师：是的，我们知道求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 老师：接下来我们一起探索一下有关幂的运算.2.创设情境，引入课题问题 我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号3计算机每秒可进行2.57×1015次运算，问它工作1 h(3.6×10³s)可进行多少次运算？老师：根据以前学过的知识，我们可以列出算式（2.57×1015）×（3.6×10³）.老师提问：如何简洁地把结果表示出来呢？学生甲：首先还原用科学记数法表示的数，然后相乘，最后把结果写成科学记数法的形式.老师：这样确实可以得到结果，但是过程比较繁琐，且容易出错.老师：我们观察这个算式，可以发现，两个括号中的幂的底数都是10，也就是同底数幂，所以本节课我们就来研究同底数幂的乘法.3.探索新知，归纳知识老师提问：哪位同学能用式子说明一下乘方的意义?学生乙：老师继续提问：2×2×2×2×2可以记作什么？学生丙：可以记作25.老师：大家现在把教材P45思考里表格第2行填一下.学生1板书：10×10×10×10×10×10×10 107老师：书写正确，那如果把数字换为字母a是否也可以这样做呢？同学们可以回顾一下乘方的意义.（请2位同学板书填一下表格第3、4行）学生2：a·a·a·a·a a5学生3：a·a·a·a·a·a·a·a·a a9老师：几位同学填的都很正确，我们来观察一下这个表格，同学们能发现什么规律？同学们先分组讨论，然后找两个小组代表说一下. 1组学生代表：我们发现这几个算式都是同底数幂的数相乘，并且它们的结果的幂的底数也和前面乘数的幂的底数相同.4组学生代表：我们发现最终的结果，幂的指数是前面相乘的两个幂的指数和.老师：同学们能自主发现规律，值得表扬.那么1组和4组同学发现的规律是否正确呢？是不是巧合，我们来验证一下.老师：请同学再以小组为单位，计算一下am·an的值.（讨论过后请3、6组学生代表上讲台在黑板上计算）3组学生代表：……6组学生代表：……老师：上面两位同学给出的答案都正确.我们来看一下每一步计算的意义.一般地，如果字母m,n都是正整数，那么老师：只有理解了计算的依据，才算是真正学会了计算.（师生互动）由此得幂的运算性质1：am·an=am+n（m、n都是正整数）.老师：请同学们用语言表示这条性质.学生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.老师：学习了同底数幂的乘法，下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则.【教材例题】例1 计算：老师：下面我们请两位同学先分别说一下式子中的底数是什么，指数是什么，再上来做一下这两道题，其他同学在作业本上做. 学生1：学生2：老师：两位同学做的很对，接下来我们来看一下第（3）小题.（3）a²·a³·a6； （4）(-y)3·y4.老师：对于这种含有三个式子的，该怎样计算呢？同学们可类比乘法结合律，分步计算，然后总结规律.学生3：a²·a³·a6=（a²·a³）·a6=a2+3·a6=a2+3+6=a11.老师：根据这位同学的解答，我们可以总结：am·an·ap=am+n+p.接了下来我们一起看一下第（4）题.（师生互动）(-y)3·y4=-y3·y4=-y3+4=-y7.4.学以致用，应用新知考点1 底数为单项式的同底数幂的乘法【例1】计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)mn＋1·mn·m2·m.解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.考点2 底数为多项式的同底数幂的乘法【例2】计算：(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·解：原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n.考点3 同底数幂的乘法法则的逆用【例3】 已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．解析：把am＋n变成am·an，代入求值即可．解：因为am＝3，an＝21，所以am＋n＝am·an＝3×21＝63.5.随堂训练，巩固新知（1）计算（a-2b）2n·（b-a）·（a-b）m-1的结果是（ ）答案:B（2）已知 an－3 ·a2n+1 = a10（a≠0，且 a≠±1），求 n 的值.解：由题意，知n-3+2n+1=10，解得n=4.（3）已知 xa= ，xb=3，求xa+b的值.解：xa+b=xa·xb=2×3=6.（4）已知我国平均每平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3×108千克煤所产生的能量，那么我国山东省约15.58万平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤所产生的能量？6.课堂小结，自我完善幂的运算性质1：am·an=am+n（m、n都是正整数）.7.布置作业课本P46练习第1-2题，P54习题8.1第1题.在复习的基础上，引导学生通过具体数字的同底数幂的乘法的运算，经过观察、概括、归纳推理，培养学生养成合作交流与自主探索的学习习惯.通过创造一种与现实生活有联系的问题情境，使学生体会到学习本节课的必要性，激发学生学习的热情.通过提问的形式，让学生自主观察、思考，引导学生积极交流、归纳总结，从观察、思考到探究的过程，要给学生留一定的时间和空间，让他们自主探索交流.让学生动手做一做，主动探究，在自己实践中获得对同底数幂的乘法的感性认识，进而在教师的引导下，通过合作交流，思维碰撞，实线“再创造”的过程，形成新的知识结构，发展了思维能力.幂的基本性质1是最基本的性质，课堂中要提醒学生对比记忆，幂的加法要求底数相同，指数也要相同.以提问的形式讲解例题，让学生先明确底数和指数分别是什么，再观察是不是同底数幂相乘，然后套用性质进行计算.对三个或三个以上因式的同底数幂相乘，可引导学生逐层或类比进行计算.同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am×an.板书设计教后反思本节课引导学生观察、探究、归纳幂的运算性质1（同底数幂的乘法法则），在观察时能体现出学生观察的角度的差异，这时老师需要多鼓励学生，对学生的各种观察结果尽心指导，培养学生自主探索、合作交流的学习习惯.课题幂的乘方课型新授课教学内容教材第47-48页的内容教学目标1.理解幂的运算性质2，并掌握幂的乘方的运算.2.运用幂的乘方解决实际问题．3.正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法.教学重难点教学重点：理解幂的运算性质2，并掌握幂的乘方的运算.教学难点：正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？老师：已知球体的体积公式是其中是球的体积，r是球的半径.下面找两位同学回答下面问题.（师生活动）（学生口答，老师板书）木星的半径是地球半径的10倍，它的体积是地球的 10³ 倍.太阳的半径是地球半径的10²倍，它的体积是地球的 (10²)³ 倍.老师：两位同学根据体积公式回答的都很正确，我们知道10³=1 000，那么(10²)³等于多少呢？学生：(10²)³=10²×10²×10²=106.老师：这个结果正确吗？让我们带着这个问题开启今天的新知识.2.探索新知，归纳知识老师：在上节课的时候我们回顾了乘方的意义.（师生互动）学生回答，老师板书.求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，即老师：根据乘方的意义，我们可以把下面表格中第1列，括号内的数可以看作是相同的因数a，下面我们找一位同学上来填一下这个表格的第2列.（学生填完）老师：填的很正确，这个运算的过程，其实就是乘方运算过程的逆运算，即老师：根据上面的运算过程，如果继续往下算，需要应用什么知识？（提问学生）学生：会用到同底数幂的乘法.老师：按照同底数幂的乘法法则计算表格中的第3列.学生：老师：同学们观察一下，分别讨论一下幂的乘方有什么规律？（讨论过后，老师提问两组学生代表回答）1组学生代表：我们发现计算幂的乘方时，是依据乘方的意义与同底数幂的乘方，因此每次计算时，先把它们展开，再把指数相加就能得到答案.4组学生代表：1组的发现我们也得到了，另外我们发现了计算的简便方法，上面几个题的结果，都是与因式相同的底数，指数是因式的指数与乘方的指数的乘积，不知道是不是巧合？老师：4组学生观察的很细致，接下来我们一起验证一下关于结果的结论是不是巧合.（师生互动）老师：根据上面我们推理的过程，可见前面几个题的结果不是巧合，正是幂的乘方的运算法则.所以我们就得到了：幂的运算性质2：（m,n都是正整数）.老师：请同学们用语言表示这条性质.学生：幂的乘方，底数不变，指数相乘.老师：下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则.【教材例题】（找三位同学上讲台在黑板上做）例2 计算：（1）（105）3； （2）（x4）²； （3）（-a²）³.3.学以致用，应用新知考点1 直接应用幂的运算性质2进行计算考点2 底数为多项式的同底数幂的乘法【例2】已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．解：因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，考点3 根据幂的乘方的关系，求代数式的值【例3】 已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2)y的值为________．解析：由2x＝8y＋1，9y＝3x－9得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2)y＝7＋3＝10.考点4 比较幂的大小【例4】已知a＝833，b＝1625，c＝3219，试比较a，b，c的大小．解：因为a＝833＝(23)33＝299，b＝1625＝(24)25＝2100，c＝3219＝(25)19＝295，显然95＜99＜100，所以c＜a＜b.4.课堂小结，自我完善幂的运算性质2：（m,n都是正整数）.5.布置作业课本P48练习第1-2题，P54习题8.1第2题.用实际问题引入幂的乘方的运算，引导学生自主探索幂的乘方，让学生体会幂的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系.带领学生回顾乘方的意义，引导学生自主探索幂的乘方的运算过程，进而总结出幂的乘方的运算法则.填表格的过程中，让学生说明每个题中的底数是什么，指数是什么.注意给学生预留出小组交流讨论的时间，鼓励学生之间合作探索，发现规律，并总结出运算法则，提高学生的归纳总结能力.在开始学习幂的乘方运算时，教师板书尽量规范，并给出每一步的计算依据，这样有利于学生理解记忆.鼓励学生学完新知识后自主做练习，养成课堂学习，课后巩固的学习习惯.本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，同时体现了整体代入思想．板书设计教后反思本节课通过创设有实际意义的问题情景，激发学生的学习兴趣，授课过程中设计探究活动，引导学生进行思考、合作与交流，在学生活动中，教师要适时点拨，及时进行指导，鼓励学生大胆发言，促进学生的思维发展.课题积的乘方课型新授课教学内容教材第48-49页的内容教学目标1.理解幂的运算性质3，并掌握积的乘方的运算.2.经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用.3.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.教学重难点教学重点：理解幂的运算性质2，并掌握幂的乘方的运算.教学难点：正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题地球可以近似地看做是球体,地球的半径约为6.4×10³km,它的体积大约是多少立方千米?(π取3.14)老师：已知球体的体积公式是其中是球的体积，r是球的半径.下面找两位同学回答下面问题.（师生活动）（学生口答，老师板书）地球的体积是老师：（6.4×10³）³等于多少呢？哪位同学可以利用之前学过的知识计算一下呢？学生：老师，我觉得可以利用乘方的知识，展开这个式子，然后再计算.（学生上台板书）（6.4×10³）³=（6.4×10³）×（6.4×10³）×（6.4×10³）=（6.4×6.4×6.4）×（10³×10³×10³）=262.144×109=2.62144×1011.老师：这位同学计算的很正确，利用了我们之前学习过的乘方的意义，还有乘法交换律与结合律，同学们在以后的学习中也要懂得回顾旧知，新知识的解答往往依靠旧知的方法.接下来我们顺着这个思路来探索一下，幂的运算的另一个性质.2.探索新知，归纳知识老师：怎样计算(ab)2，(ab)3，(ab)4？（找三位同学分别来解答一下这三道题，其他同学在作业本上计算）学生1：(ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=a²b².学生2：(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(aaa)·(bbb)=a3b3.学生3：(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)=(aaaa)·(bbbb)=a4b4.老师：计算正确.如果是(ab)n呢，改怎样计算?（学生交流讨论后，回答，老师板书）一般地，如果字母n是正整数，那么注意：提醒学生,类比两个整数相乘时，这两个整数都是它们积的因数，所以a和b相乘时，a和b叫做ab的因式.老师：这样我们就得到了幂的运算性质3：（ab）n=anbn（n是正整数）.用语言文字叙述：积的乘方等于各因式乘方的积.老师：下面我们利用这个性质，做一下例题.例3 计算：（学生板书）(1)(2x)4 ; (2)(-3ab²c³)2.=(2x)·(2x)·(2x)·(2x) =(-3ab²c³)·(-3ab²c³)=(2×2×2×2)·(x·x·x·x) =(-3)²·(a)²·(b²)²·(c3)²=24x4=16x4 =9a3b4c6老师：上面两题计算正确.请同学们自己课下做一下例4，验证一下本节课开始某同学计算的是否正确.并且探索一下，三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 3.学以致用，应用新知考点1 含积的乘方的混合运算【例1】计算：（1）2(x3)2·x3－(3x3)3 + (5x)2 · x7；（2）(3xy2)2 + (－4xy3) · (－xy)；解：（1）原式= 2x6·x3－27x9+25x2 · x7 = 2x9－27x9 + 25x9 = 0.（2）原式= 9x2y4 + 4x2y4=13x2y4.考点2 根据幂的乘方的关系，求代数式的值【例2】若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值．解：因为a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9.考点3 利用积的乘方比较数的大小【例3】试比较大小：213×310与210×312.解：因为213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，所以213×310＜210×312.4.课堂小结，自我完善幂的运算性质3：（n是正整数）.5.布置作业课本P49练习第1-2题，P54习题8.1第3题.用实际问题引入积的乘方的运算，引导学生自主探索积的乘方，让学生体会积的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系.鼓励学生自主探索，对于学生的回答，不能单纯评判对与错，主要是引导学生有一个思考的过程，让学生自己探索并归纳出结论.把数字换成字母，让学生根据上面的探索过程，自主计算，最终归纳出结论.渗透类比思想，帮助学生理解因式，同时为后面学习整式乘法奠定了基础.引导自主探索(abc)n，把性质3推广至三个或三个以上的积的平方，课堂有时间的情况下可以带领学生一起推导验证.注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.板书设计教后反思本节课的探究方式与上一课时相似，因此在教学中可以就此展开教学．在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用.课题同底数幂的除法课型新授课教学内容教材第50-51页的内容教学目标1.理解并掌握幂的运算性质4（同底数幂的除法），能直接运用其进行计算.2.掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题．教学重难点教学重点：理解并掌握幂的运算性质4（同底数幂的除法）.教学难点：运用同底数幂的除法法则进行相关运算.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴?老师：读完题目，我们可以列出怎样的算式呢？（提问学生）学生：可以列式为1012÷109.老师：这个式子应该怎么计算呢？请同学们讨论一下，类比同底数幂的乘法观察一下这个式子有什么特点，并计算一下？（学生活动）这个式子和同底数幂的乘法类似，形式上只是把乘号换成了除号，两个底数都是10的幂相除.所以1012÷109=（103×109）÷109=103.老师：听到同学们的分析都很全面，我们给这个式子起个名字，把1012÷109这种运算称为同底数幂的除法.带着这个问题，我们来探究：同底数幂的除法法则.并验证同学们的计算是否正确.2.探索新知，归纳知识老师：首先找两位同学，仿照前一节学习的同底数乘法法则及表格第一行，完成下面表格.（红色笔处是学生所填写，老师点评）老师：大家填的都是正确的，下面请其中一位同学说明一下填写的依据.学生：a4÷a2的运算过程，是依据幂的意义，例如，分子上把幂a4展开，写成4个a相乘的形式，分母上把幂a²展开，写成2个a相乘的形式，然后根据除法的意义，得到结果.老师：观察上表，发现同底数幂相除有什么规律？学生：发现最终的结果还是幂的形式，底数和被除式（除式）的底数相同，指数等于前面两个幂的指数的差.老师：这位同学总结的规律正确吗？接下来我们根据幂的意义及除法的意义来验证.计算am÷an（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）.（师生互动）根据上面的运算，我们把指数换成字母，注意m＞n，我们一起写一下计算过程： =am-n.老师：这时候我们发现，上一位同学总结的规律是正确的.这样我们就得到了米的运算性质4：am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）.用语言文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减.老师：学习了同底数幂的除法，下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则.【教材例题】例1 计算：老师：下面我们请两位同学先分别说一下式子中的底数是什么，指数是什么，再上来做一下这两道题，其他同学在作业本上做. 学生1：学生2：老师：两位同学做的很对，接下来我们来看一下第（3）小题.（3）（a-b）5÷（b-a）4.老师：提醒一下，这种我们可以把（a-b）看作一个整体，然后进行计算.下面我们一起看一下这个题.（师生互动）不妨设t=a-b，则b-a=-t，此时，原式=t5÷（-t）4=t5÷t4=t，所以（a-b）5÷（b-a）4=a-b.3.学以致用，应用新知考点1 直接运用幂的运算性质4进行计算【例1】 计算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)．解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(－xy)看作一个整体；(2)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(3)把(a2＋1)看作一个整体．解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)＝(a2＋1)6－4－1＝a2＋1.考点2 逆用幂的运算性质4进行计算【例2】已知am=8,an=5.求：（1）am－n的值； (2)a3m－3n的值.解：(1)am－n=am÷an=8÷5 =1.6.(2)a3m－3n=a3m÷a3n=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125=512125.4.随堂训练，巩固新知（1）若a-4b-2=0,则3a÷81b等于( )A. 9 B. 19 C. 6 D. 16 答案:A（2）已知32·92x+1÷27x+1=81,求x的值.解：因为32·92x+1÷27x+1=32·(3²)2x+1÷(3³)x+1 =32·34x+2÷33x+3 =32+4x+2-(3x+3) =3x+1=81=34,所以x+1=4,解得x=3,所以x的值为3.（3）地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？解：由题意，得106÷104=10²=100.所以加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的100倍.5.课堂小结，自我完善幂的运算性质4：am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）.6.布置作业课本P50练习第1-2题，P54习题8.1第4、7题.通过创造一种与现实生活有联系的问题情境，使学生体会到学习本节课的必要性，激发学生学习的热情.教师鼓励学生根据幂的意义和除法的意义，独立探索计算.鼓励学生自主探索，通过对具体数的计算，引导学生类比同底数幂的乘法，总结归纳出同底数幂的除法的运算性质，并运用幂的意义与除法的意义加以说明.在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，提升归纳、符号演算等推理能力.这里应让学生格外注意性质成立的条件：a≠0，m＞n，体会它的必要性.这里把（a-b）看作一个整体，实际上渗透着“换元”的思想，对于这种不同底数的，要想办法换为相同底数，然后再进行计算.计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．同底数幂的除法法则的逆用：am－n=am÷an板书设计教后反思本节课引导学生观察、探究、类比、归纳幂的运算性质4（同底数幂的除法法则），过程中培养学生自主探索、合作交流的学习习惯.并且在初步学完练习时，要鼓励学生说明每一步的计算理由，而不是直接套用公式，进一步体会乘方和幂的意义.课题零次幂、负整数次幂的运算课型新授课教学内容教材第51-53页的内容教学目标1.通过对具体数的运算，使学生通过归纳，获得对零次幂和负整数次幂意义的猜想.2.理解零次幂和负整数指数幂的概念及性质.3.会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.教学重难点教学重点：理解零次幂和负整数指数幂的概念及性质.教学难点：会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：根据以前学过的知识，计算下面各题：10÷10=______；10²÷10²=_______；10³÷10³=_________.学生：全都是1.10÷10=1；10²÷10²=100÷100=1；10³÷10³=1 000÷1 000=1.老师继续提问：那下面几道题的结果呢？10÷100=______；10÷10³=_______；10÷104=_________.学生：10÷100=110；10÷10³=101 000=1100=110²；10÷104=1010 000=11 000=110³.老师：上面几道题的计算都正确.下面我们来探究新知识.【探究】我们上一节课得到了当m＞n时，的运算法则，那么当m≤n(m,n都是正整数)时，又如何计算呢？2.探索新知，归纳知识（1）当被除式的指数等于除式的指数（即m=n）时，例如，33÷33=1，108÷108=1，an÷an=1.我们知道，所得的商都是1，下面我们按照同底数幂的除法性质进行计算，得（找三位同学上台板书演示）学生1：33÷33=33-3=30，学生2：108÷108=108-8=100，学生3：an÷an=an-n=a0.老师：同学们观察一下，这两种算法，你有什么发现？（学生回答，老师板书）发现：30=1，100=1，a0=1.老师：这样就出现了零次幂.我们约定：a0=1（a≠0）.用语言叙述：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.（2）当被除式的指数小于除式的指数（即m＜n）时，例如，32÷35=______,104÷108=______,am÷an=___________.老师：下面找三位同学，按照分数约分的方法计算上面三个算式.老师：下面我们再找三位同学，仿照同底数幂的除法性质进行计算.32÷35=32-5=3-3；104÷108=104-8=10-4；am÷an=am-n=a-p（p=n-m）.老师：这样就出现了负整数次幂.所以我们约定：用文字语言叙述：何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.老师总结：通过上面的探究过程，对于同底数幂的除法，在计算时，就不需要限制条件m＞n了.也就是，【教材例题】例5 计算：（1）106÷106； （2）（3）（-2）³÷（-2）5.解：（1）106÷106=106−6=100=1.（3）（-2）³÷（-2）5=（-2）3-5=（-2）-2=1(−2)²=14.3.学以致用，应用新知考点1 零次幂和负整数次幂中底数的取值范围【例1】若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≠3且x≠2 C．x≠3或x≠2 D．x＜2解析：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.答案：B 考点2 比较数的大小【例2】若a＝(－eq \f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq \f(3,2))0，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＝c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：因为a＝(－eq \f(2,3))－2＝(－eq \f(3,2))2＝eq \f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq \f(3,2))0＝1，所以a＞c＞b.故选B.答案：B考点3 分类讨论有多种解的问题【例3】已知(2x+3)x+2 021=1,求x的值.解:此题要分情况讨论.①当2x+3=1时,解得x=-1,则x+2 021=2 020,此时(2x+3)x+2 021=12 020=1.②当2x+3=-1时,解得x=-2,则x+2 021=2 019,此时(2x+3)x+2 021=(-1)2 019=-1.③当x+2 021=0时,解得x=-2 021,则2x+3=2×(-2 021)+3=-4 039≠0,此时(2x+3)x+2 021=(2x+3)0=1.综上所述,x的值为-2 021或-1.4.随堂训练，巩固新知（1）若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )A．x≥6 B．x≤6 C．x≠6 D．x＝6解析：因为(x－6)0＝1成立，所以x－6≠0，解得x≠6.故选C.答案：C（2）计算下列各式：①30÷5-2； ②（-5）5÷（-5）17.③24÷12-2×2²； ④（2 023-π）0÷−2-2.解：①30÷5-2=30-（-2）=3²=9. ②（-5）5÷（-5）17=(-5)5-17=5-12.③24÷12-2×2²=24÷2²×2²=24. ④（2 023-π）0÷−2-2=1÷122=4.（3）若(x-1)x＋1=1，求x的值.解：①当x＋1=0，即x=-1 时，(x-1)x＋1=(-2)0=1； ②当x-1=1，即x=2 时，(x-1)x＋1=13=1； ③当x-1=-1，即x=0 时，(x-1)x＋1=(-1)1=-1.故x的值为-1或2.5.课堂小结，自我完善①零次幂：约定：a0=1（a≠0）.任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.②负整数次幂：约定：何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.③同底数幂的除法法则：am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数）.6.布置作业课本P53练习第1-2题，P54习题8.1第5、6、8题.通过对具体数的运算，引入零次幂与负整数次幂的学习.根据不等于零的一个数除以本身其商为1，直接得出第一组算式的商，引出零次幂；根据分数约分的方法计算第二组算式，引出负整数次幂.引导学生利用两种不同的方法，计算、归纳出零次幂和负整数次幂的运算.注意提醒学生使用同底数幂的除法，从而将同底数幂的除法推广到m=n的情形.用具体的实例通过数的约分计算和比较同底数幂的除法的性质，得到负整数次幂的运算，并将同底数幂的除法推广到m＜n的情形.同时，利用负整数次幂，结合科学记数法可以表示绝对值小于1的数（为下一节奠定基础）.将同底数幂的除法运算法则中的m,n扩大到全体整数.本题考查的是零次幂和负整数次幂，非0数的零次幂等于1，注意：零次幂的底数不能为0，负整数次幂的底数不能为0.关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．提醒学生注意，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．引导学生归纳总结，等于1的幂的情况：①1的任意次幂都等于1；②（-1）的偶次幂等于1；③非零数的零次幂等于1.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.板书设计教后反思本节课引导学生计算、猜想、归纳零次幂和负整数次幂的运算，课堂中鼓励学生自主探究，小组合作交流，调动学生学习的积极性，在拓展学生学习空间的同时，有效地保证课堂学习质量.课题用科学记数法表示绝对值小于1的数课型新授课教学内容教材第53-55页的内容教学目标1.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.2.能在具体情景中感受绝对值小于1的数的大小.教学重难点会用科学记数法表示绝对值小于1的数.教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：我们上册时学过用科学记数法来表示一些绝对值大于10的数，例如：2 280 000=____________；-96 200 000 000=____________.（找两个学生回答）学生1：2.28×106.学生2：-9.62×1010.老师：回答正确.看来同学们已经掌握了用科学记数法表示绝对值大于10的数，（师生互动）学生一起回答，老师板书.一般地，一个绝对值大于10的数都可记成±a×10n的形式,其中1≤a＜10，n是正整数，n 等于原数的整数位数减 1.老师提问：如果是绝对值小于1的数呢？例如：细胞的直径只有1微米(um)，即0.000 001 m.0.000 001用科学记数法怎么表示？本节课我们就来探究如何用科学记数法表示绝对值小于1的数.2.探索新知，归纳知识老师：请同学们先分组交流讨论，用科学记数法表示0.000 001.（老师提问）4组学生代表：我们小组是利用分数进行转化的，0.000 001=11 000 000=1106=10−6.老师：首先这种方法是正确的，其次该组同学的结果也正确.总结：把小数转化为分数，然后把把分母写成幂的形式，最后结合负整数次幂即可写成科学记数法的形式.老师：下面用科学记数法表示-0.000 43.（写出转化的过程）学生：−0.000 43=−4.310 000=−4.3104=−4.3×10−4.老师：表示正确.这里同学们需要特别注意，分子的绝对值必须满足大于等于1小于10.（师生互动）通过上面两个数，用科学记数法表示的方法，我们可以总结：绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a＜10,n是正整数,n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零).【教材例题】例6 用科学记数法表示下列各数：（1）0.000 76； （2）-0.000 001 59.解：（1）0.000 76=7.6×0.000 1=7.6×10-4.（2）-0.000 001 59=-1.59×0.000 001=-1.59×10-6.3.学以致用，应用新知考点1 用科学记数法表示绝对值小于1的数【例1】世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000 005克.用科学记数法表示上述两个数据.解：0.021厘米用科学记数法表示为2.1×10-2厘米；0.000 005克用科学记数法表示为5×10-6克.考点2 用科学记数法进行计算【例2】在电子显微镜下测得一个圆球形体细胞的直径是0.000 005 cm,求20 000个这样的细胞排成的细胞链的长度.解：0.000 005=5×10-6,20 000=2×104.0.000 005×20 000=5×10-6×2×104=5×2×10-6×104=10×10-2=10-1=0.1(cm).答:20 000个这样的细胞排成的细胞链的长度为0.1 cm.考点3 将用科学记数法表示的数还原为原数【例3】用小数表示下列各数.(1)5.2×10-5; (2)1.05×10-5；(3)-1×10-2; (4)-7.001×10-3.解：(1)5.2×10-5=0.000 052； (2)1.05×10-5=0.000 010 5；(3)-1×10-2=-0.01； (4)-7.001×10-3=-0.007 001.4.随堂训练，巩固新知（1）一个只有昆虫大小的机器人，机身由碳纤维制成，重量为0.000 106千克，0.000 106用科学记数法可表示为( )A．1.06×10－4 B．1.06×10－5C．10.6×10－5 D．106×10－6答案：A（2）用小数表示下列各数：①2×10-7; ②-3.14×10-5; ③7.08×10-3.解：①2×10-7=0.000 000 2. ②-3.14×10-5=-0.000 031 4.③7.08×10-3=0.007 08. 5.课堂小结，自我完善（1）用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a＜10,n是正整数,n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零).（2）还原用科学记数法表示的数将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．6.布置作业课本P54练习第1-2题，P54习题8.1第9题.本节通过回顾复习，类比用科学记数法表示绝对值大于10的数，引入用科学记数法表示绝对值小于1的数.教学中注意引导学生对比用科学记数法表示绝对值大于10的数的方法，并结合负整数次幂的意义自主探索用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法.教材例题的答案将探索过程中分数的形式改为小数的形式，可以让学生体会到指数n的确定.用科学记数法表示较大或较小的数，有利于按幂的运算性质简化计算.将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.板书设计教后反思本节课引导学生回顾复习，类比用科学记数法表示绝对值大于10的数的方法，归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法.课堂中鼓励学生自主探究，小组合作交流，调动学生学习的积极性，在拓展学生学习空间的同时，有效地保证课堂学习质量.课题单项式乘单项式课型新授课教学内容教材第56-58页的内容教学目标1.在具体情境中了解单项式与单项式乘法的意义.2.理解单项式与单项式乘法法则,能进行简单整式乘法运算.3.在经历探索整式乘法法则的过程中，让学生感受运算律是运算的通性、是获得运算法则的基础，感受转化思想方法，进一步法则学生有条理地思考和表达能力.教学重难点教学重点：理解单项式与单项式乘法法则,会利用法则进行乘法运算.教学难点：能够熟练运用单项式乘单项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师：前面学习过哪些幂的运算性质？我们找几位同学回答一下.学生1：同底数幂的乘法——am·an = am+n（m,n为正整数)学生2：幂的乘方——(am)n = amn（m,n为正整数)学生3：积的乘方——(ab)n = anbn（n为正整数)老师：同学们回答的都很正确，听见还有同学说我们还学习了同底数幂的除法，是的，这个我们下一节再来回顾.幂的这些运算性质就是我们今天学习新知识的工具，接下来我们看一个利用光速来计算距离的问题.2.创设情境，引入课题问题① 光的速度大约是3×105km/s,从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年才能到达地球，1年以3×107s计算，试问地球与这颗恒星的距离约为多少千米？老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的路程问题.显然解决问题需要用到“路程=速度×时间”这个公式，找一位同学来列一下式子.学生：地球与比邻星的距离应是（3×105）×（4×3×107）km.老师：这个式子是正确的，那么该怎么计算呢？小组讨论一下.（找小组代表上台板书演示）2组学生代表：（3×105）×4×3×107）=3×4×3×105×107 ①=（3×4×3）×（105×107） ②=36×1012 ③=3.6×1013. ④老师：书写的很完整.我们一起分析一下这位同学的计算过程，看看计算过程中应用了哪些性质，对比一下自己做的，思路有什么不同.（师生互动）第①步的运算，应用的是：乘法交换律；第②步的运算，应用的是：乘法结合；第③步的运算，应用的是：同底数幂的乘法；第④步的运算，应用的是：科学记数法.老师：如果把上面算式中的数字换成字母，例如bc5×abc7,该如何计算呢？3.探索新知，归纳知识老师：我们仿照上面的计算过程，一起做一下这道题.bc5×abc7=b×c5×a×b×c7 （展开式子）=a×（b×b）×（c5×c7） （乘法交换、结合律）=a×b²×c12 （同底数幂的乘法）=abc12. （最终结果省略乘号）下面请同学们独立完成下面两道题.（提问2名学生回答）4x2y·3xy2=(4×3)·(x²· x )·(y· y² ) = 12x³y³ ；5abc·(-3ab)=[5×(-3)]·(a· a )·(b· b )·c = -15a²b²c .老师：从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法的法则吗？（学生分组交流）学生1：系数分别相乘，同底数的幂分别相乘，最终结果省略乘号.老师：还有补充的吗？学生2：对于只在一个单项式中的字母也要写在结果中.老师：很好，下面我们一起汇总一下这两位同学的回答.单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【教材例题】例1 计算：（师生互动，老师板书）解：23.学以致用，应用新知考点1 直接利用单项式与单项式相乘的法则进行计算【例1】(1)－2a2b3•(－3a)； (2)7xy2z • (2xyz)2；解：(1)－2a2b3•(－3a)=（-2）×（-3）•a2•a•b³=6a³b³. (2)7xy2z • (2xyz)2=7xy2z • (4x2y2z2) =7×4•x·x²·y2•y2•z·z2 =28x³y4z³.考点2 单项式乘以单项式与同类项的综合【例2】 已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，求m，n的值.解：（9am+1bn+1）×（-2a2m-1b2n-1）=9×(-2)×(am+1·a2m-1)×(bn+1·b2n-1)=-18a3mb3n.根据题意，可得3m=3,3n=6,解得m=1,n=2.考点3 单项式与单项式相乘的实际应用【例3】有一块长为 x m，宽为 y m 的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m，宽34y m 的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．解：绿化的面积是35x ×34y=920xy（m²）.剩下的面积xy−920xy=1120xy（m²）.4.随堂训练，巩固新知（1）2021贵港中考）下列计算正确的是( )A．a2＋a2＝a4 B．2a-a＝1 C．2a·(-3a)＝-6a2 D．(a2)3＝a5答案：C（2）计算：①(4x4y)2·(-xy3)5； ②5x2y·(-2xy2)3.解：①(4x4y)2·(-xy3)5=(16x8y2)·(-x5y15)=-16（x8·x5）·（y2·y15）=-16x13y17.②5x2y·(-2xy2)3=5x2y·(-8x3y6)=5×(-8)·(x2·x3)·(y·y6)=-40x5y7.（3）已知2x3y2·(-3xmy3)·5x2yn＝-30x6y8，求m＋n的值．解：因为2x3y2·(-3xmy3)·5x2yn＝-30xm＋5yn＋5＝-30x6y8，所以m＋5＝6，n＋5＝8，即m＝1，n＝3.所以m＋n＝4.(4)已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3-a3m·b3n·a5m的值．解：因为a2m＝2，b3n＝3，所以(b2n)3-a3m·b3n·a5m＝(b3n)2-a8m·b3n＝32-(a2m)4×3＝32-24×3＝-39.5.课堂小结，自我完善单项式乘单项式的运算法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.6.布置作业课本P57练习第1、2、4题，P65习题8.2第1-2题.回顾幂的运算性质，为学习整式乘法奠定基础.从天文学的角度创设教学情景舞，引入整式乘法的运算，教学时让学生体会数学与现实生活的联系和学习新知识的必要性.鼓励学生利用已学的知识自主探索计算方法.将数字换成字母，引导学生归纳出单项式的乘法法则.在计算过程中让学生明白每一步运算的道理.通过两个实例，让学生独立计算，进一步体会计算过程，理解运算法则.切记不要求学生死记硬背，让学生不断练习，在计算的过程中理解，避免与后面学习的法则混淆.老师板书，提醒学生初步学习不可省略步骤.注意要先算平方，然后再按单项式与单项式相乘的法则计算.让学生独立完成，互相检查.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.板书设计教后反思本节课通过实际问题创设情境引入单项式的乘法，这一节是学习整式乘法的关键，是单项式乘多项式、多项式乘多项式的基础.单项式的乘法综合用到了有理数的乘法、幂的运算性质等，在整式乘法中占有重要地位，在教学时，让学生通过自主探索、尝试计算，体验单项式乘法的运算规律.课题单项式除以单项式课型新授课教学内容教材第58-59页的内容教学目标1.理解单项式除以单项式的含义，并掌握单项式除以单项式的运算法则.2.能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题．教学重难点教学重点：理解单项式除以单项式法则,会利用法则进行除法运算.教学难点：能够熟练运用单项式除以单项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师：前面学习过哪些幂的除法运算性质？我们找1位同学回答一下.学生1：同底数幂的除法——am÷an=am-n（m,n为正整数)老师：幂的这个运算性质就是我们今天学习新知识的工具，接下来我们看一个有关自然现象的问题.2.创设情境，引入课题下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”，这是因为光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度为3×108 米/秒，而声音在空气中的传播速度约3×10²米/秒，你知道光速是声速的多少倍吗？老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的倍数问题.找一位同学来列一下式子.学生：光速是声速的（3×108）÷（3×102）倍.老师：这个式子是正确的，那么该怎么计算呢？小组讨论一下.（找小组代表上台板书演示）4组学生代表：（3×108）÷（3×102）=3÷3×108÷102 ①=（3÷3）×（108÷102） ②=1×106 . ③老师：书写的很完整.【自主探究】你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由.(1) x5y÷x2； (2) 8m2n2÷2m2n.（学生讨论，提问2组学生代表回答）1组学生代表：我们是利用乘除法的互逆计算的.3.探索新知，归纳知识老师：我们一起用上面的方法计算15a4b3x2÷3a2b3.方法1：我们知道，计算15a4b3x2÷3a2b3，就是要求一个单项式，使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2. 因为（5a²x²）·（3a2b3）=15a4b3x2，所以15a4b3x2÷3a2b3=5a²x².老师提问：分析所得式子，能得到什么规律？（学生分组讨论，老师提问，学生口答）学生1：结果中的5= 15÷3 ；学生2：结果中的a2= a4÷a2=a4-2 ；利用了 同底数幂的除法 ；学生3：结果中的x2= x2÷1 ；学生4：因为被除式与除式中都有 b3 ，b3÷b3=1，所以结果中 没有字母b . 老师：根据上面的分析，我们可以总结出：单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.【教材例题】例2 计算：（点名2位学生黑板上演示） 解： 例3 “卡西尼”号土星探测器历经7年多、行程约3.5×109km后进入环绕土星运行的轨道.（1）它的这一行程相当于地球赤道多少圈？（已知地球半径约6.4×10³km，π取3.14）解：根据题意，可列式为3.5×109÷(2×3.14×6.4×103)≈8.7×104（圈）.探测器的行程相当于地球赤道约87 000圈.（2）这一行程如果由速度是100km/h的汽车来完成，需要行驶多少年？（1年按365天计算）解：根据题意，可列式为3.5×109÷(365×24×100)≈4.0×103（年）.探测器的行程相当于由速度为100km/h的汽车行驶约4 000年.（3）这一行程如果由速度是10m/s的短跑飞人来完成，需要跑多少年？解：根据题意，可列式为3.5×109÷(365×24×3.6×103×10×10-3)≈1.1×104（年）.探测器的行程相当于由速度为10m/s的短跑飞人跑约11 000年.3.学以致用，应用新知考点1 直接利用单项式除以单项式的法则进行计算【例1】(1)－x5y13÷(－xy8)； (2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－eq \f(5,6)a5b2).解：(1)－x5y13÷(－xy8)＝x5－1·y13－8＝x4y5； (2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－eq \f(5,6)a5b2)＝[(－48)÷24×(－eq \f(5,6))]a6－1＋5·b5－4＋2·c＝eq \f(5,3)a10b3c.考点2 已知整式除法的恒等式，求字母的值【例2】若a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，求a,m,n的值.解：因为a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，所以ax3my12÷9x4y2n=4x2y2，所以a÷9=4,3m-4=2，12-2n=2，解得a=36,m=2，n=5.考点3 单项式除以单项式的实际应用【例3】 2022年6月28日金沙江巨型水电站全国爱国主义教育示范基地开放日活动暨《水电建设》特种邮票首发仪式在白鹤滩水电站举行。白鹤滩水电站自2021年开始实现发电以来，截止到2022年6月，累计发电量已经达到290亿千瓦时，若某市有10万户居民，平均每户居民每年用电1.45×103千瓦时。那么白鹤滩水电站累计发电量可供该市居民使用多少年？解：该市年用电量为1.45×103×105=1.45×108(千瓦时)，（2.9×1010)÷(1.45×108)=(2.9÷1.45)×1010-8=200(年).答：白鹤滩水电站累积发电量可供该市居民使用200年.4.随堂训练，巩固新知（1）（重庆中考）计算3a6÷a的结果是( ) A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5答案：D（2）如果“□×2ab＝4a2b”，那么“□”内应填的代数式是( ) A．2b B．2ab C．a D．2a答案：D（3）若 3x=5，3y=4，求 32x-y的值．解：32x-y = 32x÷3y=(3x)2÷3y= 52÷4=254.5.课堂小结，自我完善单项式除以单项式的运算法则：单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.6.布置作业课本P59练习，P65习题8.2第6题.回顾幂的运算性质，为学习单项式除以单项式奠定基础.鼓励利用已经学过的知识独立探索解决问题.在实际问题中初步体会学习整式除法的必要性.把数字换成字母，探索计算的方法.既可以引用“除法是乘法的逆运算”的思想，也可以利用小学学过的分数约分知识，把除法变成分数，再约分.鼓励学生用多种方法计算.提倡算法的多样性.鼓励学生分组交流、合作探索，引导学生说明每一步的理由.（注意提醒学生，本章中涉及的除式均恒不为零）表扬两位同学不仅答案正确，而且不做完善，规范学生书写步骤.有利于学生充分理解单项式除以单项式的运算法则.这是一个实际应用问题，需要自己寻求已知条件和所求问题之间的关系，然后进行数学表示，是学生经历一个数学化的过程.可以让学生先独立思考、解决，然后教师讲解.利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.板书设计教后反思本节课是在单项式乘法的基础上研究单项式除法，引导学生根据单项式乘单项式的乘法运算推导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象.注意类比思想的应用，与上一节单项式乘单项式对比记忆.课题单项式乘多项式课型新授课教学内容教材第60-61页的内容教学目标1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则.2.掌握单项式与多项式相乘的法则，并会利用法则进行乘法运算.教学重难点教学重点：理解单项式乘多项式的乘法法则,会利用法则进行乘法运算.教学难点：能够熟练运用单项式乘多项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知同底数幂的乘法——am·an = am+n（m,n为正整数)幂的乘方——(am)n = amn（m,n为正整数)积的乘方——(ab)n = anbn（n为正整数)单项式乘单项式——把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式乘法分配律——a(b+c)=ab+ac2.创设情境，引入课题问题② 一个施工队修筑一条路面宽为n m的公路，第一天修筑a m长，第二天修筑b m长，第三天修筑c m长，3天共修筑路面的面积是多少？老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的求图形面积的问题.根据题意，我们先画出示意图，结合图形考虑计算方法： （单位：m）（师生互动，老师引导，学生回答）方法一：我们把三天修筑的面积看成三个小长方形，这三个小长方形的面积可以分别表示为：第一天 an m²；第二天： bn m²；第三天 cn m². 所以这三个小长方形的面积和为 （an+bn+cn） m².方法二：如果我们把三天修筑的面积看成一个大长方形，那么这个大长方形的长为 （a+b+c） m，宽为 n m，所以这个大长方形的面积为 （a+b+c）n m².老师提问：因为这两种方法表示的图形一样，所以我们可以得到：（a+b+c）n =（an+bn+cn）.事实上，因为上面代数式中的字母都表示数，因此，根据乘法分配律，可得到（a+b+c）n =（an+bn+cn）.3.探索新知，归纳知识老师：如果上面代数式中的每个字母都表示一个单项式，那么（a+b+c）就表示多项式，因此根据乘法分配律，可以把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘.因此，可以得到单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.【特别注意】单项式乘多项式的每一项时，要注意各项符号的确定.【教材例题】例4 计算：（1）(-2x)(x2-x+1); （2）a(a2+a)-a2(a-2).解：（1）(-2x)(x2-x+1)=(-2x)x2+(-2x)·(-x)+(-2x)·1=-2x³+2x²-2x.（2）a(a2+a)-a2(a-2)=a·a²+a·a-a²·a+2a²=a³+a²-a³+2a²=3a².3.学以致用，应用新知考点1 直接利用单项式与多项式相乘的法则进行计算【例1】（1）2ab(5ab2+3a2b)； (2)-5m2n(2n+3m-n2).解：(1)原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b=10a²b³+6a³b².(2)原式=-5m2n·2n-5m2n·3m-5m2n·(-n2) =-10m2n²-15m³n+5m²n³.考点2 利用单项式乘以多项式化简求值【例2】 先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2.解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 当 a＝2 时，原式＝－82.考点3 单项式与多项式相乘的实际应用【例3】镇纸是中国古代传统工艺品，是指写字作画时用以压纸的东西，也称作镇尺、压尺. 某长方体形状的镇纸长为3a-4，宽为2a，高为2a，求它的体积.解：它的体积为(3a－4)·2a·2a=3a·2a·2a－4×2a·2a=12a³-16a².4.随堂训练，巩固新知（1）(2020兰州中考)化简：a(a-2)＋4a＝( )A．a2＋2a B．a2＋6a C．a2-6a D．a2＋4a-2答案：A（2）（济宁金乡期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：-3x(-2x2+3x-1）=6x3-9x2+□.“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写( )A. 1 B. -1 C. 3x D. -3x答案：C（3）计算：①(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab； ②－2x·(eq \f(1,2)x2y＋3y－1)．解：①(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab＝eq \f(2,3)ab2·eq \f(1,2)ab－2ab·eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,3)a2b3－a2b2.②－2x·(eq \f(1,2)x2y＋3y－1)＝－2x·eq \f(1,2)x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.(4)一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高eq \f(1,2)a米．①求防洪堤坝的横断面积；②如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解：①防洪堤坝的横断面积S＝eq \f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a(2a＋2b)＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab(平方米)．故防洪堤坝的横断面积为(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)平方米；②防洪堤坝的体积V＝Sh＝(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米．5.课堂小结，自我完善单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.6.布置作业课本P61练习第1-3题，P65习题8.2第5题.回顾幂的运算性质、单项式乘单项式，及乘法分配律，为学习单项式乘多项式奠定基础.教材中以生活中常见的现象---施工队修筑路面为背景，通过求三天修筑的面积，引入单项式乘多项式.老师引导学生运用不同的方式表示图形的面积（也可先让学生自主探索，表示出面积）.通过对比两种不同方式得出的结果，引导学生结合乘法分配律说明等式成立的原因，体会乘法分配律的重要作用.授课过程中，强调对乘法法则的理解，不要求学生背诵法则.此处课堂练习，要求学生明确每一步运算的道理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化.渗透了转化思想.本题考查了整式的化简求值．在计算时要注意先化简,然后再代值计算．整式的化简实际上就是去括号与合并同类项．板书设计教后反思本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习单项式乘多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高自主学习能力.课题多项式除以单项式课型新授课教学内容教材第61-62页的内容教学目标1.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,理解多项式除以单项式的运算法则.2.能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题．教学重难点教学重点：理解多项式除以单项式法则,会利用法则进行除法运算.教学难点：能够熟练运用多项式除以单项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师：前面学习了单项式除以单项式以及单项式乘多项式，我们一起复习一下.（老师板书或放幻灯片，挖空学生回答）单项式相除, 把系数相除，同底数幂相除，均作为商的因式；对于只在被除式里含有的幂，则不变，整体作为商的一个因式.单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.老师：找两位同学上来做下面几道题.学生1：－12a5b3c÷(－4a2b) = 3a3b2c ； (－5a2b)2÷5a3b2= 5a .学生2：老师：很好，做的都很正确.下面请同学们结合我们刚刚复习的知识，思考一下：如何计算（a+b-c）÷m？（学生分组讨论）2.探索新知，归纳知识老师：下面我们找两组学生代表说一下他们的思考.1组学生代表：我们类比有理数的除法，除以一个数等于乘这个数的倒数，转换为乘法，然后按照多项式乘单项式的方法计算.（说完板书演示）3组学生代表：我们仿照多项式乘单项式的方法，把这个多项式的每一项都分别除以m，然后把商相加.（说完板书演示）老师：这两组同学给出了两种不同的思路，对比这两种思路的计算过程，我们可以发现，都可以归结为3组同学的方法：也就是说，多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.老师：下面我们一起看一下教材例题，按照上面多项式除以单项式的法则能否正确计算.【教材例题】例5 计算：（1）(20a2-4a)÷4a; （2）(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy)；（3）[6xy2(x2-3xy)+(-3xy)2]÷3x2y2.解：（1）(20a2-4a)÷4a =20a2÷4a-4a÷4a =5a-1.(2)(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy) =24x2y÷(-6xy)-12xy2÷(-6xy)+8xy÷(-6xy) =-4x+2y-43.(3)[6xy2(x2-3xy)+(-3xy)2]÷3x2y2 =[6x3y2-18x2y3+9x2y2]÷3x2y2 =2x-6y+3.老师：（3）题注意一下运算顺序，计算中括号里的多项式，先算单项式乘多项式及乘方，再计算除法.3.学以致用，应用新知考点1 直接利用多项式除以单项式的法则进行计算【例1】（1）(6ab+8b)÷(2b)； （2）(27a3-15a2+6a)÷(3a)；（3）(3x2y-xy2+12xy)÷(-12xy).解：（1）(6ab+8b)÷(2b)=(6ab)÷(2b)+(8b)÷(2b) =3a+4； （2）(27a3-15a2+6a)÷(3a)=(27a3)÷(3a)+(-15a2)÷(3a)+(6a)÷(3a)=9a²-5a+2；（3）(3x2y-xy2+12xy)÷(-12xy).=(3x2y)÷(-12xy)+(-xy2)÷(-12xy)+(12xy)÷(-12xy)=-6x+2y-1.考点2 被除式、商式和除式的关系【例2】已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．解：被除式为2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2.考点3 化简求值【例3】先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 015，y＝2 014.解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y，把x＝2 015，y＝2 014代入上式，得原式＝x－y＝2 015－2 014＝1.考点4 多项式除以单项式的应用【例4】一个长方形的面积为 a3 -2ab+a，宽为a，则长方形的长为_____________.解析：长方形的长为(a3-2ab+a)÷a=a2-2b+1.答案：a2-2b+14.随堂训练，巩固新知（1）计算(－4x3＋2x)÷2x的结果正确的是( ) A．－2x2＋1 B．2x2＋1 C．－2x3＋1 D．－8x4＋2x答案：A答案：B（3）计算:①(12x4y6-8x2y4-16x3y5)÷4x2y3; ②(2m3n2+3m2n2-mn3+4mn)÷(-6mn).解：①(12x4y6-8x2y4-16x3y5)÷4x2y3=12x4y6÷4x2y3-8x2y4÷4x2y3-16x3y5÷4x2y3=3x2y3-2y-4xy2; ②(2m3n2+3m2n2-mn3+4mn)÷(-6mn)=2m3n2÷(-6mn)+3m2n2÷(-6mn)-mn3÷(-6mn)+4mn÷(-6mn)=-13m²n-12mn+16n²-23.5.课堂小结，自我完善多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.6.布置作业课本P62练习，P65习题8.2第7、8题.回顾单项式除以单项式以及单项式乘多项式的运算法则，巩固旧知，为本节课新知识奠定基础.教学中给学生充足自由发挥思考的空间，鼓励学生间的交流，利用已经学习过的内容独立思考.提倡算法的多样化，每一种算法让学生说明每一步的理由.红笔文字，教师可以在总结的时候在该算法后面加上，对比两种算法.让学生在探索的过程中理解运算法则，鼓励学生用自己的语言叙述法则.第（1）（2）两题可以提问学生，学生板书，老师点评. 注意：（1）题中要提醒学生多项式除以单项式时，多项式中某一项被全部除掉后，该项的商为1，而不是0.类比“被除数=除数×商+余数”进行解答，渗透了类比思想.板书设计教后反思本节课是在多项式乘单项式乘法的基础上研究多项式除以单项式的除法，引导学生根据多项式乘单项式的乘法运算类比出多项式除以单项式的除法规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象.注意类比思想的应用，与上一节多项式乘单项式对比记忆.课题多项式与多项式相乘课型新授课教学内容教材第63-66页的内容教学目标1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.2.会利用多项式与多项式相乘的法则进行乘法运算，并能解决实际问题.教学重难点教学重点：理解多项式乘多项式的乘法法则,会利用法则进行乘法运算.教学难点：能够熟练运用多项式乘多项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师提问：如何进行单项式与多项式乘法的运算？学生：将单项式分别乘多项式的各项，然后把所得的积相加.老师：根据上面回顾的单项式与多项式相乘的法则，计算下面各题.（1）（a+b）P； （2）（x²-3x+1）x.解：（1）（a+b）P=aP+bP； （2）（x²-3x+1）x=x³-3x²+x.老师：如果上面的（1）题中P=m+n，那么（a+b）P怎么计算？学生：直接把P=m+n代入.老师板书： （a+b）P = aP + bP (a+b)(m+n) = a（m+n） + b（m+n） =am+an+bm+bn (a+b)(m+n) 相当于是两个多项式相乘，接下来我们来探索一下这两个多项式相乘的运算法则.2.创设情境，引入课题问题③ 一块长方形的菜地，长为a，宽为m.现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后的菜地面积.老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的求图形面积的问题.根据题意，我们先画出示意图，结合图形考虑计算方法：（学生分组交流，老师提问）根据上面画出的图形，我们可以看出原来的菜地是①号地，把扩大后增加的分为三小块，分别是②、③、④号地.学生1：根据图形，知扩大后菜地的长为（a+b） ，宽为 m+n ，所以它的面积为 (a+b)(m+n) .学生2：根据图形，我们可以分别求出四小块地的面积：①号地： am ；②号地： bm ；③号地： an ；④号地： bn. 所以扩大后菜地的面积为 （am+bm+an+bn） .老师总结：以上两位同学所列式子都是表示扩大后菜地的面积，所以我们可以得到:(a+b)(m+n) =am+bm+an+bn.老师提问：对于上面的运算，如果我们不借助图形，可以怎么计算？学生：我们可以把（a+b）或者（m+n）看作一个整体，运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则进行计算.(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) =am+bm+an+bn =am+bm+an+bn 3.探索新知，归纳知识老师：根据上面同学们的计算过程，我们可以归纳出多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.提醒学生：这两个多项式叫做所得积的因式.（为后面学习因式分解打下基础）【教材例题】例6 计算：(1)(-2x-1)(3x-2); (2)(ax+b)(cx+d).解：方法一（利用法则计算）（1）(-2x-1)(3x-2)=(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2)=-6x2+4x-3x+2=-6x2+x+2.（2）(ax+b)(cx+d)=ax·cx+ax·d+b·cx+b·d =acx2+adx+bcx+bd =acx2+(ad+bc)x+bd.方法二（利用整体思想计算）(1)(-2x-1)(3x-2) (2)(ax+b)(cx+d)=(-2x-1)·3x+(-2x-1)·(-2) =(ax+b)·cx+(ax+b)·d=-6x2-3x+4x+2 =acx2+bcx+adx+bd=-6x2+x+2. =acx2+(bc+ad)x+bd例7 计算:(1)(a+b)(a2-ab+b2); (2)(y2+y+1)(y+2).解：(1)(a+b)(a2-ab+b2) =a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2=a3+b3.(2)(y2+y+1)(y+2) =y3+2y2+y2+2y+y+2=y3+3y2+3y+2.4.学以致用，应用新知考点1 直接利用多项式与多项式相乘的法则进行计算【例1】计算：（1）(3x＋2)(x＋2)； （2）(4y－1)(5－y)．解：（1）原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；（2）原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.考点2 多项式与多项式相乘的化简求值【例2】 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.考点3 多项式与多项式相乘的实际应用【例3】 小明想把一长为60 cm,宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形.（1）若设小正方形的边长为x cm,求图中阴影部分的面积;（2）当x=5时，求这个盒子的体积.解：（1）S阴影=(60-2x)(40-2x)=(4x2-200x+2 400)cm2.所以阴影部分的面积为(4x2-200x+2 400)cm2.（2）这个盒子的体积为V=S阴影x=(4x2-200x+2 400)x=(4x3-200x2+2 400x)cm3,当x=5时，V=4×53-200×52+2 400×5=7 500(cm3).所以这个盒子的体积为7 500 cm3.考点4 多项式乘以多项式与方程的综合【例4】 解方程:2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)=3(x+4).解：利用多项式乘法法则，得(6x²-10x)-(6x²+8x-9x-12)=3x+12,去括号，得6x²-10x-6x²-8x+9x+12=3x+12,移项、合并同类项，得-12x=0,系数化为1，得x=0.5.随堂训练，巩固新知（1）下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是( ) A．(a-2)(a＋9) B．(a＋2)(a-9) C．(a＋3)(a-6) D．(a-3)(a＋6)答案：C（2）若P=（x-2)(x-3），Q=（x-1)(x-4），则P与Q的大小关系是（ ） A. P>Q B. P
0沪科版七年级数学下册第八章（同步教学设计）第8章 整式乘法与因式分解单 元 备 课 8.1 幂的运算8.1.1 同底数幂的乘法 8.1 幂的运算8.1.2 幂的乘方与积的乘方第1课时 幂的乘方 8.1 幂的运算8.1.2 幂的乘方与积的乘方第2课时 积的乘方 8.1 幂的运算8.1.3 同底数幂的除法第1课时 同底数幂的除法 8.1 幂的运算8.1.3 同底数幂的除法第2课时 零次幂、负整数次幂的运算 8.1 幂的运算8.1.3 同底数幂的除法第3课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 8.2 整式乘法8.2.1 单项式与单项式相乘第1课时 单项式乘单项式 8.2 整式乘法8.2.1 单项式与单项式相乘第2课时 单项式除以单项式 8.2 整式乘法8.2.2 单项式与多项式相乘第1课时 单项式乘多项式 8.2 整式乘法8.2.2 单项式与多项式相乘第2课时 多项式除以单项式 8.2 整式乘法8.2.3 多项式与多项式相乘 8.3 完全平方公式和平方差公式第1课时 完全平方公式 8.3 完全平方公式和平方差公式第2课时 平方差公式 8.4 因式分解8.4.1 提公因式法 8.4 因式分解8.4.2 分组分解法 8.4 因式分解8.4.2 公式法 第8章本单元所需课时数20课时课标要求1.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数.2.能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间相乘以及一次式与二次式相乘）.3.能推导乘法公式:（a+b)(a-b） =a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算.4.能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解（指数是正整数）.5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系.教材分析本章是在学生掌握了有理数、整式的加减等知识之后进行安排的，其中最基本的内容是幂的运算性质，本章进行了集中安排，使学生进一步体会幂的意义，然后在此基础上，通过对乘法分配律的应用，探索出整式的乘除发及三个重要的乘法公式，最后介绍了最简单的因式分解的方法.这样的设计符合学生的认知规律，同时也加强了有关知识之间的内在联系.主要内容本章的主要内容是幂的运算、整式乘法、乘法公式与因式分解.8.1节“幂的运算”是本章最基本的内容，在此基础上进行下一节8.2节“整式乘法”的学习，之后利用整式乘法的法则推导出8.3节的“完全平方公式和平方差公式”，接下里学生继续探索8.3节的两个公式的逆用，引出8.4节“因式分解”.教学目标1.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数.2.能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间相乘以及一次式与二次式相乘）.3.能推导乘法公式:（a+b)(a-b） =a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算.4.能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解（指数是正整数）.5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系.课时分配8.1 幂的运算 6课时8.2 整式乘法 5课时8.3 完全平方公式与平方差公式 2课时8.4 因式分解 3课时8.5 综合与实践 纳米材料的奇异特性 2课时数学活动小结 2课时教与学建议1.教学中注重对幂的运算性质和整式乘除法则等探索过程进行评价.2.教学过程中，积极引导学生对整式乘法与因式分解的互逆关系进行分析.3.教学中必须要适当地提供一些必要的训练，使学生能准确地进行计算.课题同底数幂的乘法课型新授课教学内容教材第45-46页的内容教学目标1.理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法).2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.3.经历探索同底数幂的乘法法则的过程,进一步体会幂的意义,提高推理能力和有条理的表达能力.教学重难点教学重点：理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法).教学难点：运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.教 学 过 程备 注1.回顾复习，巩固旧知老师：同学们，还记得什么叫幂吗？举例说明一下.学生1：35就是幂.学生2：(12)8也是幂.老师：是的，我们知道求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 老师：接下来我们一起探索一下有关幂的运算.2.创设情境，引入课题问题 我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号3计算机每秒可进行2.57×1015次运算，问它工作1 h(3.6×10³s)可进行多少次运算？老师：根据以前学过的知识，我们可以列出算式（2.57×1015）×（3.6×10³）.老师提问：如何简洁地把结果表示出来呢？学生甲：首先还原用科学记数法表示的数，然后相乘，最后把结果写成科学记数法的形式.老师：这样确实可以得到结果，但是过程比较繁琐，且容易出错.老师：我们观察这个算式，可以发现，两个括号中的幂的底数都是10，也就是同底数幂，所以本节课我们就来研究同底数幂的乘法.3.探索新知，归纳知识老师提问：哪位同学能用式子说明一下乘方的意义?学生乙：老师继续提问：2×2×2×2×2可以记作什么？学生丙：可以记作25.老师：大家现在把教材P45思考里表格第2行填一下.学生1板书：10×10×10×10×10×10×10 107老师：书写正确，那如果把数字换为字母a是否也可以这样做呢？同学们可以回顾一下乘方的意义.（请2位同学板书填一下表格第3、4行）学生2：a·a·a·a·a a5学生3：a·a·a·a·a·a·a·a·a a9老师：几位同学填的都很正确，我们来观察一下这个表格，同学们能发现什么规律？同学们先分组讨论，然后找两个小组代表说一下. 1组学生代表：我们发现这几个算式都是同底数幂的数相乘，并且它们的结果的幂的底数也和前面乘数的幂的底数相同.4组学生代表：我们发现最终的结果，幂的指数是前面相乘的两个幂的指数和.老师：同学们能自主发现规律，值得表扬.那么1组和4组同学发现的规律是否正确呢？是不是巧合，我们来验证一下.老师：请同学再以小组为单位，计算一下am·an的值.（讨论过后请3、6组学生代表上讲台在黑板上计算）3组学生代表：……6组学生代表：……老师：上面两位同学给出的答案都正确.我们来看一下每一步计算的意义.一般地，如果字母m,n都是正整数，那么老师：只有理解了计算的依据，才算是真正学会了计算.（师生互动）由此得幂的运算性质1：am·an=am+n（m、n都是正整数）.老师：请同学们用语言表示这条性质.学生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.老师：学习了同底数幂的乘法，下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则.【教材例题】例1 计算：老师：下面我们请两位同学先分别说一下式子中的底数是什么，指数是什么，再上来做一下这两道题，其他同学在作业本上做. 学生1：学生2：老师：两位同学做的很对，接下来我们来看一下第（3）小题.（3）a²·a³·a6； （4）(-y)3·y4.老师：对于这种含有三个式子的，该怎样计算呢？同学们可类比乘法结合律，分步计算，然后总结规律.学生3：a²·a³·a6=（a²·a³）·a6=a2+3·a6=a2+3+6=a11.老师：根据这位同学的解答，我们可以总结：am·an·ap=am+n+p.接了下来我们一起看一下第（4）题.（师生互动）(-y)3·y4=-y3·y4=-y3+4=-y7.4.学以致用，应用新知考点1 底数为单项式的同底数幂的乘法【例1】计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)mn＋1·mn·m2·m.解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.考点2 底数为多项式的同底数幂的乘法【例2】计算：(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·解：原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n.考点3 同底数幂的乘法法则的逆用【例3】 已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．解析：把am＋n变成am·an，代入求值即可．解：因为am＝3，an＝21，所以am＋n＝am·an＝3×21＝63.5.随堂训练，巩固新知（1）计算（a-2b）2n·（b-a）·（a-b）m-1的结果是（ ）答案:B（2）已知 an－3 ·a2n+1 = a10（a≠0，且 a≠±1），求 n 的值.解：由题意，知n-3+2n+1=10，解得n=4.（3）已知 xa= ，xb=3，求xa+b的值.解：xa+b=xa·xb=2×3=6.（4）已知我国平均每平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3×108千克煤所产生的能量，那么我国山东省约15.58万平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤所产生的能量？6.课堂小结，自我完善幂的运算性质1：am·an=am+n（m、n都是正整数）.7.布置作业课本P46练习第1-2题，P54习题8.1第1题.在复习的基础上，引导学生通过具体数字的同底数幂的乘法的运算，经过观察、概括、归纳推理，培养学生养成合作交流与自主探索的学习习惯.通过创造一种与现实生活有联系的问题情境，使学生体会到学习本节课的必要性，激发学生学习的热情.通过提问的形式，让学生自主观察、思考，引导学生积极交流、归纳总结，从观察、思考到探究的过程，要给学生留一定的时间和空间，让他们自主探索交流.让学生动手做一做，主动探究，在自己实践中获得对同底数幂的乘法的感性认识，进而在教师的引导下，通过合作交流，思维碰撞，实线“再创造”的过程，形成新的知识结构，发展了思维能力.幂的基本性质1是最基本的性质，课堂中要提醒学生对比记忆，幂的加法要求底数相同，指数也要相同.以提问的形式讲解例题，让学生先明确底数和指数分别是什么，再观察是不是同底数幂相乘，然后套用性质进行计算.对三个或三个以上因式的同底数幂相乘，可引导学生逐层或类比进行计算.同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am×an.板书设计教后反思本节课引导学生观察、探究、归纳幂的运算性质1（同底数幂的乘法法则），在观察时能体现出学生观察的角度的差异，这时老师需要多鼓励学生，对学生的各种观察结果尽心指导，培养学生自主探索、合作交流的学习习惯.课题幂的乘方课型新授课教学内容教材第47-48页的内容教学目标1.理解幂的运算性质2，并掌握幂的乘方的运算.2.运用幂的乘方解决实际问题．3.正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法.教学重难点教学重点：理解幂的运算性质2，并掌握幂的乘方的运算.教学难点：正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？老师：已知球体的体积公式是其中是球的体积，r是球的半径.下面找两位同学回答下面问题.（师生活动）（学生口答，老师板书）木星的半径是地球半径的10倍，它的体积是地球的 10³ 倍.太阳的半径是地球半径的10²倍，它的体积是地球的 (10²)³ 倍.老师：两位同学根据体积公式回答的都很正确，我们知道10³=1 000，那么(10²)³等于多少呢？学生：(10²)³=10²×10²×10²=106.老师：这个结果正确吗？让我们带着这个问题开启今天的新知识.2.探索新知，归纳知识老师：在上节课的时候我们回顾了乘方的意义.（师生互动）学生回答，老师板书.求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，即老师：根据乘方的意义，我们可以把下面表格中第1列，括号内的数可以看作是相同的因数a，下面我们找一位同学上来填一下这个表格的第2列.（学生填完）老师：填的很正确，这个运算的过程，其实就是乘方运算过程的逆运算，即老师：根据上面的运算过程，如果继续往下算，需要应用什么知识？（提问学生）学生：会用到同底数幂的乘法.老师：按照同底数幂的乘法法则计算表格中的第3列.学生：老师：同学们观察一下，分别讨论一下幂的乘方有什么规律？（讨论过后，老师提问两组学生代表回答）1组学生代表：我们发现计算幂的乘方时，是依据乘方的意义与同底数幂的乘方，因此每次计算时，先把它们展开，再把指数相加就能得到答案.4组学生代表：1组的发现我们也得到了，另外我们发现了计算的简便方法，上面几个题的结果，都是与因式相同的底数，指数是因式的指数与乘方的指数的乘积，不知道是不是巧合？老师：4组学生观察的很细致，接下来我们一起验证一下关于结果的结论是不是巧合.（师生互动）老师：根据上面我们推理的过程，可见前面几个题的结果不是巧合，正是幂的乘方的运算法则.所以我们就得到了：幂的运算性质2：（m,n都是正整数）.老师：请同学们用语言表示这条性质.学生：幂的乘方，底数不变，指数相乘.老师：下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则.【教材例题】（找三位同学上讲台在黑板上做）例2 计算：（1）（105）3； （2）（x4）²； （3）（-a²）³.3.学以致用，应用新知考点1 直接应用幂的运算性质2进行计算考点2 底数为多项式的同底数幂的乘法【例2】已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．解：因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，考点3 根据幂的乘方的关系，求代数式的值【例3】 已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2)y的值为________．解析：由2x＝8y＋1，9y＝3x－9得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2)y＝7＋3＝10.考点4 比较幂的大小【例4】已知a＝833，b＝1625，c＝3219，试比较a，b，c的大小．解：因为a＝833＝(23)33＝299，b＝1625＝(24)25＝2100，c＝3219＝(25)19＝295，显然95＜99＜100，所以c＜a＜b.4.课堂小结，自我完善幂的运算性质2：（m,n都是正整数）.5.布置作业课本P48练习第1-2题，P54习题8.1第2题.用实际问题引入幂的乘方的运算，引导学生自主探索幂的乘方，让学生体会幂的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系.带领学生回顾乘方的意义，引导学生自主探索幂的乘方的运算过程，进而总结出幂的乘方的运算法则.填表格的过程中，让学生说明每个题中的底数是什么，指数是什么.注意给学生预留出小组交流讨论的时间，鼓励学生之间合作探索，发现规律，并总结出运算法则，提高学生的归纳总结能力.在开始学习幂的乘方运算时，教师板书尽量规范，并给出每一步的计算依据，这样有利于学生理解记忆.鼓励学生学完新知识后自主做练习，养成课堂学习，课后巩固的学习习惯.本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，同时体现了整体代入思想．板书设计教后反思本节课通过创设有实际意义的问题情景，激发学生的学习兴趣，授课过程中设计探究活动，引导学生进行思考、合作与交流，在学生活动中，教师要适时点拨，及时进行指导，鼓励学生大胆发言，促进学生的思维发展.课题积的乘方课型新授课教学内容教材第48-49页的内容教学目标1.理解幂的运算性质3，并掌握积的乘方的运算.2.经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用.3.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.教学重难点教学重点：理解幂的运算性质2，并掌握幂的乘方的运算.教学难点：正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题地球可以近似地看做是球体,地球的半径约为6.4×10³km,它的体积大约是多少立方千米?(π取3.14)老师：已知球体的体积公式是其中是球的体积，r是球的半径.下面找两位同学回答下面问题.（师生活动）（学生口答，老师板书）地球的体积是老师：（6.4×10³）³等于多少呢？哪位同学可以利用之前学过的知识计算一下呢？学生：老师，我觉得可以利用乘方的知识，展开这个式子，然后再计算.（学生上台板书）（6.4×10³）³=（6.4×10³）×（6.4×10³）×（6.4×10³）=（6.4×6.4×6.4）×（10³×10³×10³）=262.144×109=2.62144×1011.老师：这位同学计算的很正确，利用了我们之前学习过的乘方的意义，还有乘法交换律与结合律，同学们在以后的学习中也要懂得回顾旧知，新知识的解答往往依靠旧知的方法.接下来我们顺着这个思路来探索一下，幂的运算的另一个性质.2.探索新知，归纳知识老师：怎样计算(ab)2，(ab)3，(ab)4？（找三位同学分别来解答一下这三道题，其他同学在作业本上计算）学生1：(ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=a²b².学生2：(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(aaa)·(bbb)=a3b3.学生3：(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)=(aaaa)·(bbbb)=a4b4.老师：计算正确.如果是(ab)n呢，改怎样计算?（学生交流讨论后，回答，老师板书）一般地，如果字母n是正整数，那么注意：提醒学生,类比两个整数相乘时，这两个整数都是它们积的因数，所以a和b相乘时，a和b叫做ab的因式.老师：这样我们就得到了幂的运算性质3：（ab）n=anbn（n是正整数）.用语言文字叙述：积的乘方等于各因式乘方的积.老师：下面我们利用这个性质，做一下例题.例3 计算：（学生板书）(1)(2x)4 ; (2)(-3ab²c³)2.=(2x)·(2x)·(2x)·(2x) =(-3ab²c³)·(-3ab²c³)=(2×2×2×2)·(x·x·x·x) =(-3)²·(a)²·(b²)²·(c3)²=24x4=16x4 =9a3b4c6老师：上面两题计算正确.请同学们自己课下做一下例4，验证一下本节课开始某同学计算的是否正确.并且探索一下，三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 3.学以致用，应用新知考点1 含积的乘方的混合运算【例1】计算：（1）2(x3)2·x3－(3x3)3 + (5x)2 · x7；（2）(3xy2)2 + (－4xy3) · (－xy)；解：（1）原式= 2x6·x3－27x9+25x2 · x7 = 2x9－27x9 + 25x9 = 0.（2）原式= 9x2y4 + 4x2y4=13x2y4.考点2 根据幂的乘方的关系，求代数式的值【例2】若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值．解：因为a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9.考点3 利用积的乘方比较数的大小【例3】试比较大小：213×310与210×312.解：因为213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，所以213×310＜210×312.4.课堂小结，自我完善幂的运算性质3：（n是正整数）.5.布置作业课本P49练习第1-2题，P54习题8.1第3题.用实际问题引入积的乘方的运算，引导学生自主探索积的乘方，让学生体会积的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系.鼓励学生自主探索，对于学生的回答，不能单纯评判对与错，主要是引导学生有一个思考的过程，让学生自己探索并归纳出结论.把数字换成字母，让学生根据上面的探索过程，自主计算，最终归纳出结论.渗透类比思想，帮助学生理解因式，同时为后面学习整式乘法奠定了基础.引导自主探索(abc)n，把性质3推广至三个或三个以上的积的平方，课堂有时间的情况下可以带领学生一起推导验证.注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.板书设计教后反思本节课的探究方式与上一课时相似，因此在教学中可以就此展开教学．在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用.课题同底数幂的除法课型新授课教学内容教材第50-51页的内容教学目标1.理解并掌握幂的运算性质4（同底数幂的除法），能直接运用其进行计算.2.掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题．教学重难点教学重点：理解并掌握幂的运算性质4（同底数幂的除法）.教学难点：运用同底数幂的除法法则进行相关运算.教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴?老师：读完题目，我们可以列出怎样的算式呢？（提问学生）学生：可以列式为1012÷109.老师：这个式子应该怎么计算呢？请同学们讨论一下，类比同底数幂的乘法观察一下这个式子有什么特点，并计算一下？（学生活动）这个式子和同底数幂的乘法类似，形式上只是把乘号换成了除号，两个底数都是10的幂相除.所以1012÷109=（103×109）÷109=103.老师：听到同学们的分析都很全面，我们给这个式子起个名字，把1012÷109这种运算称为同底数幂的除法.带着这个问题，我们来探究：同底数幂的除法法则.并验证同学们的计算是否正确.2.探索新知，归纳知识老师：首先找两位同学，仿照前一节学习的同底数乘法法则及表格第一行，完成下面表格.（红色笔处是学生所填写，老师点评）老师：大家填的都是正确的，下面请其中一位同学说明一下填写的依据.学生：a4÷a2的运算过程，是依据幂的意义，例如，分子上把幂a4展开，写成4个a相乘的形式，分母上把幂a²展开，写成2个a相乘的形式，然后根据除法的意义，得到结果.老师：观察上表，发现同底数幂相除有什么规律？学生：发现最终的结果还是幂的形式，底数和被除式（除式）的底数相同，指数等于前面两个幂的指数的差.老师：这位同学总结的规律正确吗？接下来我们根据幂的意义及除法的意义来验证.计算am÷an（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）.（师生互动）根据上面的运算，我们把指数换成字母，注意m＞n，我们一起写一下计算过程： =am-n.老师：这时候我们发现，上一位同学总结的规律是正确的.这样我们就得到了米的运算性质4：am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）.用语言文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减.老师：学习了同底数幂的除法，下面我们来练习一下，看看自己有没有掌握运算法则.【教材例题】例1 计算：老师：下面我们请两位同学先分别说一下式子中的底数是什么，指数是什么，再上来做一下这两道题，其他同学在作业本上做. 学生1：学生2：老师：两位同学做的很对，接下来我们来看一下第（3）小题.（3）（a-b）5÷（b-a）4.老师：提醒一下，这种我们可以把（a-b）看作一个整体，然后进行计算.下面我们一起看一下这个题.（师生互动）不妨设t=a-b，则b-a=-t，此时，原式=t5÷（-t）4=t5÷t4=t，所以（a-b）5÷（b-a）4=a-b.3.学以致用，应用新知考点1 直接运用幂的运算性质4进行计算【例1】 计算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)．解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(－xy)看作一个整体；(2)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(3)把(a2＋1)看作一个整体．解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)＝(a2＋1)6－4－1＝a2＋1.考点2 逆用幂的运算性质4进行计算【例2】已知am=8,an=5.求：（1）am－n的值； (2)a3m－3n的值.解：(1)am－n=am÷an=8÷5 =1.6.(2)a3m－3n=a3m÷a3n=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125=512125.4.随堂训练，巩固新知（1）若a-4b-2=0,则3a÷81b等于( )A. 9 B. 19 C. 6 D. 16 答案:A（2）已知32·92x+1÷27x+1=81,求x的值.解：因为32·92x+1÷27x+1=32·(3²)2x+1÷(3³)x+1 =32·34x+2÷33x+3 =32+4x+2-(3x+3) =3x+1=81=34,所以x+1=4,解得x=3,所以x的值为3.（3）地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？解：由题意，得106÷104=10²=100.所以加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的100倍.5.课堂小结，自我完善幂的运算性质4：am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）.6.布置作业课本P50练习第1-2题，P54习题8.1第4、7题.通过创造一种与现实生活有联系的问题情境，使学生体会到学习本节课的必要性，激发学生学习的热情.教师鼓励学生根据幂的意义和除法的意义，独立探索计算.鼓励学生自主探索，通过对具体数的计算，引导学生类比同底数幂的乘法，总结归纳出同底数幂的除法的运算性质，并运用幂的意义与除法的意义加以说明.在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，提升归纳、符号演算等推理能力.这里应让学生格外注意性质成立的条件：a≠0，m＞n，体会它的必要性.这里把（a-b）看作一个整体，实际上渗透着“换元”的思想，对于这种不同底数的，要想办法换为相同底数，然后再进行计算.计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．同底数幂的除法法则的逆用：am－n=am÷an板书设计教后反思本节课引导学生观察、探究、类比、归纳幂的运算性质4（同底数幂的除法法则），过程中培养学生自主探索、合作交流的学习习惯.并且在初步学完练习时，要鼓励学生说明每一步的计算理由，而不是直接套用公式，进一步体会乘方和幂的意义.课题零次幂、负整数次幂的运算课型新授课教学内容教材第51-53页的内容教学目标1.通过对具体数的运算，使学生通过归纳，获得对零次幂和负整数次幂意义的猜想.2.理解零次幂和负整数指数幂的概念及性质.3.会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.教学重难点教学重点：理解零次幂和负整数指数幂的概念及性质.教学难点：会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：根据以前学过的知识，计算下面各题：10÷10=______；10²÷10²=_______；10³÷10³=_________.学生：全都是1.10÷10=1；10²÷10²=100÷100=1；10³÷10³=1 000÷1 000=1.老师继续提问：那下面几道题的结果呢？10÷100=______；10÷10³=_______；10÷104=_________.学生：10÷100=110；10÷10³=101 000=1100=110²；10÷104=1010 000=11 000=110³.老师：上面几道题的计算都正确.下面我们来探究新知识.【探究】我们上一节课得到了当m＞n时，的运算法则，那么当m≤n(m,n都是正整数)时，又如何计算呢？2.探索新知，归纳知识（1）当被除式的指数等于除式的指数（即m=n）时，例如，33÷33=1，108÷108=1，an÷an=1.我们知道，所得的商都是1，下面我们按照同底数幂的除法性质进行计算，得（找三位同学上台板书演示）学生1：33÷33=33-3=30，学生2：108÷108=108-8=100，学生3：an÷an=an-n=a0.老师：同学们观察一下，这两种算法，你有什么发现？（学生回答，老师板书）发现：30=1，100=1，a0=1.老师：这样就出现了零次幂.我们约定：a0=1（a≠0）.用语言叙述：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.（2）当被除式的指数小于除式的指数（即m＜n）时，例如，32÷35=______,104÷108=______,am÷an=___________.老师：下面找三位同学，按照分数约分的方法计算上面三个算式.老师：下面我们再找三位同学，仿照同底数幂的除法性质进行计算.32÷35=32-5=3-3；104÷108=104-8=10-4；am÷an=am-n=a-p（p=n-m）.老师：这样就出现了负整数次幂.所以我们约定：用文字语言叙述：何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.老师总结：通过上面的探究过程，对于同底数幂的除法，在计算时，就不需要限制条件m＞n了.也就是，【教材例题】例5 计算：（1）106÷106； （2）（3）（-2）³÷（-2）5.解：（1）106÷106=106−6=100=1.（3）（-2）³÷（-2）5=（-2）3-5=（-2）-2=1(−2)²=14.3.学以致用，应用新知考点1 零次幂和负整数次幂中底数的取值范围【例1】若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≠3且x≠2 C．x≠3或x≠2 D．x＜2解析：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.答案：B 考点2 比较数的大小【例2】若a＝(－eq \f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq \f(3,2))0，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＝c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：因为a＝(－eq \f(2,3))－2＝(－eq \f(3,2))2＝eq \f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq \f(3,2))0＝1，所以a＞c＞b.故选B.答案：B考点3 分类讨论有多种解的问题【例3】已知(2x+3)x+2 021=1,求x的值.解:此题要分情况讨论.①当2x+3=1时,解得x=-1,则x+2 021=2 020,此时(2x+3)x+2 021=12 020=1.②当2x+3=-1时,解得x=-2,则x+2 021=2 019,此时(2x+3)x+2 021=(-1)2 019=-1.③当x+2 021=0时,解得x=-2 021,则2x+3=2×(-2 021)+3=-4 039≠0,此时(2x+3)x+2 021=(2x+3)0=1.综上所述,x的值为-2 021或-1.4.随堂训练，巩固新知（1）若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )A．x≥6 B．x≤6 C．x≠6 D．x＝6解析：因为(x－6)0＝1成立，所以x－6≠0，解得x≠6.故选C.答案：C（2）计算下列各式：①30÷5-2； ②（-5）5÷（-5）17.③24÷12-2×2²； ④（2 023-π）0÷−2-2.解：①30÷5-2=30-（-2）=3²=9. ②（-5）5÷（-5）17=(-5)5-17=5-12.③24÷12-2×2²=24÷2²×2²=24. ④（2 023-π）0÷−2-2=1÷122=4.（3）若(x-1)x＋1=1，求x的值.解：①当x＋1=0，即x=-1 时，(x-1)x＋1=(-2)0=1； ②当x-1=1，即x=2 时，(x-1)x＋1=13=1； ③当x-1=-1，即x=0 时，(x-1)x＋1=(-1)1=-1.故x的值为-1或2.5.课堂小结，自我完善①零次幂：约定：a0=1（a≠0）.任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.②负整数次幂：约定：何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.③同底数幂的除法法则：am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数）.6.布置作业课本P53练习第1-2题，P54习题8.1第5、6、8题.通过对具体数的运算，引入零次幂与负整数次幂的学习.根据不等于零的一个数除以本身其商为1，直接得出第一组算式的商，引出零次幂；根据分数约分的方法计算第二组算式，引出负整数次幂.引导学生利用两种不同的方法，计算、归纳出零次幂和负整数次幂的运算.注意提醒学生使用同底数幂的除法，从而将同底数幂的除法推广到m=n的情形.用具体的实例通过数的约分计算和比较同底数幂的除法的性质，得到负整数次幂的运算，并将同底数幂的除法推广到m＜n的情形.同时，利用负整数次幂，结合科学记数法可以表示绝对值小于1的数（为下一节奠定基础）.将同底数幂的除法运算法则中的m,n扩大到全体整数.本题考查的是零次幂和负整数次幂，非0数的零次幂等于1，注意：零次幂的底数不能为0，负整数次幂的底数不能为0.关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．提醒学生注意，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．引导学生归纳总结，等于1的幂的情况：①1的任意次幂都等于1；②（-1）的偶次幂等于1；③非零数的零次幂等于1.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.板书设计教后反思本节课引导学生计算、猜想、归纳零次幂和负整数次幂的运算，课堂中鼓励学生自主探究，小组合作交流，调动学生学习的积极性，在拓展学生学习空间的同时，有效地保证课堂学习质量.课题用科学记数法表示绝对值小于1的数课型新授课教学内容教材第53-55页的内容教学目标1.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.2.能在具体情景中感受绝对值小于1的数的大小.教学重难点会用科学记数法表示绝对值小于1的数.教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：我们上册时学过用科学记数法来表示一些绝对值大于10的数，例如：2 280 000=____________；-96 200 000 000=____________.（找两个学生回答）学生1：2.28×106.学生2：-9.62×1010.老师：回答正确.看来同学们已经掌握了用科学记数法表示绝对值大于10的数，（师生互动）学生一起回答，老师板书.一般地，一个绝对值大于10的数都可记成±a×10n的形式,其中1≤a＜10，n是正整数，n 等于原数的整数位数减 1.老师提问：如果是绝对值小于1的数呢？例如：细胞的直径只有1微米(um)，即0.000 001 m.0.000 001用科学记数法怎么表示？本节课我们就来探究如何用科学记数法表示绝对值小于1的数.2.探索新知，归纳知识老师：请同学们先分组交流讨论，用科学记数法表示0.000 001.（老师提问）4组学生代表：我们小组是利用分数进行转化的，0.000 001=11 000 000=1106=10−6.老师：首先这种方法是正确的，其次该组同学的结果也正确.总结：把小数转化为分数，然后把把分母写成幂的形式，最后结合负整数次幂即可写成科学记数法的形式.老师：下面用科学记数法表示-0.000 43.（写出转化的过程）学生：−0.000 43=−4.310 000=−4.3104=−4.3×10−4.老师：表示正确.这里同学们需要特别注意，分子的绝对值必须满足大于等于1小于10.（师生互动）通过上面两个数，用科学记数法表示的方法，我们可以总结：绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a＜10,n是正整数,n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零).【教材例题】例6 用科学记数法表示下列各数：（1）0.000 76； （2）-0.000 001 59.解：（1）0.000 76=7.6×0.000 1=7.6×10-4.（2）-0.000 001 59=-1.59×0.000 001=-1.59×10-6.3.学以致用，应用新知考点1 用科学记数法表示绝对值小于1的数【例1】世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000 005克.用科学记数法表示上述两个数据.解：0.021厘米用科学记数法表示为2.1×10-2厘米；0.000 005克用科学记数法表示为5×10-6克.考点2 用科学记数法进行计算【例2】在电子显微镜下测得一个圆球形体细胞的直径是0.000 005 cm,求20 000个这样的细胞排成的细胞链的长度.解：0.000 005=5×10-6,20 000=2×104.0.000 005×20 000=5×10-6×2×104=5×2×10-6×104=10×10-2=10-1=0.1(cm).答:20 000个这样的细胞排成的细胞链的长度为0.1 cm.考点3 将用科学记数法表示的数还原为原数【例3】用小数表示下列各数.(1)5.2×10-5; (2)1.05×10-5；(3)-1×10-2; (4)-7.001×10-3.解：(1)5.2×10-5=0.000 052； (2)1.05×10-5=0.000 010 5；(3)-1×10-2=-0.01； (4)-7.001×10-3=-0.007 001.4.随堂训练，巩固新知（1）一个只有昆虫大小的机器人，机身由碳纤维制成，重量为0.000 106千克，0.000 106用科学记数法可表示为( )A．1.06×10－4 B．1.06×10－5C．10.6×10－5 D．106×10－6答案：A（2）用小数表示下列各数：①2×10-7; ②-3.14×10-5; ③7.08×10-3.解：①2×10-7=0.000 000 2. ②-3.14×10-5=-0.000 031 4.③7.08×10-3=0.007 08. 5.课堂小结，自我完善（1）用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a＜10,n是正整数,n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零).（2）还原用科学记数法表示的数将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．6.布置作业课本P54练习第1-2题，P54习题8.1第9题.本节通过回顾复习，类比用科学记数法表示绝对值大于10的数，引入用科学记数法表示绝对值小于1的数.教学中注意引导学生对比用科学记数法表示绝对值大于10的数的方法，并结合负整数次幂的意义自主探索用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法.教材例题的答案将探索过程中分数的形式改为小数的形式，可以让学生体会到指数n的确定.用科学记数法表示较大或较小的数，有利于按幂的运算性质简化计算.将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.板书设计教后反思本节课引导学生回顾复习，类比用科学记数法表示绝对值大于10的数的方法，归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法.课堂中鼓励学生自主探究，小组合作交流，调动学生学习的积极性，在拓展学生学习空间的同时，有效地保证课堂学习质量.课题单项式乘单项式课型新授课教学内容教材第56-58页的内容教学目标1.在具体情境中了解单项式与单项式乘法的意义.2.理解单项式与单项式乘法法则,能进行简单整式乘法运算.3.在经历探索整式乘法法则的过程中，让学生感受运算律是运算的通性、是获得运算法则的基础，感受转化思想方法，进一步法则学生有条理地思考和表达能力.教学重难点教学重点：理解单项式与单项式乘法法则,会利用法则进行乘法运算.教学难点：能够熟练运用单项式乘单项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师：前面学习过哪些幂的运算性质？我们找几位同学回答一下.学生1：同底数幂的乘法——am·an = am+n（m,n为正整数)学生2：幂的乘方——(am)n = amn（m,n为正整数)学生3：积的乘方——(ab)n = anbn（n为正整数)老师：同学们回答的都很正确，听见还有同学说我们还学习了同底数幂的除法，是的，这个我们下一节再来回顾.幂的这些运算性质就是我们今天学习新知识的工具，接下来我们看一个利用光速来计算距离的问题.2.创设情境，引入课题问题① 光的速度大约是3×105km/s,从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年才能到达地球，1年以3×107s计算，试问地球与这颗恒星的距离约为多少千米？老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的路程问题.显然解决问题需要用到“路程=速度×时间”这个公式，找一位同学来列一下式子.学生：地球与比邻星的距离应是（3×105）×（4×3×107）km.老师：这个式子是正确的，那么该怎么计算呢？小组讨论一下.（找小组代表上台板书演示）2组学生代表：（3×105）×4×3×107）=3×4×3×105×107 ①=（3×4×3）×（105×107） ②=36×1012 ③=3.6×1013. ④老师：书写的很完整.我们一起分析一下这位同学的计算过程，看看计算过程中应用了哪些性质，对比一下自己做的，思路有什么不同.（师生互动）第①步的运算，应用的是：乘法交换律；第②步的运算，应用的是：乘法结合；第③步的运算，应用的是：同底数幂的乘法；第④步的运算，应用的是：科学记数法.老师：如果把上面算式中的数字换成字母，例如bc5×abc7,该如何计算呢？3.探索新知，归纳知识老师：我们仿照上面的计算过程，一起做一下这道题.bc5×abc7=b×c5×a×b×c7 （展开式子）=a×（b×b）×（c5×c7） （乘法交换、结合律）=a×b²×c12 （同底数幂的乘法）=abc12. （最终结果省略乘号）下面请同学们独立完成下面两道题.（提问2名学生回答）4x2y·3xy2=(4×3)·(x²· x )·(y· y² ) = 12x³y³ ；5abc·(-3ab)=[5×(-3)]·(a· a )·(b· b )·c = -15a²b²c .老师：从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法的法则吗？（学生分组交流）学生1：系数分别相乘，同底数的幂分别相乘，最终结果省略乘号.老师：还有补充的吗？学生2：对于只在一个单项式中的字母也要写在结果中.老师：很好，下面我们一起汇总一下这两位同学的回答.单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【教材例题】例1 计算：（师生互动，老师板书）解：23.学以致用，应用新知考点1 直接利用单项式与单项式相乘的法则进行计算【例1】(1)－2a2b3•(－3a)； (2)7xy2z • (2xyz)2；解：(1)－2a2b3•(－3a)=（-2）×（-3）•a2•a•b³=6a³b³. (2)7xy2z • (2xyz)2=7xy2z • (4x2y2z2) =7×4•x·x²·y2•y2•z·z2 =28x³y4z³.考点2 单项式乘以单项式与同类项的综合【例2】 已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，求m，n的值.解：（9am+1bn+1）×（-2a2m-1b2n-1）=9×(-2)×(am+1·a2m-1)×(bn+1·b2n-1)=-18a3mb3n.根据题意，可得3m=3,3n=6,解得m=1,n=2.考点3 单项式与单项式相乘的实际应用【例3】有一块长为 x m，宽为 y m 的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m，宽34y m 的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．解：绿化的面积是35x ×34y=920xy（m²）.剩下的面积xy−920xy=1120xy（m²）.4.随堂训练，巩固新知（1）2021贵港中考）下列计算正确的是( )A．a2＋a2＝a4 B．2a-a＝1 C．2a·(-3a)＝-6a2 D．(a2)3＝a5答案：C（2）计算：①(4x4y)2·(-xy3)5； ②5x2y·(-2xy2)3.解：①(4x4y)2·(-xy3)5=(16x8y2)·(-x5y15)=-16（x8·x5）·（y2·y15）=-16x13y17.②5x2y·(-2xy2)3=5x2y·(-8x3y6)=5×(-8)·(x2·x3)·(y·y6)=-40x5y7.（3）已知2x3y2·(-3xmy3)·5x2yn＝-30x6y8，求m＋n的值．解：因为2x3y2·(-3xmy3)·5x2yn＝-30xm＋5yn＋5＝-30x6y8，所以m＋5＝6，n＋5＝8，即m＝1，n＝3.所以m＋n＝4.(4)已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3-a3m·b3n·a5m的值．解：因为a2m＝2，b3n＝3，所以(b2n)3-a3m·b3n·a5m＝(b3n)2-a8m·b3n＝32-(a2m)4×3＝32-24×3＝-39.5.课堂小结，自我完善单项式乘单项式的运算法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.6.布置作业课本P57练习第1、2、4题，P65习题8.2第1-2题.回顾幂的运算性质，为学习整式乘法奠定基础.从天文学的角度创设教学情景舞，引入整式乘法的运算，教学时让学生体会数学与现实生活的联系和学习新知识的必要性.鼓励学生利用已学的知识自主探索计算方法.将数字换成字母，引导学生归纳出单项式的乘法法则.在计算过程中让学生明白每一步运算的道理.通过两个实例，让学生独立计算，进一步体会计算过程，理解运算法则.切记不要求学生死记硬背，让学生不断练习，在计算的过程中理解，避免与后面学习的法则混淆.老师板书，提醒学生初步学习不可省略步骤.注意要先算平方，然后再按单项式与单项式相乘的法则计算.让学生独立完成，互相检查.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.板书设计教后反思本节课通过实际问题创设情境引入单项式的乘法，这一节是学习整式乘法的关键，是单项式乘多项式、多项式乘多项式的基础.单项式的乘法综合用到了有理数的乘法、幂的运算性质等，在整式乘法中占有重要地位，在教学时，让学生通过自主探索、尝试计算，体验单项式乘法的运算规律.课题单项式除以单项式课型新授课教学内容教材第58-59页的内容教学目标1.理解单项式除以单项式的含义，并掌握单项式除以单项式的运算法则.2.能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题．教学重难点教学重点：理解单项式除以单项式法则,会利用法则进行除法运算.教学难点：能够熟练运用单项式除以单项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师：前面学习过哪些幂的除法运算性质？我们找1位同学回答一下.学生1：同底数幂的除法——am÷an=am-n（m,n为正整数)老师：幂的这个运算性质就是我们今天学习新知识的工具，接下来我们看一个有关自然现象的问题.2.创设情境，引入课题下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”，这是因为光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度为3×108 米/秒，而声音在空气中的传播速度约3×10²米/秒，你知道光速是声速的多少倍吗？老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的倍数问题.找一位同学来列一下式子.学生：光速是声速的（3×108）÷（3×102）倍.老师：这个式子是正确的，那么该怎么计算呢？小组讨论一下.（找小组代表上台板书演示）4组学生代表：（3×108）÷（3×102）=3÷3×108÷102 ①=（3÷3）×（108÷102） ②=1×106 . ③老师：书写的很完整.【自主探究】你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由.(1) x5y÷x2； (2) 8m2n2÷2m2n.（学生讨论，提问2组学生代表回答）1组学生代表：我们是利用乘除法的互逆计算的.3.探索新知，归纳知识老师：我们一起用上面的方法计算15a4b3x2÷3a2b3.方法1：我们知道，计算15a4b3x2÷3a2b3，就是要求一个单项式，使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2. 因为（5a²x²）·（3a2b3）=15a4b3x2，所以15a4b3x2÷3a2b3=5a²x².老师提问：分析所得式子，能得到什么规律？（学生分组讨论，老师提问，学生口答）学生1：结果中的5= 15÷3 ；学生2：结果中的a2= a4÷a2=a4-2 ；利用了 同底数幂的除法 ；学生3：结果中的x2= x2÷1 ；学生4：因为被除式与除式中都有 b3 ，b3÷b3=1，所以结果中 没有字母b . 老师：根据上面的分析，我们可以总结出：单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.【教材例题】例2 计算：（点名2位学生黑板上演示） 解： 例3 “卡西尼”号土星探测器历经7年多、行程约3.5×109km后进入环绕土星运行的轨道.（1）它的这一行程相当于地球赤道多少圈？（已知地球半径约6.4×10³km，π取3.14）解：根据题意，可列式为3.5×109÷(2×3.14×6.4×103)≈8.7×104（圈）.探测器的行程相当于地球赤道约87 000圈.（2）这一行程如果由速度是100km/h的汽车来完成，需要行驶多少年？（1年按365天计算）解：根据题意，可列式为3.5×109÷(365×24×100)≈4.0×103（年）.探测器的行程相当于由速度为100km/h的汽车行驶约4 000年.（3）这一行程如果由速度是10m/s的短跑飞人来完成，需要跑多少年？解：根据题意，可列式为3.5×109÷(365×24×3.6×103×10×10-3)≈1.1×104（年）.探测器的行程相当于由速度为10m/s的短跑飞人跑约11 000年.3.学以致用，应用新知考点1 直接利用单项式除以单项式的法则进行计算【例1】(1)－x5y13÷(－xy8)； (2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－eq \f(5,6)a5b2).解：(1)－x5y13÷(－xy8)＝x5－1·y13－8＝x4y5； (2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－eq \f(5,6)a5b2)＝[(－48)÷24×(－eq \f(5,6))]a6－1＋5·b5－4＋2·c＝eq \f(5,3)a10b3c.考点2 已知整式除法的恒等式，求字母的值【例2】若a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，求a,m,n的值.解：因为a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，所以ax3my12÷9x4y2n=4x2y2，所以a÷9=4,3m-4=2，12-2n=2，解得a=36,m=2，n=5.考点3 单项式除以单项式的实际应用【例3】 2022年6月28日金沙江巨型水电站全国爱国主义教育示范基地开放日活动暨《水电建设》特种邮票首发仪式在白鹤滩水电站举行。白鹤滩水电站自2021年开始实现发电以来，截止到2022年6月，累计发电量已经达到290亿千瓦时，若某市有10万户居民，平均每户居民每年用电1.45×103千瓦时。那么白鹤滩水电站累计发电量可供该市居民使用多少年？解：该市年用电量为1.45×103×105=1.45×108(千瓦时)，（2.9×1010)÷(1.45×108)=(2.9÷1.45)×1010-8=200(年).答：白鹤滩水电站累积发电量可供该市居民使用200年.4.随堂训练，巩固新知（1）（重庆中考）计算3a6÷a的结果是( ) A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5答案：D（2）如果“□×2ab＝4a2b”，那么“□”内应填的代数式是( ) A．2b B．2ab C．a D．2a答案：D（3）若 3x=5，3y=4，求 32x-y的值．解：32x-y = 32x÷3y=(3x)2÷3y= 52÷4=254.5.课堂小结，自我完善单项式除以单项式的运算法则：单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.6.布置作业课本P59练习，P65习题8.2第6题.回顾幂的运算性质，为学习单项式除以单项式奠定基础.鼓励利用已经学过的知识独立探索解决问题.在实际问题中初步体会学习整式除法的必要性.把数字换成字母，探索计算的方法.既可以引用“除法是乘法的逆运算”的思想，也可以利用小学学过的分数约分知识，把除法变成分数，再约分.鼓励学生用多种方法计算.提倡算法的多样性.鼓励学生分组交流、合作探索，引导学生说明每一步的理由.（注意提醒学生，本章中涉及的除式均恒不为零）表扬两位同学不仅答案正确，而且不做完善，规范学生书写步骤.有利于学生充分理解单项式除以单项式的运算法则.这是一个实际应用问题，需要自己寻求已知条件和所求问题之间的关系，然后进行数学表示，是学生经历一个数学化的过程.可以让学生先独立思考、解决，然后教师讲解.利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.板书设计教后反思本节课是在单项式乘法的基础上研究单项式除法，引导学生根据单项式乘单项式的乘法运算推导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象.注意类比思想的应用，与上一节单项式乘单项式对比记忆.课题单项式乘多项式课型新授课教学内容教材第60-61页的内容教学目标1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则.2.掌握单项式与多项式相乘的法则，并会利用法则进行乘法运算.教学重难点教学重点：理解单项式乘多项式的乘法法则,会利用法则进行乘法运算.教学难点：能够熟练运用单项式乘多项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知同底数幂的乘法——am·an = am+n（m,n为正整数)幂的乘方——(am)n = amn（m,n为正整数)积的乘方——(ab)n = anbn（n为正整数)单项式乘单项式——把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式乘法分配律——a(b+c)=ab+ac2.创设情境，引入课题问题② 一个施工队修筑一条路面宽为n m的公路，第一天修筑a m长，第二天修筑b m长，第三天修筑c m长，3天共修筑路面的面积是多少？老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的求图形面积的问题.根据题意，我们先画出示意图，结合图形考虑计算方法： （单位：m）（师生互动，老师引导，学生回答）方法一：我们把三天修筑的面积看成三个小长方形，这三个小长方形的面积可以分别表示为：第一天 an m²；第二天： bn m²；第三天 cn m². 所以这三个小长方形的面积和为 （an+bn+cn） m².方法二：如果我们把三天修筑的面积看成一个大长方形，那么这个大长方形的长为 （a+b+c） m，宽为 n m，所以这个大长方形的面积为 （a+b+c）n m².老师提问：因为这两种方法表示的图形一样，所以我们可以得到：（a+b+c）n =（an+bn+cn）.事实上，因为上面代数式中的字母都表示数，因此，根据乘法分配律，可得到（a+b+c）n =（an+bn+cn）.3.探索新知，归纳知识老师：如果上面代数式中的每个字母都表示一个单项式，那么（a+b+c）就表示多项式，因此根据乘法分配律，可以把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘.因此，可以得到单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.【特别注意】单项式乘多项式的每一项时，要注意各项符号的确定.【教材例题】例4 计算：（1）(-2x)(x2-x+1); （2）a(a2+a)-a2(a-2).解：（1）(-2x)(x2-x+1)=(-2x)x2+(-2x)·(-x)+(-2x)·1=-2x³+2x²-2x.（2）a(a2+a)-a2(a-2)=a·a²+a·a-a²·a+2a²=a³+a²-a³+2a²=3a².3.学以致用，应用新知考点1 直接利用单项式与多项式相乘的法则进行计算【例1】（1）2ab(5ab2+3a2b)； (2)-5m2n(2n+3m-n2).解：(1)原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b=10a²b³+6a³b².(2)原式=-5m2n·2n-5m2n·3m-5m2n·(-n2) =-10m2n²-15m³n+5m²n³.考点2 利用单项式乘以多项式化简求值【例2】 先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2.解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 当 a＝2 时，原式＝－82.考点3 单项式与多项式相乘的实际应用【例3】镇纸是中国古代传统工艺品，是指写字作画时用以压纸的东西，也称作镇尺、压尺. 某长方体形状的镇纸长为3a-4，宽为2a，高为2a，求它的体积.解：它的体积为(3a－4)·2a·2a=3a·2a·2a－4×2a·2a=12a³-16a².4.随堂训练，巩固新知（1）(2020兰州中考)化简：a(a-2)＋4a＝( )A．a2＋2a B．a2＋6a C．a2-6a D．a2＋4a-2答案：A（2）（济宁金乡期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：-3x(-2x2+3x-1）=6x3-9x2+□.“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写( )A. 1 B. -1 C. 3x D. -3x答案：C（3）计算：①(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab； ②－2x·(eq \f(1,2)x2y＋3y－1)．解：①(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab＝eq \f(2,3)ab2·eq \f(1,2)ab－2ab·eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,3)a2b3－a2b2.②－2x·(eq \f(1,2)x2y＋3y－1)＝－2x·eq \f(1,2)x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.(4)一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高eq \f(1,2)a米．①求防洪堤坝的横断面积；②如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解：①防洪堤坝的横断面积S＝eq \f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a(2a＋2b)＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab(平方米)．故防洪堤坝的横断面积为(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)平方米；②防洪堤坝的体积V＝Sh＝(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米．5.课堂小结，自我完善单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.6.布置作业课本P61练习第1-3题，P65习题8.2第5题.回顾幂的运算性质、单项式乘单项式，及乘法分配律，为学习单项式乘多项式奠定基础.教材中以生活中常见的现象---施工队修筑路面为背景，通过求三天修筑的面积，引入单项式乘多项式.老师引导学生运用不同的方式表示图形的面积（也可先让学生自主探索，表示出面积）.通过对比两种不同方式得出的结果，引导学生结合乘法分配律说明等式成立的原因，体会乘法分配律的重要作用.授课过程中，强调对乘法法则的理解，不要求学生背诵法则.此处课堂练习，要求学生明确每一步运算的道理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化.渗透了转化思想.本题考查了整式的化简求值．在计算时要注意先化简,然后再代值计算．整式的化简实际上就是去括号与合并同类项．板书设计教后反思本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习单项式乘多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高自主学习能力.课题多项式除以单项式课型新授课教学内容教材第61-62页的内容教学目标1.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,理解多项式除以单项式的运算法则.2.能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题．教学重难点教学重点：理解多项式除以单项式法则,会利用法则进行除法运算.教学难点：能够熟练运用多项式除以单项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师：前面学习了单项式除以单项式以及单项式乘多项式，我们一起复习一下.（老师板书或放幻灯片，挖空学生回答）单项式相除, 把系数相除，同底数幂相除，均作为商的因式；对于只在被除式里含有的幂，则不变，整体作为商的一个因式.单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.老师：找两位同学上来做下面几道题.学生1：－12a5b3c÷(－4a2b) = 3a3b2c ； (－5a2b)2÷5a3b2= 5a .学生2：老师：很好，做的都很正确.下面请同学们结合我们刚刚复习的知识，思考一下：如何计算（a+b-c）÷m？（学生分组讨论）2.探索新知，归纳知识老师：下面我们找两组学生代表说一下他们的思考.1组学生代表：我们类比有理数的除法，除以一个数等于乘这个数的倒数，转换为乘法，然后按照多项式乘单项式的方法计算.（说完板书演示）3组学生代表：我们仿照多项式乘单项式的方法，把这个多项式的每一项都分别除以m，然后把商相加.（说完板书演示）老师：这两组同学给出了两种不同的思路，对比这两种思路的计算过程，我们可以发现，都可以归结为3组同学的方法：也就是说，多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.老师：下面我们一起看一下教材例题，按照上面多项式除以单项式的法则能否正确计算.【教材例题】例5 计算：（1）(20a2-4a)÷4a; （2）(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy)；（3）[6xy2(x2-3xy)+(-3xy)2]÷3x2y2.解：（1）(20a2-4a)÷4a =20a2÷4a-4a÷4a =5a-1.(2)(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy) =24x2y÷(-6xy)-12xy2÷(-6xy)+8xy÷(-6xy) =-4x+2y-43.(3)[6xy2(x2-3xy)+(-3xy)2]÷3x2y2 =[6x3y2-18x2y3+9x2y2]÷3x2y2 =2x-6y+3.老师：（3）题注意一下运算顺序，计算中括号里的多项式，先算单项式乘多项式及乘方，再计算除法.3.学以致用，应用新知考点1 直接利用多项式除以单项式的法则进行计算【例1】（1）(6ab+8b)÷(2b)； （2）(27a3-15a2+6a)÷(3a)；（3）(3x2y-xy2+12xy)÷(-12xy).解：（1）(6ab+8b)÷(2b)=(6ab)÷(2b)+(8b)÷(2b) =3a+4； （2）(27a3-15a2+6a)÷(3a)=(27a3)÷(3a)+(-15a2)÷(3a)+(6a)÷(3a)=9a²-5a+2；（3）(3x2y-xy2+12xy)÷(-12xy).=(3x2y)÷(-12xy)+(-xy2)÷(-12xy)+(12xy)÷(-12xy)=-6x+2y-1.考点2 被除式、商式和除式的关系【例2】已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．解：被除式为2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2.考点3 化简求值【例3】先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 015，y＝2 014.解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y，把x＝2 015，y＝2 014代入上式，得原式＝x－y＝2 015－2 014＝1.考点4 多项式除以单项式的应用【例4】一个长方形的面积为 a3 -2ab+a，宽为a，则长方形的长为_____________.解析：长方形的长为(a3-2ab+a)÷a=a2-2b+1.答案：a2-2b+14.随堂训练，巩固新知（1）计算(－4x3＋2x)÷2x的结果正确的是( ) A．－2x2＋1 B．2x2＋1 C．－2x3＋1 D．－8x4＋2x答案：A答案：B（3）计算:①(12x4y6-8x2y4-16x3y5)÷4x2y3; ②(2m3n2+3m2n2-mn3+4mn)÷(-6mn).解：①(12x4y6-8x2y4-16x3y5)÷4x2y3=12x4y6÷4x2y3-8x2y4÷4x2y3-16x3y5÷4x2y3=3x2y3-2y-4xy2; ②(2m3n2+3m2n2-mn3+4mn)÷(-6mn)=2m3n2÷(-6mn)+3m2n2÷(-6mn)-mn3÷(-6mn)+4mn÷(-6mn)=-13m²n-12mn+16n²-23.5.课堂小结，自我完善多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.6.布置作业课本P62练习，P65习题8.2第7、8题.回顾单项式除以单项式以及单项式乘多项式的运算法则，巩固旧知，为本节课新知识奠定基础.教学中给学生充足自由发挥思考的空间，鼓励学生间的交流，利用已经学习过的内容独立思考.提倡算法的多样化，每一种算法让学生说明每一步的理由.红笔文字，教师可以在总结的时候在该算法后面加上，对比两种算法.让学生在探索的过程中理解运算法则，鼓励学生用自己的语言叙述法则.第（1）（2）两题可以提问学生，学生板书，老师点评. 注意：（1）题中要提醒学生多项式除以单项式时，多项式中某一项被全部除掉后，该项的商为1，而不是0.类比“被除数=除数×商+余数”进行解答，渗透了类比思想.板书设计教后反思本节课是在多项式乘单项式乘法的基础上研究多项式除以单项式的除法，引导学生根据多项式乘单项式的乘法运算类比出多项式除以单项式的除法规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象.注意类比思想的应用，与上一节多项式乘单项式对比记忆.课题多项式与多项式相乘课型新授课教学内容教材第63-66页的内容教学目标1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.2.会利用多项式与多项式相乘的法则进行乘法运算，并能解决实际问题.教学重难点教学重点：理解多项式乘多项式的乘法法则,会利用法则进行乘法运算.教学难点：能够熟练运用多项式乘多项式的运算法则进行计算，并能解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾旧知老师提问：如何进行单项式与多项式乘法的运算？学生：将单项式分别乘多项式的各项，然后把所得的积相加.老师：根据上面回顾的单项式与多项式相乘的法则，计算下面各题.（1）（a+b）P； （2）（x²-3x+1）x.解：（1）（a+b）P=aP+bP； （2）（x²-3x+1）x=x³-3x²+x.老师：如果上面的（1）题中P=m+n，那么（a+b）P怎么计算？学生：直接把P=m+n代入.老师板书： （a+b）P = aP + bP (a+b)(m+n) = a（m+n） + b（m+n） =am+an+bm+bn (a+b)(m+n) 相当于是两个多项式相乘，接下来我们来探索一下这两个多项式相乘的运算法则.2.创设情境，引入课题问题③ 一块长方形的菜地，长为a，宽为m.现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后的菜地面积.老师：读完题意，我们可以发现，这是我们常见的求图形面积的问题.根据题意，我们先画出示意图，结合图形考虑计算方法：（学生分组交流，老师提问）根据上面画出的图形，我们可以看出原来的菜地是①号地，把扩大后增加的分为三小块，分别是②、③、④号地.学生1：根据图形，知扩大后菜地的长为（a+b） ，宽为 m+n ，所以它的面积为 (a+b)(m+n) .学生2：根据图形，我们可以分别求出四小块地的面积：①号地： am ；②号地： bm ；③号地： an ；④号地： bn. 所以扩大后菜地的面积为 （am+bm+an+bn） .老师总结：以上两位同学所列式子都是表示扩大后菜地的面积，所以我们可以得到:(a+b)(m+n) =am+bm+an+bn.老师提问：对于上面的运算，如果我们不借助图形，可以怎么计算？学生：我们可以把（a+b）或者（m+n）看作一个整体，运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则进行计算.(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) =am+bm+an+bn =am+bm+an+bn 3.探索新知，归纳知识老师：根据上面同学们的计算过程，我们可以归纳出多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.提醒学生：这两个多项式叫做所得积的因式.（为后面学习因式分解打下基础）【教材例题】例6 计算：(1)(-2x-1)(3x-2); (2)(ax+b)(cx+d).解：方法一（利用法则计算）（1）(-2x-1)(3x-2)=(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2)=-6x2+4x-3x+2=-6x2+x+2.（2）(ax+b)(cx+d)=ax·cx+ax·d+b·cx+b·d =acx2+adx+bcx+bd =acx2+(ad+bc)x+bd.方法二（利用整体思想计算）(1)(-2x-1)(3x-2) (2)(ax+b)(cx+d)=(-2x-1)·3x+(-2x-1)·(-2) =(ax+b)·cx+(ax+b)·d=-6x2-3x+4x+2 =acx2+bcx+adx+bd=-6x2+x+2. =acx2+(bc+ad)x+bd例7 计算:(1)(a+b)(a2-ab+b2); (2)(y2+y+1)(y+2).解：(1)(a+b)(a2-ab+b2) =a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2=a3+b3.(2)(y2+y+1)(y+2) =y3+2y2+y2+2y+y+2=y3+3y2+3y+2.4.学以致用，应用新知考点1 直接利用多项式与多项式相乘的法则进行计算【例1】计算：（1）(3x＋2)(x＋2)； （2）(4y－1)(5－y)．解：（1）原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；（2）原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.考点2 多项式与多项式相乘的化简求值【例2】 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.考点3 多项式与多项式相乘的实际应用【例3】 小明想把一长为60 cm,宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形.（1）若设小正方形的边长为x cm,求图中阴影部分的面积;（2）当x=5时，求这个盒子的体积.解：（1）S阴影=(60-2x)(40-2x)=(4x2-200x+2 400)cm2.所以阴影部分的面积为(4x2-200x+2 400)cm2.（2）这个盒子的体积为V=S阴影x=(4x2-200x+2 400)x=(4x3-200x2+2 400x)cm3,当x=5时，V=4×53-200×52+2 400×5=7 500(cm3).所以这个盒子的体积为7 500 cm3.考点4 多项式乘以多项式与方程的综合【例4】 解方程:2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)=3(x+4).解：利用多项式乘法法则，得(6x²-10x)-(6x²+8x-9x-12)=3x+12,去括号，得6x²-10x-6x²-8x+9x+12=3x+12,移项、合并同类项，得-12x=0,系数化为1，得x=0.5.随堂训练，巩固新知（1）下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是( ) A．(a-2)(a＋9) B．(a＋2)(a-9) C．(a＋3)(a-6) D．(a-3)(a＋6)答案：C（2）若P=（x-2)(x-3），Q=（x-1)(x-4），则P与Q的大小关系是（ ） A. P>Q B. P
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